Analisi delle strutture: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 10 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Reazioni vincolari delle travi

Equilibrio
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Carico uniforme
risultante w·L al centro del carico
Momento
M = F·d

Metodo

  1. Disegna un diagramma di corpo libero e sostituisci ogni vincolo con le sue reazioni.
  2. Sostituisci ogni carico distribuito con un’unica forza applicata nel suo baricentro.
  3. Calcola i momenti rispetto a un vincolo per trovare la reazione nell’altro.
  4. Usa ΣFy = 0 per trovare la reazione rimanente e verifica con una seconda equazione dei momenti.

Taglio e momento flettente

Taglio e momento
V = ΣF da un lato, M = ΣF·d da un lato
Tensione di flessione
σ = M·y/I
Rettangolo
I = bh³/12
Modulo di resistenza
W = I/ymax
Trave appoggiata, carico uniforme
Mmax = wL²/8

Metodo

  1. Trova le reazioni vincolari dall’equilibrio dell’intera trave.
  2. Taglia la trave nella sezione che ti serve e considera una sola parte.
  3. Taglio: somma delle forze verticali su quella parte. Momento flettente: somma dei loro momenti rispetto alla sezione di taglio.
  4. Per il momento massimo, trova dove il taglio è nullo.

Travatura: metodo dei nodi

Metodo dei nodi
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Metodo delle sezioni
ΣM = 0 about a cut point
Sforzo nell’asta
positivo = trazione, negativo = compressione

Metodo

  1. Trova le reazioni vincolari dell’intera travatura reticolare.
  2. Metodo dei nodi: parti da un nodo con al massimo due sforzi incogniti nelle aste e usa ΣFx = 0 e ΣFy = 0.
  3. Metodo delle sezioni (di Ritter): taglia l’asta che ti serve e calcola i momenti rispetto al punto in cui si incontrano le altre aste incognite.
  4. Ipotizza trazione; una risposta negativa significa compressione.

Freccia della trave

Carico concentrato in mezzeria
δ = PL³/(48EI)
Carico uniforme, trave appoggiata
δ = 5wL⁴/(384EI)
Mensola, carico all’estremo
δ = PL³/(3EI)
Mensola, carico uniforme
δ = wL⁴/(8EI)
Sovrapposizione degli effetti
δ = δ1 + δ2

Instabilità delle colonne

Carico critico di Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Coefficiente di lunghezza libera
K = 1 cerniera–cerniera, 0,5 incastro–incastro, 0,7 incastro–cerniera, 2 incastro–libero
Tensione critica
σcr = Pcr/A
Snellezza
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Esercizi

1.Reazioni vincolari delle traviMedia
P1​ = 20 kNP2​ = 20 kNABCRB​ = ?1 m3 m2 m

La trave ha una cerniera in A e un carrello in B, a 4 m da A, e sporge a sbalzo oltre B fino all’estremo libero C. Trova la reazione verticale RB, considerando positivo il verso verso l’alto.

AB = 4 mAC = 6 mP1 = 20 kN in 1 mP2 = 20 kN in 6 m
RB = kN
2.Reazioni vincolari delle traviDifficile
w = 2 kN/mP = 55 kNABCRB​ = ?2 m2 m1 m3 m

La trave ha una cerniera in A e un carrello in B, a 5 m da A, e sporge a sbalzo oltre B fino all’estremo libero C. Porta un carico concentrato P a 2 m da A e un carico uniformemente distribuito w da 4 m fino all’estremo libero a 8 m. Trova la reazione verticale RB, considerando positivo il verso verso l’alto.

AB = 5 mAC = 8 mP = 55 kN in 2 mw = 2 kN/m da 4 a 8 m
RB = kN
3.Taglio e momento flettenteMedia
w = 2 kN/mABsezione3 m1 m

Trova il momento flettente Mx nella sezione x = 3 m dall’appoggio A. Considera positivi i momenti che tendono le fibre inferiori e positivo il taglio verso l’alto sulla faccia sinistra.

L = 4 mw = 2 kN/m da 0 a 4 mx = 3 m
Mx = kN·m
4.Taglio e momento flettenteDifficile
40 kN60 kN55 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

I punti da A a G dividono la trave in sei parti uguali. In quale punto il momento flettente è massimo in valore assoluto, positivo o negativo? Cliccalo nel diagramma.

40 kN @ 0 m60 kN @ 12 m55 kN @ 6 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
5.Travatura: metodo dei nodiMedia
ABBCACACB30 kN4 m1 m4 m

Usa il metodo dei nodi per trovare la forza FBC nell’asta BC. Indica la trazione come positiva e la compressione come negativa.

luce = 4 maltezza = 4 mB è a 1 m da Acarico verticale = 30 kN
FBC = kN
6.Travatura: metodo dei nodiDifficile
ABCDEFGH30 kN30 kN4 × 3 m4 m

Esattamente un’asta di questa travatura non porta alcuno sforzo con questi carichi. Qual è l’asta scarica? Cliccala nel diagramma.

D: 30 kN ↓H: 30 kN ←
  1. 1asta AB
  2. 2asta BC
  3. 3asta CD
  4. 4asta DE
  5. 5asta FG
  6. 6asta GH
  7. 7asta AF
  8. 8asta HE
  9. 9asta BF
  10. 10asta CG
  11. 11asta DH
  12. 12asta BG
  13. 13asta DG
7.Freccia della traveMedia
P = 20 kNABδ4 m1 m

Una trave semplicemente appoggiata porta un carico concentrato P a a = 4 m dall’appoggio A. Trova la freccia δP sotto il carico.

P = 20 kNa = 4 mL = 5 mE = 70 GPa (alluminio)I = 57 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
8.Freccia della traveDifficile
w = 2 kN/mP = 6 kNδL = 5 m

Una trave semplicemente appoggiata porta un carico uniformemente distribuito w e un carico concentrato P in mezzeria. Usando la sovrapposizione, trova la freccia in mezzeria δmax.

P = 6 kNw = 2 kN/mL = 5 mE = 70 GPa (alluminio)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
9.Instabilità delle colonneMedia
PL = 6 md = 50 mmsezione trasversale

Una colonna di lunghezza L in acciaio è incastrata alla base e incernierata in cima. Usando la formula di Eulero, trova il suo carico critico Pcr.

L = 6 mE = 200 GPa (acciaio)d = 50 mm
Pcr = kN
10.Instabilità delle colonneDifficile
P = 25 kNL = 2 md = ?sezione trasversale

Una colonna tonda piena di lunghezza L in alluminio è incastrata alla base e incernierata in cima. Deve portare 25 kN con un coefficiente di sicurezza di 2 contro l’instabilità. Trova il diametro minimo d.

P = 25 kNn = 2L = 2 mE = 70 GPa (alluminio)
d = mm

3Soluzioni

1.Reazioni vincolari delle travi

Risposta: RB = 35 kN

Equilibrio statico: un corpo in quiete ha ΣFx = 0, ΣFy = 0 e ΣM = 0 rispetto a qualsiasi punto. Sostituisci ogni carico distribuito con la sua risultante (la sua area) applicata nel baricentro del diagramma di carico, e fai l’equilibrio dei momenti rispetto a un appoggio per eliminare dall’equazione la reazione di quell’appoggio.

Momenti rispetto ad A

Positivo in senso antiorario.

ΣMA = 0: RB·4 = 20·1 + 20·6
RB = 140/4 = 35 kN

Equilibrio verticale

RA = 20 + 20 − 35 = 5 kN

Risposta

RB = 35 kN
2.Reazioni vincolari delle travi

Risposta: RB = 31,6 kN

Equilibrio statico: un corpo in quiete ha ΣFx = 0, ΣFy = 0 e ΣM = 0 rispetto a qualsiasi punto. Sostituisci ogni carico distribuito con la sua risultante (la sua area) applicata nel baricentro del diagramma di carico, e fai l’equilibrio dei momenti rispetto a un appoggio per eliminare dall’equazione la reazione di quell’appoggio.

Risultante del carico distribuito

W = 2·4 = 8 kN, x̄ = (4 + 8)/2 = 6 m

Equilibrio

Momenti rispetto ad A, positivi in senso antiorario. Poi equilibrio delle forze verticali.

ΣMA = 0: RB·5 = 55·2 + 8·6
RB = 158/5 = 31,6 kN
RA = 63 − 31,6 = 31,4 kN

Risposta

RB = 31,6 kN
3.Taglio e momento flettente

Risposta: Mx = 3 kN·m

Metodo delle sezioni: taglia la trave dove vuoi le forze interne e tieni un lato. Il taglio V equilibra le forze verticali su quel lato, e il momento flettente M equilibra i loro momenti rispetto al taglio.

Reazioni vincolari

Equilibrio dell’intera trave.

Risultante del carico distribuito: W = w·ℓ = 2·4 = 8 kN, applicata in x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 2·4·2
RB = 16/4 = 4 kN
ΣFy = 0: RA = 8 − 4 = 4 kN
w = 2 kN/mABRA​ = 4RB​ = 4sezione3 m1 m

Taglia in x = 3 m e tieni la parte sinistra

Compaiono solo le forze a sinistra del taglio. Una porzione di carico distribuito agisce come un’unica forza al centro di quella porzione.

M = RA·x − (ogni carico a sinistra del taglio × la sua distanza dal taglio)
Mx = 4·3 − 2·3·1,5 = 3 kN·m

Risposta

Mx = 3 kN·m
4.Taglio e momento flettente

Risposta: E (x = 8 m)

Massimo momento flettente: M cambia pendenza ovunque cambi il taglio, quindi i suoi picchi stanno dove il taglio passa per zero: sotto un carico concentrato, dentro un carico distribuito, o sopra un appoggio di una trave a sbalzo. In un incastro di una mensola il momento è massimo alla parete. Confronta il valore di M in quei punti, positivo o negativo.

Reazioni vincolari

Prendi i momenti rispetto a un appoggio, poi usa l’equilibrio delle forze verticali.

R1 = 31,67 kN, R2 = 123,3 kN

Momento flettente in ogni punto

Somma i momenti di tutte le forze su un lato del taglio. Il verso che tende le fibre inferiori è positivo, quello opposto negativo.

MA = 0, MB = −80, MC = −96,67, MD = −113,3, ME = −240 kN·m, MF = −120, MG = 0

Risposta

Punto E: ME = −240 kN·m
5.Travatura: metodo dei nodi

Risposta: FBC = −9,375 kN

Metodo dei nodi: ogni nodo di una travatura è in equilibrio, quindi ΣFx = 0 e ΣFy = 0 in ogni nodo. Inizia da un nodo con al massimo due forze incognite. Un risultato negativo significa che l’asta è compressa.

ABBCACACB30 kNAy​Cy​

Reazioni vincolari

Equilibrio dell’intera travatura. Momenti rispetto ad A, positivi in senso antiorario.

ΣMA = 0: Cy·4 = 30·1 → Cy = 7,5 kN
ΣFy = 0: Ay = 30 − 7,5 = 22,5 kN

Nodo C

Il carrello dà solo una reazione verticale, quindi il nodo C ha solo due forze incognite nelle aste. Supponi entrambe in trazione.

sin γ = 4/5 = 0,8, cos γ = 3/5 = 0,6
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −7,5/0,8 = −9,375 kN

Risposta

FBC = −9,375 kN (compressione)
6.Travatura: metodo dei nodi

Risposta: asta CG

Aste scariche: in un nodo, le forze devono equilibrarsi in ogni direzione. Se un nodo non ha carico né appoggio, e due delle sue tre aste sono allineate, allora l’equilibrio perpendicolare a quella retta coinvolge solo la terza asta, quindi il suo sforzo è zero. Se in un nodo scarico si incontrano solo due aste non allineate, entrambe sono scariche.

Nodo C

BC e CD stanno su una sola retta e il nodo non porta alcun carico. Equilibrare le forze perpendicolarmente a quella retta lascia solo CG.

ΣF⊥ = 0 → FCG = 0

Verifica con il metodo dei nodi

Risolvendo tutti i nodi si ottengono questi sforzi nelle aste (T = trazione, C = compressione).

AB: 16,88 kN (C), BC: 3,75 kN (C), CD: 3,75 kN (C), DE: 9,375 kN (T), FG: 13,13 kN (C), GH: 39,38 kN (C), AF: 21,88 kN (C), HE: 15,62 kN (C), BF: 17,5 kN (T), CG: 0, DH: 12,5 kN (T), BG: 21,88 kN (C), DG: 21,88 kN (T)

Risposta

Asta scarica: CG
7.Freccia della trave

Risposta: δP = 5,347 mm

Freccia delle travi: le frecce si ottengono integrando due volte la curvatura M/(EI). I casi standard sono tabulati, per esempio PL³/(3EI) per una mensola con carico all’estremo e 5wL⁴/(384EI) per una trave semplicemente appoggiata con carico uniforme su tutta la luce. Le frecce dovute a carichi diversi si sommano (sovrapposizione).

Unità coerenti

Lavora in N e mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 20000 N, a = 4000 mm, b = 1000 mm, L = 5000 mm
EI = 3,99 × 10¹² N·mm²

Freccia sotto il carico

δP = Pa²b²/(3EIL) = 20000·4000²·1000²/(3·3,99 × 10¹²·5000) = 5,347 mm

Risposta

δP = 5,347 mm
8.Freccia della trave

Risposta: δmax = 2,848 mm

Freccia delle travi: le frecce si ottengono integrando due volte la curvatura M/(EI). I casi standard sono tabulati, per esempio PL³/(3EI) per una mensola con carico all’estremo e 5wL⁴/(384EI) per una trave semplicemente appoggiata con carico uniforme su tutta la luce. Le frecce dovute a carichi diversi si sommano (sovrapposizione).

Unità coerenti

Lavora in N e mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 6000 N, w = 2 N/mm, L = 5000 mm, EI = 1,12 × 10¹³ N·mm²

Ciascun carico da solo

δP = PL³/(48EI) = 6000·5000³/(48·1,12 × 10¹³) = 1,395 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·2·5000⁴/(384·1,12 × 10¹³) = 1,453 mm

Sommale

δmax = 1,395 + 1,453 = 2,848 mm

Risposta

δmax = 2,848 mm
9.Instabilità delle colonne

Risposta: Pcr = 34,33 kN

Instabilità euleriana: una colonna snella diventa instabile a Pcr = π²EI/(KL)², dove KL è la lunghezza libera d’inflessione: K = 1 per cerniera–cerniera, 2 per incastro–libero, 0,7 per incastro–cerniera e 0,5 per incastro–incastro. Sbanda attorno all’asse con I minore. La formula vale per colonne snelle, la cui tensione critica resta sotto la tensione di snervamento.

Momento d’inerzia minimo

Una sezione circolare ha lo stesso I rispetto a ogni asse.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Lunghezza libera d’inflessione

KL = 0,7·6000 = 4200 mm

Carico critico

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·306796/4200² = 34331 N = 34,33 kN

Risposta

Pcr = 34,33 kN
10.Instabilità delle colonne

Risposta: d = 41,23 mm

Instabilità euleriana: una colonna snella diventa instabile a Pcr = π²EI/(KL)², dove KL è la lunghezza libera d’inflessione: K = 1 per cerniera–cerniera, 2 per incastro–libero, 0,7 per incastro–cerniera e 0,5 per incastro–incastro. Sbanda attorno all’asse con I minore. La formula vale per colonne snelle, la cui tensione critica resta sotto la tensione di snervamento.

Carico critico richiesto

Pcr = n·P = 2·25000 = 50000 N
KL = 0,7·2000 = 1400 mm

Risolvi per il diametro

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·50000·1400²/(π³·70000))^(1/4) = 41,23 mm

Risposta

d = 41,23 mm

Verifica: la snellezza KL/r è 135,8, quindi la colonna è snella e vale Eulero.

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