Analisi delle strutture: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 10 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Reazioni vincolari delle travi

Equilibrio
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Carico uniforme
risultante w·L al centro del carico
Momento
M = F·d

Metodo

  1. Disegna un diagramma di corpo libero e sostituisci ogni vincolo con le sue reazioni.
  2. Sostituisci ogni carico distribuito con un’unica forza applicata nel suo baricentro.
  3. Calcola i momenti rispetto a un vincolo per trovare la reazione nell’altro.
  4. Usa ΣFy = 0 per trovare la reazione rimanente e verifica con una seconda equazione dei momenti.

Taglio e momento flettente

Taglio e momento
V = ΣF da un lato, M = ΣF·d da un lato
Tensione di flessione
σ = M·y/I
Rettangolo
I = bh³/12
Modulo di resistenza
W = I/ymax
Trave appoggiata, carico uniforme
Mmax = wL²/8

Metodo

  1. Trova le reazioni vincolari dall’equilibrio dell’intera trave.
  2. Taglia la trave nella sezione che ti serve e considera una sola parte.
  3. Taglio: somma delle forze verticali su quella parte. Momento flettente: somma dei loro momenti rispetto alla sezione di taglio.
  4. Per il momento massimo, trova dove il taglio è nullo.

Travatura: metodo dei nodi

Metodo dei nodi
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Metodo delle sezioni
ΣM = 0 about a cut point
Sforzo nell’asta
positivo = trazione, negativo = compressione

Metodo

  1. Trova le reazioni vincolari dell’intera travatura reticolare.
  2. Metodo dei nodi: parti da un nodo con al massimo due sforzi incogniti nelle aste e usa ΣFx = 0 e ΣFy = 0.
  3. Metodo delle sezioni (di Ritter): taglia l’asta che ti serve e calcola i momenti rispetto al punto in cui si incontrano le altre aste incognite.
  4. Ipotizza trazione; una risposta negativa significa compressione.

Freccia della trave

Carico concentrato in mezzeria
δ = PL³/(48EI)
Carico uniforme, trave appoggiata
δ = 5wL⁴/(384EI)
Mensola, carico all’estremo
δ = PL³/(3EI)
Mensola, carico uniforme
δ = wL⁴/(8EI)
Sovrapposizione degli effetti
δ = δ1 + δ2

Instabilità delle colonne

Carico critico di Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Coefficiente di lunghezza libera
K = 1 cerniera–cerniera, 0,5 incastro–incastro, 0,7 incastro–cerniera, 2 incastro–libero
Tensione critica
σcr = Pcr/A
Snellezza
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Esercizi

1.Reazioni vincolari delle traviMedia
P = 55 kNM = 60 kN·mABRB​ = ?1,5 m3,5 m1 m

La trave semplicemente appoggiata ha una cerniera in A e un carrello in B. Porta un carico concentrato P a 1,5 m da A e una coppia antioraria M a 5 m da A. Trova la reazione verticale RB, considerando positivo il verso verso l’alto.

L = 6 mP = 55 kN in 1,5 mM = 60 kN·m (antioraria) in 5 m
RB = kN
2.Reazioni vincolari delle traviDifficile
w = 3 kN/mP = 60 kNQ = 10 kNADCMA​ = ?1 m3 m1 m3 m

Una trave composta è incastrata alla parete in A, ha una cerniera interna in C (a 4 m da A) e poggia su un carrello in D (a 8 m da A). Porta un carico concentrato P a 5 m da A, un carico uniformemente distribuito w su tutto il tratto CD e un carico concentrato Q a 1 m da A. Trova il modulo del momento di reazione MA alla parete.

AC = 4 mAD = 8 mP = 60 kN in 5 mw = 3 kN/m da 4 a 8 mQ = 10 kN in 1 m
MA = kN·m
3.Taglio e momento flettenteMedia
M0​ = 40 kN·mAB3 m3 m

La trave semplicemente appoggiata porta una coppia oraria M0 = 40 kN·m in x = 3 m da A, e nessun altro carico. Trova il momento flettente Mx immediatamente a sinistra della coppia. Considera positivi i momenti che tendono le fibre inferiori e positivo il taglio verso l’alto sulla faccia sinistra.

L = 6 mM0 = 40 kN·m orario, in 3 m
Mx = kN·m
4.Taglio e momento flettenteDifficile
w = 5 kN/mP = 50 kNAB2 m2 m

La trave semplicemente appoggiata porta un carico uniformemente distribuito w su tutta la luce e un carico concentrato P. Trova il momento flettente massimo Mmax nella trave.

L = 4 mP = 50 kN in 2 mw = 5 kN/m da 0 a 4 m
Mmax = kN·m
5.Travatura: metodo dei nodiMedia
ABCDEFGH25 kN15 kN40 kN4 × 4 m3 m

Esattamente un’asta di questa travatura non porta alcuno sforzo con questi carichi. Qual è l’asta scarica? Cliccala nel diagramma.

B: 25 kN ↓G: 15 kN ↓H: 40 kN ↓
  1. 1asta AB
  2. 2asta BC
  3. 3asta CD
  4. 4asta DE
  5. 5asta FG
  6. 6asta GH
  7. 7asta AF
  8. 8asta HE
  9. 9asta BF
  10. 10asta CG
  11. 11asta DH
  12. 12asta FC
  13. 13asta HC
6.Travatura: metodo dei nodiDifficile
ABCDEFGH35 kN20 kN35 kN15 kN25 kN15 kN4 × 4 m3 m

Esattamente un’asta di questa travatura non porta alcuno sforzo con questi carichi. Qual è l’asta scarica? Cliccala nel diagramma.

B: 35 kN ↓C: 20 kN ↓D: 35 kN ↓F: 15 kN ↓F: 25 kN →H: 15 kN ↓
  1. 1asta AB
  2. 2asta BC
  3. 3asta CD
  4. 4asta DE
  5. 5asta FG
  6. 6asta GH
  7. 7asta AF
  8. 8asta HE
  9. 9asta BF
  10. 10asta CG
  11. 11asta DH
  12. 12asta FC
  13. 13asta HC
7.Freccia della traveMedia
P = 6 kNABδ2,5 m5,5 m

Una trave semplicemente appoggiata porta un carico concentrato P a a = 2,5 m dall’appoggio A. Trova la freccia δP sotto il carico.

P = 6 kNa = 2,5 mL = 8 mE = 70 GPa (alluminio)I = 84 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
8.Freccia della traveDifficile
w = 4 kN/mP = 11 kNδL = 2 m

Una trave semplicemente appoggiata porta un carico uniformemente distribuito w e un carico concentrato P in mezzeria. Usando la sovrapposizione, trova la freccia in mezzeria δmax.

P = 11 kNw = 4 kN/mL = 2 mE = 11 GPa (legno strutturale)I = 120 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
9.Instabilità delle colonneMedia
PL = 2 md = 60 mmsezione trasversale

Una colonna di lunghezza L in acciaio è incastrata alla base e libera in cima. Usando la formula di Eulero, trova il suo carico critico Pcr.

L = 2 mE = 200 GPa (acciaio)d = 60 mm
Pcr = kN
10.Instabilità delle colonneDifficile
PL = 5 md = 80 mmsezione trasversale

Una colonna di lunghezza L in alluminio è incastrata alla base e libera in cima. Trova la sua snellezza e la tensione critica σcr dalla formula di Eulero.

L = 5 mE = 70 GPa (alluminio)d = 80 mm
σcr = MPa

3Soluzioni

1.Reazioni vincolari delle travi

Risposta: RB = 3,75 kN

Equilibrio statico: un corpo in quiete ha ΣFx = 0, ΣFy = 0 e ΣM = 0 rispetto a qualsiasi punto. Sostituisci ogni carico distribuito con la sua risultante (la sua area) applicata nel baricentro del diagramma di carico, e fai l’equilibrio dei momenti rispetto a un appoggio per eliminare dall’equazione la reazione di quell’appoggio.

Momenti rispetto ad A

Positivo in senso antiorario.

ΣMA = 0: RB·6 − 55·1,5 + 60 = 0
RB = 22,5/6 = 3,75 kN

Equilibrio verticale

RA = 55 − 3,75 = 51,25 kN

Risposta

RB = 3,75 kN

Una reazione negativa agisce verso il basso.

2.Reazioni vincolari delle travi

Risposta: MA = 214 kN·m

Equilibrio statico: un corpo in quiete ha ΣFx = 0, ΣFy = 0 e ΣM = 0 rispetto a qualsiasi punto. Sostituisci ogni carico distribuito con la sua risultante (la sua area) applicata nel baricentro del diagramma di carico, e fai l’equilibrio dei momenti rispetto a un appoggio per eliminare dall’equazione la reazione di quell’appoggio. Una cerniera interna non può trasmettere momento flettente, il che fornisce un’equazione in più: il momento rispetto alla cerniera delle forze su ciascun lato è nullo.

Tratto CD

La cerniera non trasmette momento, quindi i momenti rispetto a C sul solo tratto CD devono equilibrarsi.

W = 3·4 = 12 kN in 2 m da C
ΣMC = 0: RD·4 = 60·1 + 12·2
RD = 21 kN
VC = 72 − 21 = 51 kN

Tratto AC

La forza nella cerniera VC agisce verso il basso su AC (uguale e opposta alla sua azione su CD).

RA = 10 + 51 = 61 kN
MA = 10·1 + 51·4 = 214 kN·m

Risposta

MA = 214 kN·m
3.Taglio e momento flettente

Risposta: Mx = −20 kN·m

Metodo delle sezioni: taglia la trave dove vuoi le forze interne e tieni un lato. Il taglio V equilibra le forze verticali su quel lato, e il momento flettente M equilibra i loro momenti rispetto al taglio. Una coppia applicata fa saltare il diagramma del momento flettente di un valore pari alla coppia.

Reazioni vincolari

Momenti rispetto ad A, positivi in senso antiorario: RB·L − M0 = 0. Equilibrio verticale: RA + RB = 0.

RB = M0/L = 40/6 = 6,667 kN (verso l’alto)
RA = −RB = −6,667 kN (verso il basso)

Taglia immediatamente a sinistra della coppia

La parte sinistra contiene solo RA.

Mx = RA·a = −6,667·3 = −20 kN·m

Risposta

Mx = −20 kN·m
4.Taglio e momento flettente

Risposta: Mmax = 60 kN·m

Metodo delle sezioni: taglia la trave dove vuoi le forze interne e tieni un lato. Il taglio V equilibra le forze verticali su quel lato, e il momento flettente M equilibra i loro momenti rispetto al taglio. Momento massimo: poiché dM/dx = V, il momento flettente raggiunge il massimo dove il taglio si annulla, in corrispondenza di un carico concentrato oppure all’interno di un carico distribuito.

Reazioni vincolari

Equilibrio dell’intera trave.

Risultante del carico distribuito: W = w·ℓ = 5·4 = 20 kN, applicata in x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 50·2 + 5·4·2
RB = 140/4 = 35 kN
ΣFy = 0: RA = 70 − 35 = 35 kN

Dove è V = 0?

V(2⁻) = RA − w·2 = 25 kN
V(2⁺) = 25 − 50 = −25 kN
Il taglio cambia segno in corrispondenza del carico, quindi il massimo è sotto il carico.

Momento massimo

Mmax = RA·2 − w·2²/2 = 35·2 − 5·2²/2 = 60 kN·m

Risposta

Mmax = 60 kN·m

Si trova in x = 2 m da A.

5.Travatura: metodo dei nodi

Risposta: asta DH

Aste scariche: in un nodo, le forze devono equilibrarsi in ogni direzione. Se un nodo non ha carico né appoggio, e due delle sue tre aste sono allineate, allora l’equilibrio perpendicolare a quella retta coinvolge solo la terza asta, quindi il suo sforzo è zero. Se in un nodo scarico si incontrano solo due aste non allineate, entrambe sono scariche.

Nodo D

CD e DE stanno su una sola retta e il nodo non porta alcun carico. Equilibrare le forze perpendicolarmente a quella retta lascia solo DH.

ΣF⊥ = 0 → FDH = 0

Verifica con il metodo dei nodi

Risolvendo tutti i nodi si ottengono questi sforzi nelle aste (T = trazione, C = compressione).

AB: 48,33 kN (T), BC: 48,33 kN (T), CD: 58,33 kN (T), DE: 58,33 kN (T), FG: 63,33 kN (C), GH: 63,33 kN (C), AF: 60,42 kN (C), HE: 72,92 kN (C), BF: 25 kN (T), CG: 15 kN (C), DH: 0, FC: 18,75 kN (T), HC: 6,25 kN (T)

Risposta

Asta scarica: DH
6.Travatura: metodo dei nodi

Risposta: asta CG

Aste scariche: in un nodo, le forze devono equilibrarsi in ogni direzione. Se un nodo non ha carico né appoggio, e due delle sue tre aste sono allineate, allora l’equilibrio perpendicolare a quella retta coinvolge solo la terza asta, quindi il suo sforzo è zero. Se in un nodo scarico si incontrano solo due aste non allineate, entrambe sono scariche.

Nodo G

FG e GH stanno su una sola retta e il nodo non porta alcun carico. Equilibrare le forze perpendicolarmente a quella retta lascia solo CG.

ΣF⊥ = 0 → FCG = 0

Verifica con il metodo dei nodi

Risolvendo tutti i nodi si ottengono questi sforzi nelle aste (T = trazione, C = compressione).

AB: 98,75 kN (T), BC: 98,75 kN (T), CD: 86,25 kN (T), DE: 86,25 kN (T), FG: 105,8 kN (C), GH: 105,8 kN (C), AF: 92,19 kN (C), HE: 107,8 kN (C), BF: 35 kN (T), CG: 0, DH: 35 kN (T), FC: 8,854 kN (T), HC: 24,48 kN (T)

Risposta

Asta scarica: CG
7.Freccia della trave

Risposta: δP = 8,038 mm

Freccia delle travi: le frecce si ottengono integrando due volte la curvatura M/(EI). I casi standard sono tabulati, per esempio PL³/(3EI) per una mensola con carico all’estremo e 5wL⁴/(384EI) per una trave semplicemente appoggiata con carico uniforme su tutta la luce. Le frecce dovute a carichi diversi si sommano (sovrapposizione).

Unità coerenti

Lavora in N e mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 6000 N, a = 2500 mm, b = 5500 mm, L = 8000 mm
EI = 5,88 × 10¹² N·mm²

Freccia sotto il carico

δP = Pa²b²/(3EIL) = 6000·2500²·5500²/(3·5,88 × 10¹²·8000) = 8,038 mm

Risposta

δP = 8,038 mm
8.Freccia della trave

Risposta: δmax = 2,02 mm

Freccia delle travi: le frecce si ottengono integrando due volte la curvatura M/(EI). I casi standard sono tabulati, per esempio PL³/(3EI) per una mensola con carico all’estremo e 5wL⁴/(384EI) per una trave semplicemente appoggiata con carico uniforme su tutta la luce. Le frecce dovute a carichi diversi si sommano (sovrapposizione).

Unità coerenti

Lavora in N e mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 11000 N, w = 4 N/mm, L = 2000 mm, EI = 1,32 × 10¹² N·mm²

Ciascun carico da solo

δP = PL³/(48EI) = 11000·2000³/(48·1,32 × 10¹²) = 1,389 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·4·2000⁴/(384·1,32 × 10¹²) = 0,6313 mm

Sommale

δmax = 1,389 + 0,6313 = 2,02 mm

Risposta

δmax = 2,02 mm
9.Instabilità delle colonne

Risposta: Pcr = 78,48 kN

Instabilità euleriana: una colonna snella diventa instabile a Pcr = π²EI/(KL)², dove KL è la lunghezza libera d’inflessione: K = 1 per cerniera–cerniera, 2 per incastro–libero, 0,7 per incastro–cerniera e 0,5 per incastro–incastro. Sbanda attorno all’asse con I minore. La formula vale per colonne snelle, la cui tensione critica resta sotto la tensione di snervamento.

Momento d’inerzia minimo

Una sezione circolare ha lo stesso I rispetto a ogni asse.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Lunghezza libera d’inflessione

KL = 2·2000 = 4000 mm

Carico critico

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·636173/4000² = 78485 N = 78,48 kN

Risposta

Pcr = 78,48 kN
10.Instabilità delle colonne

Risposta: σcr = 2,763 MPa

Instabilità euleriana: una colonna snella diventa instabile a Pcr = π²EI/(KL)², dove KL è la lunghezza libera d’inflessione: K = 1 per cerniera–cerniera, 2 per incastro–libero, 0,7 per incastro–cerniera e 0,5 per incastro–incastro. Sbanda attorno all’asse con I minore. La formula vale per colonne snelle, la cui tensione critica resta sotto la tensione di snervamento.

Momento d’inerzia minimo

Una sezione circolare ha lo stesso I rispetto a ogni asse.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Raggio d’inerzia e snellezza

A = 5027 mm²
r = √(I/A) = √(2,011 × 10⁶/5027) = 20 mm
KL = 2·5000 = 10000 mm
KL/r = 10000/20 = 500

Tensione critica

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/500² = 2,763 MPa

Risposta

σcr = 2,763 MPa

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