Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 10 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.
La trave a mensola è incastrata alla parete in A. Porta un carico uniformemente distribuito w su tutta la lunghezza e un carico concentrato P a 8 m dalla parete. Trova il modulo del momento di reazione MA alla parete.
La trave a mensola è incastrata alla parete in A. Porta un carico linearmente variabile che vale 8 kN/m alla parete e decresce fino a zero all’estremo libero B, più un carico concentrato P a 1,5 m dalla parete. Trova il modulo del momento di reazione MA alla parete.
La trave semplicemente appoggiata porta due carichi concentrati. Trova il momento flettente massimo Mmax nella trave.
I punti da A a G dividono la trave in sei parti uguali. In quale punto il momento flettente è massimo in valore assoluto, positivo o negativo? Cliccalo nel diagramma.
Esattamente un’asta di questa travatura non porta alcuno sforzo con questi carichi. Qual è l’asta scarica? Cliccala nel diagramma.
Esattamente un’asta di questa travatura non porta alcuno sforzo con questi carichi. Qual è l’asta scarica? Cliccala nel diagramma.
Una mensola porta un carico uniformemente distribuito w su tutta la lunghezza. Trova la freccia δ all’estremo libero.
Una trave in legno semplicemente appoggiata a sezione rettangolare, larga 150 mm, porta un carico uniformemente distribuito w su tutta la luce. La sua freccia in mezzeria non può superare luce/300. Trova l’altezza minima hreq della sezione.
Una colonna di lunghezza L in acciaio è incernierata a entrambi gli estremi. Usando la formula di Eulero, trova il suo carico critico Pcr.
Una colonna tonda piena di lunghezza L in alluminio è incastrata a entrambi gli estremi. Deve portare 20 kN con un coefficiente di sicurezza di 3 contro l’instabilità. Trova il diametro minimo d.
Risposta: MA = 600 kN·m
Equilibrio della mensola: un incastro può spingere verso l’alto e anche impedire la rotazione, quindi dà una reazione verticale RA e un momento di reazione MA. ΣFy = 0 dà RA, e i momenti rispetto alla parete danno MA = Σ(carico × distanza dalla parete). Un carico distribuito agisce come la sua risultante nel baricentro del diagramma di carico.
Risposta: MA = 70,83 kN·m
Equilibrio della mensola: un incastro può spingere verso l’alto e anche impedire la rotazione, quindi dà una reazione verticale RA e un momento di reazione MA. ΣFy = 0 dà RA, e i momenti rispetto alla parete danno MA = Σ(carico × distanza dalla parete). Un carico distribuito agisce come la sua risultante nel baricentro del diagramma di carico.
Risposta: Mmax = 56,25 kN·m
Metodo delle sezioni: taglia la trave dove vuoi le forze interne e tieni un lato. Il taglio V equilibra le forze verticali su quel lato, e il momento flettente M equilibra i loro momenti rispetto al taglio. Momento massimo: poiché dM/dx = V, il momento flettente raggiunge il massimo dove il taglio si annulla, in corrispondenza di un carico concentrato oppure all’interno di un carico distribuito.
Equilibrio dell’intera trave.
Tieni la parte a sinistra di ciascun carico.
Risposta: E (x = 4 m)
Massimo momento flettente: M cambia pendenza ovunque cambi il taglio, quindi i suoi picchi stanno dove il taglio passa per zero: sotto un carico concentrato, dentro un carico distribuito, o sopra un appoggio di una trave a sbalzo. In un incastro di una mensola il momento è massimo alla parete. Confronta il valore di M in quei punti, positivo o negativo.
Prendi i momenti rispetto a un appoggio, poi usa l’equilibrio delle forze verticali.
Somma i momenti di tutte le forze su un lato del taglio. Il verso che tende le fibre inferiori è positivo, quello opposto negativo.
Risposta: asta BF
Aste scariche: in un nodo, le forze devono equilibrarsi in ogni direzione. Se un nodo non ha carico né appoggio, e due delle sue tre aste sono allineate, allora l’equilibrio perpendicolare a quella retta coinvolge solo la terza asta, quindi il suo sforzo è zero. Se in un nodo scarico si incontrano solo due aste non allineate, entrambe sono scariche.
AB e BC stanno su una sola retta e il nodo non porta alcun carico. Equilibrare le forze perpendicolarmente a quella retta lascia solo BF.
Risolvendo tutti i nodi si ottengono questi sforzi nelle aste (T = trazione, C = compressione).
Risposta: asta DH
Aste scariche: in un nodo, le forze devono equilibrarsi in ogni direzione. Se un nodo non ha carico né appoggio, e due delle sue tre aste sono allineate, allora l’equilibrio perpendicolare a quella retta coinvolge solo la terza asta, quindi il suo sforzo è zero. Se in un nodo scarico si incontrano solo due aste non allineate, entrambe sono scariche.
CD e DE stanno su una sola retta e il nodo non porta alcun carico. Equilibrare le forze perpendicolarmente a quella retta lascia solo DH.
Risolvendo tutti i nodi si ottengono questi sforzi nelle aste (T = trazione, C = compressione).
Risposta: δ = 12,21 mm
Freccia delle travi: le frecce si ottengono integrando due volte la curvatura M/(EI). I casi standard sono tabulati, per esempio PL³/(3EI) per una mensola con carico all’estremo e 5wL⁴/(384EI) per una trave semplicemente appoggiata con carico uniforme su tutta la luce. Le frecce dovute a carichi diversi si sommano (sovrapposizione).
Lavora in N e mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.
Risposta: hreq = 230,7 mm
Freccia delle travi: le frecce si ottengono integrando due volte la curvatura M/(EI). I casi standard sono tabulati, per esempio PL³/(3EI) per una mensola con carico all’estremo e 5wL⁴/(384EI) per una trave semplicemente appoggiata con carico uniforme su tutta la luce. Le frecce dovute a carichi diversi si sommano (sovrapposizione).
Lavora in N e mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.
In pratica, scegli l’altezza commerciale immediatamente superiore a questo valore.
Risposta: Pcr = 65,8 kN
Instabilità euleriana: una colonna snella diventa instabile a Pcr = π²EI/(KL)², dove KL è la lunghezza libera d’inflessione: K = 1 per cerniera–cerniera, 2 per incastro–libero, 0,7 per incastro–cerniera e 0,5 per incastro–incastro. Sbanda attorno all’asse con I minore. La formula vale per colonne snelle, la cui tensione critica resta sotto la tensione di snervamento.
Un rettangolo sbanda attorno al suo asse debole, usando il cubo della dimensione minore.
Risposta: d = 36,47 mm
Instabilità euleriana: una colonna snella diventa instabile a Pcr = π²EI/(KL)², dove KL è la lunghezza libera d’inflessione: K = 1 per cerniera–cerniera, 2 per incastro–libero, 0,7 per incastro–cerniera e 0,5 per incastro–incastro. Sbanda attorno all’asse con I minore. La formula vale per colonne snelle, la cui tensione critica resta sotto la tensione di snervamento.
Verifica: la snellezza KL/r è 109,7, quindi la colonna è snella e vale Eulero.
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