Analisi delle strutture: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 10 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Reazioni vincolari delle travi

Equilibrio
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Carico uniforme
risultante w·L al centro del carico
Momento
M = F·d

Metodo

  1. Disegna un diagramma di corpo libero e sostituisci ogni vincolo con le sue reazioni.
  2. Sostituisci ogni carico distribuito con un’unica forza applicata nel suo baricentro.
  3. Calcola i momenti rispetto a un vincolo per trovare la reazione nell’altro.
  4. Usa ΣFy = 0 per trovare la reazione rimanente e verifica con una seconda equazione dei momenti.

Taglio e momento flettente

Taglio e momento
V = ΣF da un lato, M = ΣF·d da un lato
Tensione di flessione
σ = M·y/I
Rettangolo
I = bh³/12
Modulo di resistenza
W = I/ymax
Trave appoggiata, carico uniforme
Mmax = wL²/8

Metodo

  1. Trova le reazioni vincolari dall’equilibrio dell’intera trave.
  2. Taglia la trave nella sezione che ti serve e considera una sola parte.
  3. Taglio: somma delle forze verticali su quella parte. Momento flettente: somma dei loro momenti rispetto alla sezione di taglio.
  4. Per il momento massimo, trova dove il taglio è nullo.

Travatura: metodo dei nodi

Metodo dei nodi
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Metodo delle sezioni
ΣM = 0 about a cut point
Sforzo nell’asta
positivo = trazione, negativo = compressione

Metodo

  1. Trova le reazioni vincolari dell’intera travatura reticolare.
  2. Metodo dei nodi: parti da un nodo con al massimo due sforzi incogniti nelle aste e usa ΣFx = 0 e ΣFy = 0.
  3. Metodo delle sezioni (di Ritter): taglia l’asta che ti serve e calcola i momenti rispetto al punto in cui si incontrano le altre aste incognite.
  4. Ipotizza trazione; una risposta negativa significa compressione.

Freccia della trave

Carico concentrato in mezzeria
δ = PL³/(48EI)
Carico uniforme, trave appoggiata
δ = 5wL⁴/(384EI)
Mensola, carico all’estremo
δ = PL³/(3EI)
Mensola, carico uniforme
δ = wL⁴/(8EI)
Sovrapposizione degli effetti
δ = δ1 + δ2

Instabilità delle colonne

Carico critico di Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Coefficiente di lunghezza libera
K = 1 cerniera–cerniera, 0,5 incastro–incastro, 0,7 incastro–cerniera, 2 incastro–libero
Tensione critica
σcr = Pcr/A
Snellezza
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Esercizi

1.Reazioni vincolari delle traviMedia
w = 4 kN/mP = 60 kNABMA​ = ?5 m3 m

La trave a mensola è incastrata alla parete in A. Porta un carico uniformemente distribuito w su tutta la lunghezza e un carico concentrato P a 5 m dalla parete. Trova il modulo del momento di reazione MA alla parete.

L = 8 mP = 60 kN in 5 mw = 4 kN/m da 0 a 8 m
MA = kN·m
2.Reazioni vincolari delle traviDifficile
w = 3 kN/mP = 35 kNABRA​ = ?RB​1,5 m3,5 m1 m

La trave semplicemente appoggiata ha una cerniera in A e un carrello in B. Trova la reazione vincolare verticale RA.

L = 6 mP = 35 kN in 1,5 mw = 3 kN/m da 0 a 5 m
RA = kN
3.Taglio e momento flettenteMedia
20 kN15 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

I punti da A a G dividono la trave in sei parti uguali. In quale punto il momento flettente è massimo in valore assoluto, positivo o negativo? Cliccalo nel diagramma.

20 kN @ 3 m15 kN @ 5 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
4.Taglio e momento flettenteDifficile
w = 3 kN/mP = 20 kNABsezione2 m2,5 m1,5 m

Trova il momento flettente Mx nella sezione x = 4,5 m dall’appoggio A. Considera positivi i momenti che tendono le fibre inferiori e positivo il taglio verso l’alto sulla faccia sinistra.

L = 6 mP = 20 kN in 2 mw = 3 kN/m da 0 a 6 mx = 4,5 m
Mx = kN·m
5.Travatura: metodo dei nodiMedia
ABBCACACB60 kN4 m1 m3 m

Usa il metodo dei nodi per trovare la forza FAB nell’asta AB. Indica la trazione come positiva e la compressione come negativa.

luce = 4 maltezza = 3 mB è a 1 m da Acarico verticale = 60 kN
FAB = kN
6.Travatura: metodo dei nodiDifficile
ABBCACACB50 kN25 kN6 m5 m2 m

Usa il metodo dei nodi per trovare la forza FAC nell’asta AC. Indica la trazione come positiva e la compressione come negativa.

luce = 6 maltezza = 2 mB è a 5 m da Acarico verticale = 50 kNcarico orizzontale = 25 kN ←
FAC = kN
7.Freccia della traveMedia
w = 15 kN/mδL = 2 m

Una mensola porta un carico uniformemente distribuito w su tutta la lunghezza. Trova la freccia δ all’estremo libero.

w = 15 kN/mL = 2 mE = 70 GPa (alluminio)I = 12 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
8.Freccia della traveDifficile
w = 12 kN/mP = 13 kNδL = 3 m

Una trave semplicemente appoggiata porta un carico uniformemente distribuito w e un carico concentrato P in mezzeria. Usando la sovrapposizione, trova la freccia in mezzeria δmax.

P = 13 kNw = 12 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (legno strutturale)I = 23 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
9.Instabilità delle colonneMedia
PL = 2,5 md = 25 mmsezione trasversale

Una colonna di lunghezza L in acciaio è incastrata alla base e incernierata in cima. Usando la formula di Eulero, trova il suo carico critico Pcr.

L = 2,5 mE = 200 GPa (acciaio)d = 25 mm
Pcr = kN
10.Instabilità delle colonneDifficile
P = 95 kNL = 1,5 md = ?sezione trasversale

Una colonna tonda piena di lunghezza L in acciaio è incastrata alla base e libera in cima. Deve portare 95 kN con un coefficiente di sicurezza di 3 contro l’instabilità. Trova il diametro minimo d.

P = 95 kNn = 3L = 1,5 mE = 200 GPa (acciaio)
d = mm

3Soluzioni

1.Reazioni vincolari delle travi

Risposta: MA = 428 kN·m

Equilibrio della mensola: un incastro può spingere verso l’alto e anche impedire la rotazione, quindi dà una reazione verticale RA e un momento di reazione MA. ΣFy = 0 dà RA, e i momenti rispetto alla parete danno MA = Σ(carico × distanza dalla parete). Un carico distribuito agisce come la sua risultante nel baricentro del diagramma di carico.

Risultante del carico distribuito

W = 4·8 = 32 kN, x̄ = 4 m

Momento rispetto alla parete

MA = P·a + W·x̄ = 60·5 + 32·4 = 428 kN·m

Risposta

MA = 428 kN·m
2.Reazioni vincolari delle travi

Risposta: RA = 35 kN

Equilibrio statico: un corpo in quiete ha ΣFx = 0, ΣFy = 0 e ΣM = 0 rispetto a qualsiasi punto. Prendere i momenti rispetto a un appoggio elimina la reazione di quell’appoggio dall’equazione.

w = 3 kN/mP = 35 kNABRA​RB​1,5 m3,5 m1 m

Diagramma di corpo libero

Sostituisci i vincoli con le forze di reazione. Un carrello dà una reazione verticale; con soli carichi verticali anche la cerniera dà una sola reazione verticale.

Equilibrio

Momenti rispetto ad A, positivi in senso antiorario. Poi equilibrio delle forze verticali.

Risultante del carico distribuito: W = w·ℓ = 3·5 = 15 kN, applicata in x̄ = 2,5 m
ΣMA = 0: RB·6 = 35·1,5 + 3·5·2,5
RB = 90/6 = 15 kN
ΣFy = 0: RA = 50 − 15 = 35 kN

Risposta

RA = 35 kN
3.Taglio e momento flettente

Risposta: D (x = 3 m)

Massimo momento flettente: M cambia pendenza ovunque cambi il taglio, quindi i suoi picchi stanno dove il taglio passa per zero: sotto un carico concentrato, dentro un carico distribuito, o sopra un appoggio di una trave a sbalzo. In un incastro di una mensola il momento è massimo alla parete. Confronta il valore di M in quei punti, positivo o negativo.

Reazioni vincolari

Prendi i momenti rispetto a un appoggio, poi usa l’equilibrio delle forze verticali.

R1 = 12,5 kN, R2 = 22,5 kN

Momento flettente in ogni punto

Somma i momenti di tutte le forze su un lato del taglio. Il verso che tende le fibre inferiori è positivo, quello opposto negativo.

MA = 0, MB = 12,5, MC = 25, MD = 37,5 kN·m, ME = 30, MF = 22,5, MG = 0

Risposta

Punto D: MD = 37,5 kN·m
4.Taglio e momento flettente

Risposta: Mx = 20,13 kN·m

Metodo delle sezioni: taglia la trave dove vuoi le forze interne e tieni un lato. Il taglio V equilibra le forze verticali su quel lato, e il momento flettente M equilibra i loro momenti rispetto al taglio.

Reazioni vincolari

Equilibrio dell’intera trave.

Risultante del carico distribuito: W = w·ℓ = 3·6 = 18 kN, applicata in x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 20·2 + 3·6·3
RB = 94/6 = 15,67 kN
ΣFy = 0: RA = 38 − 15,67 = 22,33 kN
w = 3 kN/mP = 20 kNABRA​ = 22,33RB​ = 15,67sezione2 m2,5 m1,5 m

Taglia in x = 4,5 m e tieni la parte sinistra

Compaiono solo le forze a sinistra del taglio. Una porzione di carico distribuito agisce come un’unica forza al centro di quella porzione.

M = RA·x − (ogni carico a sinistra del taglio × la sua distanza dal taglio)
Mx = 22,33·4,5 − 20·(4,5 − 2) − 3·4,5·2,25 = 20,13 kN·m

Risposta

Mx = 20,13 kN·m
5.Travatura: metodo dei nodi

Risposta: FAB = −47,43 kN

Metodo dei nodi: ogni nodo di una travatura è in equilibrio, quindi ΣFx = 0 e ΣFy = 0 in ogni nodo. Inizia da un nodo con al massimo due forze incognite. Un risultato negativo significa che l’asta è compressa.

ABBCACACB60 kNAy​Cy​

Reazioni vincolari

Equilibrio dell’intera travatura. Momenti rispetto ad A, positivi in senso antiorario.

ΣMA = 0: Cy·4 = 60·1 → Cy = 15 kN
ΣFy = 0: Ay = 60 − 15 = 45 kN

Nodo A

Supponi che ogni asta sia in trazione (che tiri via dal nodo). Solo AB ha una componente verticale in A.

sin α = 3/3,162 = 0,9487
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −45/0,9487 = −47,43 kN

Risposta

FAB = −47,43 kN (compressione)
6.Travatura: metodo dei nodi

Risposta: FAC = 16,67 kN

Metodo dei nodi: ogni nodo di una travatura è in equilibrio, quindi ΣFx = 0 e ΣFy = 0 in ogni nodo. Inizia da un nodo con al massimo due forze incognite. Un risultato negativo significa che l’asta è compressa.

ABBCACACB50 kN25 kNAy​Cy​Ax​

Reazioni vincolari

Equilibrio dell’intera travatura. Momenti rispetto ad A, positivi in senso antiorario.

ΣMA = 0: Cy·6 = 50·5 − 25·2 → Cy = 33,33 kN
ΣFy = 0: Ay = 50 − 33,33 = 16,67 kN
ΣFx = 0: Ax = 25 kN

Nodo C

Il carrello dà solo una reazione verticale, quindi il nodo C ha solo due forze incognite nelle aste. Supponi entrambe in trazione.

sin γ = 2/2,236 = 0,8944, cos γ = 1/2,236 = 0,4472
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −33,33/0,8944 = −37,27 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−37,27)·0,4472 = 16,67 kN

Risposta

FAC = 16,67 kN (trazione)
7.Freccia della trave

Risposta: δ = 35,71 mm

Freccia delle travi: le frecce si ottengono integrando due volte la curvatura M/(EI). I casi standard sono tabulati, per esempio PL³/(3EI) per una mensola con carico all’estremo e 5wL⁴/(384EI) per una trave semplicemente appoggiata con carico uniforme su tutta la luce. Le frecce dovute a carichi diversi si sommano (sovrapposizione).

Unità coerenti

Lavora in N e mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 15 N/mm, L = 2000 mm
EI = 8,4 × 10¹¹ N·mm²

Freccia

δ = wL⁴/(8EI) = 15·2000⁴/(8·8,4 × 10¹¹) = 35,71 mm

Risposta

δ = 35,71 mm
8.Freccia della trave

Risposta: δmax = 78,93 mm

Freccia delle travi: le frecce si ottengono integrando due volte la curvatura M/(EI). I casi standard sono tabulati, per esempio PL³/(3EI) per una mensola con carico all’estremo e 5wL⁴/(384EI) per una trave semplicemente appoggiata con carico uniforme su tutta la luce. Le frecce dovute a carichi diversi si sommano (sovrapposizione).

Unità coerenti

Lavora in N e mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 13000 N, w = 12 N/mm, L = 3000 mm, EI = 2,53 × 10¹¹ N·mm²

Ciascun carico da solo

δP = PL³/(48EI) = 13000·3000³/(48·2,53 × 10¹¹) = 28,9 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·12·3000⁴/(384·2,53 × 10¹¹) = 50,02 mm

Sommale

δmax = 28,9 + 50,02 = 78,93 mm

Risposta

δmax = 78,93 mm
9.Instabilità delle colonne

Risposta: Pcr = 12,36 kN

Instabilità euleriana: una colonna snella diventa instabile a Pcr = π²EI/(KL)², dove KL è la lunghezza libera d’inflessione: K = 1 per cerniera–cerniera, 2 per incastro–libero, 0,7 per incastro–cerniera e 0,5 per incastro–incastro. Sbanda attorno all’asse con I minore. La formula vale per colonne snelle, la cui tensione critica resta sotto la tensione di snervamento.

Momento d’inerzia minimo

Una sezione circolare ha lo stesso I rispetto a ogni asse.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Lunghezza libera d’inflessione

KL = 0,7·2500 = 1750 mm

Carico critico

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·19175/1750² = 12359 N = 12,36 kN

Risposta

Pcr = 12,36 kN
10.Instabilità delle colonne

Risposta: d = 71,73 mm

Instabilità euleriana: una colonna snella diventa instabile a Pcr = π²EI/(KL)², dove KL è la lunghezza libera d’inflessione: K = 1 per cerniera–cerniera, 2 per incastro–libero, 0,7 per incastro–cerniera e 0,5 per incastro–incastro. Sbanda attorno all’asse con I minore. La formula vale per colonne snelle, la cui tensione critica resta sotto la tensione di snervamento.

Carico critico richiesto

Pcr = n·P = 3·95000 = 285000 N
KL = 2·1500 = 3000 mm

Risolvi per il diametro

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·285000·3000²/(π³·200000))^(1/4) = 71,73 mm

Risposta

d = 71,73 mm

Verifica: la snellezza KL/r è 167,3, quindi la colonna è snella e vale Eulero.

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