Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 10 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.
La trave semplicemente appoggiata ha una cerniera in A e un carrello in B. Trova la reazione vincolare verticale RB.
La trave semplicemente appoggiata ha una cerniera in A e un carrello in B. Trova la reazione vincolare verticale RA.
La trave semplicemente appoggiata porta una coppia oraria M0 = 25 kN·m in x = 8 m da A, e nessun altro carico. Trova il momento flettente Mx immediatamente a destra della coppia. Considera positivi i momenti che tendono le fibre inferiori e positivo il taglio verso l’alto sulla faccia sinistra.
La trave semplicemente appoggiata porta un carico uniformemente distribuito w su tutta la luce e un carico concentrato P. Trova il momento flettente massimo Mmax nella trave.
Usa il metodo dei nodi per trovare la forza FAB nell’asta AB. Indica la trazione come positiva e la compressione come negativa.
Usa il metodo dei nodi per trovare la forza FAB nell’asta AB. Indica la trazione come positiva e la compressione come negativa.
Una mensola porta un carico uniformemente distribuito w su tutta la lunghezza. Trova la freccia δ all’estremo libero.
Una trave in legno semplicemente appoggiata a sezione rettangolare, larga 75 mm, porta un carico uniformemente distribuito w su tutta la luce. La sua freccia in mezzeria non può superare luce/300. Trova l’altezza minima hreq della sezione.
Una colonna di lunghezza L in acciaio è incastrata alla base e incernierata in cima. Usando la formula di Eulero, trova il suo carico critico Pcr.
Una colonna tonda piena di lunghezza L in alluminio è incastrata alla base e libera in cima. Deve portare 20 kN con un coefficiente di sicurezza di 3 contro l’instabilità. Trova il diametro minimo d.
Risposta: RB = 46 kN
Equilibrio statico: un corpo in quiete ha ΣFx = 0, ΣFy = 0 e ΣM = 0 rispetto a qualsiasi punto. Prendere i momenti rispetto a un appoggio elimina la reazione di quell’appoggio dall’equazione.
Sostituisci i vincoli con le forze di reazione. Un carrello dà una reazione verticale; con soli carichi verticali anche la cerniera dà una sola reazione verticale.
Momenti rispetto ad A, positivi in senso antiorario. Poi equilibrio delle forze verticali.
Risposta: RA = 5,167 kN
Equilibrio statico: un corpo in quiete ha ΣFx = 0, ΣFy = 0 e ΣM = 0 rispetto a qualsiasi punto. Prendere i momenti rispetto a un appoggio elimina la reazione di quell’appoggio dall’equazione.
Sostituisci i vincoli con le forze di reazione. Un carrello dà una reazione verticale; con soli carichi verticali anche la cerniera dà una sola reazione verticale.
Momenti rispetto ad A, positivi in senso antiorario. Poi equilibrio delle forze verticali.
Risposta: Mx = 5 kN·m
Metodo delle sezioni: taglia la trave dove vuoi le forze interne e tieni un lato. Il taglio V equilibra le forze verticali su quel lato, e il momento flettente M equilibra i loro momenti rispetto al taglio. Una coppia applicata fa saltare il diagramma del momento flettente di un valore pari alla coppia.
Momenti rispetto ad A, positivi in senso antiorario: RB·L − M0 = 0. Equilibrio verticale: RA + RB = 0.
Ora la parte sinistra contiene RA e la coppia.
Risposta: Mmax = 118,8 kN·m
Metodo delle sezioni: taglia la trave dove vuoi le forze interne e tieni un lato. Il taglio V equilibra le forze verticali su quel lato, e il momento flettente M equilibra i loro momenti rispetto al taglio. Momento massimo: poiché dM/dx = V, il momento flettente raggiunge il massimo dove il taglio si annulla, in corrispondenza di un carico concentrato oppure all’interno di un carico distribuito.
Equilibrio dell’intera trave.
Si trova in x = 3,125 m da A.
Risposta: FAB = −43,48 kN
Metodo dei nodi: ogni nodo di una travatura è in equilibrio, quindi ΣFx = 0 e ΣFy = 0 in ogni nodo. Inizia da un nodo con al massimo due forze incognite. Un risultato negativo significa che l’asta è compressa.
Equilibrio dell’intera travatura. Momenti rispetto ad A, positivi in senso antiorario.
Supponi che ogni asta sia in trazione (che tiri via dal nodo). Solo AB ha una componente verticale in A.
Risposta: FAB = −21,26 kN
Metodo dei nodi: ogni nodo di una travatura è in equilibrio, quindi ΣFx = 0 e ΣFy = 0 in ogni nodo. Inizia da un nodo con al massimo due forze incognite. Un risultato negativo significa che l’asta è compressa.
Equilibrio dell’intera travatura. Momenti rispetto ad A, positivi in senso antiorario.
Supponi che ogni asta sia in trazione (che tiri via dal nodo). Solo AB ha una componente verticale in A.
Risposta: δ = 6,349 mm
Freccia delle travi: le frecce si ottengono integrando due volte la curvatura M/(EI). I casi standard sono tabulati, per esempio PL³/(3EI) per una mensola con carico all’estremo e 5wL⁴/(384EI) per una trave semplicemente appoggiata con carico uniforme su tutta la luce. Le frecce dovute a carichi diversi si sommano (sovrapposizione).
Lavora in N e mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.
Risposta: hreq = 208,7 mm
Freccia delle travi: le frecce si ottengono integrando due volte la curvatura M/(EI). I casi standard sono tabulati, per esempio PL³/(3EI) per una mensola con carico all’estremo e 5wL⁴/(384EI) per una trave semplicemente appoggiata con carico uniforme su tutta la luce. Le frecce dovute a carichi diversi si sommano (sovrapposizione).
Lavora in N e mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.
In pratica, scegli l’altezza commerciale immediatamente superiore a questo valore.
Risposta: Pcr = 31,64 kN
Instabilità euleriana: una colonna snella diventa instabile a Pcr = π²EI/(KL)², dove KL è la lunghezza libera d’inflessione: K = 1 per cerniera–cerniera, 2 per incastro–libero, 0,7 per incastro–cerniera e 0,5 per incastro–incastro. Sbanda attorno all’asse con I minore. La formula vale per colonne snelle, la cui tensione critica resta sotto la tensione di snervamento.
Una sezione circolare ha lo stesso I rispetto a ogni asse.
Risposta: d = 81,55 mm
Instabilità euleriana: una colonna snella diventa instabile a Pcr = π²EI/(KL)², dove KL è la lunghezza libera d’inflessione: K = 1 per cerniera–cerniera, 2 per incastro–libero, 0,7 per incastro–cerniera e 0,5 per incastro–incastro. Sbanda attorno all’asse con I minore. La formula vale per colonne snelle, la cui tensione critica resta sotto la tensione di snervamento.
Verifica: la snellezza KL/r è 245,2, quindi la colonna è snella e vale Eulero.
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