Analisi delle strutture: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 10 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Reazioni vincolari delle travi

Equilibrio
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Carico uniforme
risultante w·L al centro del carico
Momento
M = F·d

Metodo

  1. Disegna un diagramma di corpo libero e sostituisci ogni vincolo con le sue reazioni.
  2. Sostituisci ogni carico distribuito con un’unica forza applicata nel suo baricentro.
  3. Calcola i momenti rispetto a un vincolo per trovare la reazione nell’altro.
  4. Usa ΣFy = 0 per trovare la reazione rimanente e verifica con una seconda equazione dei momenti.

Taglio e momento flettente

Taglio e momento
V = ΣF da un lato, M = ΣF·d da un lato
Tensione di flessione
σ = M·y/I
Rettangolo
I = bh³/12
Modulo di resistenza
W = I/ymax
Trave appoggiata, carico uniforme
Mmax = wL²/8

Metodo

  1. Trova le reazioni vincolari dall’equilibrio dell’intera trave.
  2. Taglia la trave nella sezione che ti serve e considera una sola parte.
  3. Taglio: somma delle forze verticali su quella parte. Momento flettente: somma dei loro momenti rispetto alla sezione di taglio.
  4. Per il momento massimo, trova dove il taglio è nullo.

Travatura: metodo dei nodi

Metodo dei nodi
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Metodo delle sezioni
ΣM = 0 about a cut point
Sforzo nell’asta
positivo = trazione, negativo = compressione

Metodo

  1. Trova le reazioni vincolari dell’intera travatura reticolare.
  2. Metodo dei nodi: parti da un nodo con al massimo due sforzi incogniti nelle aste e usa ΣFx = 0 e ΣFy = 0.
  3. Metodo delle sezioni (di Ritter): taglia l’asta che ti serve e calcola i momenti rispetto al punto in cui si incontrano le altre aste incognite.
  4. Ipotizza trazione; una risposta negativa significa compressione.

Freccia della trave

Carico concentrato in mezzeria
δ = PL³/(48EI)
Carico uniforme, trave appoggiata
δ = 5wL⁴/(384EI)
Mensola, carico all’estremo
δ = PL³/(3EI)
Mensola, carico uniforme
δ = wL⁴/(8EI)
Sovrapposizione degli effetti
δ = δ1 + δ2

Instabilità delle colonne

Carico critico di Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Coefficiente di lunghezza libera
K = 1 cerniera–cerniera, 0,5 incastro–incastro, 0,7 incastro–cerniera, 2 incastro–libero
Tensione critica
σcr = Pcr/A
Snellezza
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Esercizi

1.Reazioni vincolari delle traviMedia
P1​ = 20 kNP2​ = 50 kNABRA​ = ?RB​2,5 m0,5 m3 m

La trave semplicemente appoggiata ha una cerniera in A e un carrello in B. Trova la reazione vincolare verticale RA.

L = 6 mP1 = 20 kN in 2,5 mP2 = 50 kN in 3 m
RA = kN
2.Reazioni vincolari delle traviDifficile
w = 2 kN/mP = 10 kNABRA​RB​ = ?4 m2 m1 m1 m

La trave semplicemente appoggiata ha una cerniera in A e un carrello in B. Trova la reazione vincolare verticale RB.

L = 8 mP = 10 kN in 7 mw = 2 kN/m da 4 a 6 m
RB = kN
3.Taglio e momento flettenteMedia
w = 3 kN/mABsezione2,5 m1,5 m

Trova il momento flettente Mx nella sezione x = 2,5 m dall’appoggio A. Considera positivi i momenti che tendono le fibre inferiori e positivo il taglio verso l’alto sulla faccia sinistra.

L = 4 mw = 3 kN/m da 0 a 4 mx = 2,5 m
Mx = kN·m
4.Taglio e momento flettenteDifficile
w = 8 kN/mP = 45 kNABsezione1 m4 m3 m

Trova il momento flettente Mx nella sezione x = 5 m dall’appoggio A. Considera positivi i momenti che tendono le fibre inferiori e positivo il taglio verso l’alto sulla faccia sinistra.

L = 8 mP = 45 kN in 1 mw = 8 kN/m da 0 a 8 mx = 5 m
Mx = kN·m
5.Travatura: metodo dei nodiMedia
ABBCACACB60 kN6 m2 m3 m

Usa il metodo dei nodi per trovare la forza FBC nell’asta BC. Indica la trazione come positiva e la compressione come negativa.

luce = 6 maltezza = 3 mB è a 2 m da Acarico verticale = 60 kN
FBC = kN
6.Travatura: metodo dei nodiDifficile
ABCDEFGH20 kN35 kN40 kN20 kN4 × 4 m4 m

Esattamente un’asta di questa travatura non porta alcuno sforzo con questi carichi. Qual è l’asta scarica? Cliccala nel diagramma.

C: 20 kN ↓D: 35 kN ↓G: 40 kN ↓H: 20 kN ←
  1. 1asta AB
  2. 2asta BC
  3. 3asta CD
  4. 4asta DE
  5. 5asta FG
  6. 6asta GH
  7. 7asta AF
  8. 8asta HE
  9. 9asta BF
  10. 10asta CG
  11. 11asta DH
  12. 12asta FC
  13. 13asta HC
7.Freccia della traveMedia
P = 8 kNABδ1 m3 m

Una trave semplicemente appoggiata porta un carico concentrato P a a = 1 m dall’appoggio A. Trova la freccia δP sotto il carico.

P = 8 kNa = 1 mL = 4 mE = 70 GPa (alluminio)I = 12 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
8.Freccia della traveDifficile
P = 22 kNP = 22 kNABδ1,667 m1,666 m1,667 m

Una trave semplicemente appoggiata porta due carichi concentrati uguali P nei terzi della luce (a L/3 da ciascun appoggio). Usando la sovrapposizione, trova la freccia in mezzeria δmax.

P = 22 kNL = 5 mE = 70 GPa (alluminio)I = 57 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
9.Instabilità delle colonneMedia
PL = 2,5 m30 × 100 mmsezione trasversale

Una colonna di lunghezza L in acciaio è incernierata a entrambi gli estremi. Usando la formula di Eulero, trova il suo carico critico Pcr.

L = 2,5 mE = 200 GPa (acciaio)b × h = 30 × 100 mm
Pcr = kN
10.Instabilità delle colonneDifficile
P = 70 kNL = 5 md = ?sezione trasversale

Una colonna tonda piena di lunghezza L in alluminio è incastrata a entrambi gli estremi. Deve portare 70 kN con un coefficiente di sicurezza di 3 contro l’instabilità. Trova il diametro minimo d.

P = 70 kNn = 3L = 5 mE = 70 GPa (alluminio)
d = mm

3Soluzioni

1.Reazioni vincolari delle travi

Risposta: RA = 36,67 kN

Equilibrio statico: un corpo in quiete ha ΣFx = 0, ΣFy = 0 e ΣM = 0 rispetto a qualsiasi punto. Prendere i momenti rispetto a un appoggio elimina la reazione di quell’appoggio dall’equazione.

P1​ = 20 kNP2​ = 50 kNABRA​RB​2,5 m0,5 m3 m

Diagramma di corpo libero

Sostituisci i vincoli con le forze di reazione. Un carrello dà una reazione verticale; con soli carichi verticali anche la cerniera dà una sola reazione verticale.

Equilibrio

Momenti rispetto ad A, positivi in senso antiorario. Poi equilibrio delle forze verticali.

ΣMA = 0: RB·6 = 20·2,5 + 50·3
RB = 200/6 = 33,33 kN
ΣFy = 0: RA = 70 − 33,33 = 36,67 kN

Risposta

RA = 36,67 kN
2.Reazioni vincolari delle travi

Risposta: RB = 11,25 kN

Equilibrio statico: un corpo in quiete ha ΣFx = 0, ΣFy = 0 e ΣM = 0 rispetto a qualsiasi punto. Prendere i momenti rispetto a un appoggio elimina la reazione di quell’appoggio dall’equazione.

w = 2 kN/mP = 10 kNABRA​RB​4 m2 m1 m1 m

Diagramma di corpo libero

Sostituisci i vincoli con le forze di reazione. Un carrello dà una reazione verticale; con soli carichi verticali anche la cerniera dà una sola reazione verticale.

Equilibrio

Momenti rispetto ad A, positivi in senso antiorario. Poi equilibrio delle forze verticali.

Risultante del carico distribuito: W = w·ℓ = 2·2 = 4 kN, applicata in x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·8 = 10·7 + 2·2·5
RB = 90/8 = 11,25 kN
ΣFy = 0: RA = 14 − 11,25 = 2,75 kN

Risposta

RB = 11,25 kN
3.Taglio e momento flettente

Risposta: Mx = 5,625 kN·m

Metodo delle sezioni: taglia la trave dove vuoi le forze interne e tieni un lato. Il taglio V equilibra le forze verticali su quel lato, e il momento flettente M equilibra i loro momenti rispetto al taglio.

Reazioni vincolari

Equilibrio dell’intera trave.

Risultante del carico distribuito: W = w·ℓ = 3·4 = 12 kN, applicata in x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 3·4·2
RB = 24/4 = 6 kN
ΣFy = 0: RA = 12 − 6 = 6 kN
w = 3 kN/mABRA​ = 6RB​ = 6sezione2,5 m1,5 m

Taglia in x = 2,5 m e tieni la parte sinistra

Compaiono solo le forze a sinistra del taglio. Una porzione di carico distribuito agisce come un’unica forza al centro di quella porzione.

M = RA·x − (ogni carico a sinistra del taglio × la sua distanza dal taglio)
Mx = 6·2,5 − 3·2,5·1,25 = 5,625 kN·m

Risposta

Mx = 5,625 kN·m
4.Taglio e momento flettente

Risposta: Mx = 76,88 kN·m

Metodo delle sezioni: taglia la trave dove vuoi le forze interne e tieni un lato. Il taglio V equilibra le forze verticali su quel lato, e il momento flettente M equilibra i loro momenti rispetto al taglio.

Reazioni vincolari

Equilibrio dell’intera trave.

Risultante del carico distribuito: W = w·ℓ = 8·8 = 64 kN, applicata in x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 45·1 + 8·8·4
RB = 301/8 = 37,63 kN
ΣFy = 0: RA = 109 − 37,63 = 71,38 kN
w = 8 kN/mP = 45 kNABRA​ = 71,38RB​ = 37,63sezione1 m4 m3 m

Taglia in x = 5 m e tieni la parte sinistra

Compaiono solo le forze a sinistra del taglio. Una porzione di carico distribuito agisce come un’unica forza al centro di quella porzione.

M = RA·x − (ogni carico a sinistra del taglio × la sua distanza dal taglio)
Mx = 71,38·5 − 45·(5 − 1) − 8·5·2,5 = 76,88 kN·m

Risposta

Mx = 76,88 kN·m
5.Travatura: metodo dei nodi

Risposta: FBC = −33,33 kN

Metodo dei nodi: ogni nodo di una travatura è in equilibrio, quindi ΣFx = 0 e ΣFy = 0 in ogni nodo. Inizia da un nodo con al massimo due forze incognite. Un risultato negativo significa che l’asta è compressa.

ABBCACACB60 kNAy​Cy​

Reazioni vincolari

Equilibrio dell’intera travatura. Momenti rispetto ad A, positivi in senso antiorario.

ΣMA = 0: Cy·6 = 60·2 → Cy = 20 kN
ΣFy = 0: Ay = 60 − 20 = 40 kN

Nodo C

Il carrello dà solo una reazione verticale, quindi il nodo C ha solo due forze incognite nelle aste. Supponi entrambe in trazione.

sin γ = 3/5 = 0,6, cos γ = 4/5 = 0,8
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −20/0,6 = −33,33 kN

Risposta

FBC = −33,33 kN (compressione)
6.Travatura: metodo dei nodi

Risposta: asta BF

Aste scariche: in un nodo, le forze devono equilibrarsi in ogni direzione. Se un nodo non ha carico né appoggio, e due delle sue tre aste sono allineate, allora l’equilibrio perpendicolare a quella retta coinvolge solo la terza asta, quindi il suo sforzo è zero. Se in un nodo scarico si incontrano solo due aste non allineate, entrambe sono scariche.

Nodo B

AB e BC stanno su una sola retta e il nodo non porta alcun carico. Equilibrare le forze perpendicolarmente a quella retta lascia solo BF.

ΣF⊥ = 0 → FBF = 0

Verifica con il metodo dei nodi

Risolvendo tutti i nodi si ottengono questi sforzi nelle aste (T = trazione, C = compressione).

AB: 23,75 kN (T), BC: 23,75 kN (T), CD: 51,25 kN (T), DE: 51,25 kN (T), FG: 87,5 kN (C), GH: 87,5 kN (C), AF: 61,87 kN (C), HE: 72,48 kN (C), BF: 0, CG: 40 kN (C), DH: 35 kN (T), FC: 61,87 kN (T), HC: 22,98 kN (T)

Risposta

Asta scarica: BF
7.Freccia della trave

Risposta: δP = 7,143 mm

Freccia delle travi: le frecce si ottengono integrando due volte la curvatura M/(EI). I casi standard sono tabulati, per esempio PL³/(3EI) per una mensola con carico all’estremo e 5wL⁴/(384EI) per una trave semplicemente appoggiata con carico uniforme su tutta la luce. Le frecce dovute a carichi diversi si sommano (sovrapposizione).

Unità coerenti

Lavora in N e mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 8000 N, a = 1000 mm, b = 3000 mm, L = 4000 mm
EI = 8,4 × 10¹¹ N·mm²

Freccia sotto il carico

δP = Pa²b²/(3EIL) = 8000·1000²·3000²/(3·8,4 × 10¹¹·4000) = 7,143 mm

Risposta

δP = 7,143 mm
8.Freccia della trave

Risposta: δmax = 24,46 mm

Freccia delle travi: le frecce si ottengono integrando due volte la curvatura M/(EI). I casi standard sono tabulati, per esempio PL³/(3EI) per una mensola con carico all’estremo e 5wL⁴/(384EI) per una trave semplicemente appoggiata con carico uniforme su tutta la luce. Le frecce dovute a carichi diversi si sommano (sovrapposizione).

Unità coerenti

Lavora in N e mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 22000 N, L = 5000 mm
EI = 3,99 × 10¹² N·mm²

Un carico a L/3

δ₁ = Pb(3L² − 4b²)/(48EI), b = L/3 = 1667 mm
δ₁ = 12,23 mm

Somma entrambi i carichi

δmax = 2·δ₁ = 23PL³/(648EI) = 24,46 mm

Risposta

δmax = 24,46 mm
9.Instabilità delle colonne

Risposta: Pcr = 71,06 kN

Instabilità euleriana: una colonna snella diventa instabile a Pcr = π²EI/(KL)², dove KL è la lunghezza libera d’inflessione: K = 1 per cerniera–cerniera, 2 per incastro–libero, 0,7 per incastro–cerniera e 0,5 per incastro–incastro. Sbanda attorno all’asse con I minore. La formula vale per colonne snelle, la cui tensione critica resta sotto la tensione di snervamento.

Momento d’inerzia minimo

Un rettangolo sbanda attorno al suo asse debole, usando il cubo della dimensione minore.

Imin = h·b³/12 = 100·30³/12 = 225000 mm⁴

Lunghezza libera d’inflessione

KL = 1·2500 = 2500 mm

Carico critico

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·225000/2500² = 71061 N = 71,06 kN

Risposta

Pcr = 71,06 kN
10.Instabilità delle colonne

Risposta: d = 78,87 mm

Instabilità euleriana: una colonna snella diventa instabile a Pcr = π²EI/(KL)², dove KL è la lunghezza libera d’inflessione: K = 1 per cerniera–cerniera, 2 per incastro–libero, 0,7 per incastro–cerniera e 0,5 per incastro–incastro. Sbanda attorno all’asse con I minore. La formula vale per colonne snelle, la cui tensione critica resta sotto la tensione di snervamento.

Carico critico richiesto

Pcr = n·P = 3·70000 = 210000 N
KL = 0,5·5000 = 2500 mm

Risolvi per il diametro

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·210000·2500²/(π³·70000))^(1/4) = 78,87 mm

Risposta

d = 78,87 mm

Verifica: la snellezza KL/r è 126,8, quindi la colonna è snella e vale Eulero.

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