Analisi delle strutture: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 10 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

Nuovi esercizi Torna al corso

Nella finestra di stampa scegli “Salva come PDF” per conservarne una copia sul tuo dispositivo.

1Formule e metodi

Reazioni vincolari delle travi

Equilibrio: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Carico uniforme: risultante w·L al centro del carico
Momento: M = F·d

Metodo

Disegna un diagramma di corpo libero e sostituisci ogni vincolo con le sue reazioni.
Sostituisci ogni carico distribuito con un’unica forza applicata nel suo baricentro.
Calcola i momenti rispetto a un vincolo per trovare la reazione nell’altro.
Usa ΣF_y = 0 per trovare la reazione rimanente e verifica con una seconda equazione dei momenti.

Taglio e momento flettente

Taglio e momento: V = ΣF da un lato, M = ΣF·d da un lato
Tensione di flessione: σ = M·y/I
Rettangolo: I = bh³/12
Modulo di resistenza: W = I/y_max
Trave appoggiata, carico uniforme: M_max = wL²/8

Metodo

Trova le reazioni vincolari dall’equilibrio dell’intera trave.
Taglia la trave nella sezione che ti serve e considera una sola parte.
Taglio: somma delle forze verticali su quella parte. Momento flettente: somma dei loro momenti rispetto alla sezione di taglio.
Per il momento massimo, trova dove il taglio è nullo.

Travatura: metodo dei nodi

Metodo dei nodi: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Metodo delle sezioni: ΣM = 0 about a cut point
Sforzo nell’asta: positivo = trazione, negativo = compressione

Metodo

Trova le reazioni vincolari dell’intera travatura reticolare.
Metodo dei nodi: parti da un nodo con al massimo due sforzi incogniti nelle aste e usa ΣF_x = 0 e ΣF_y = 0.
Metodo delle sezioni (di Ritter): taglia l’asta che ti serve e calcola i momenti rispetto al punto in cui si incontrano le altre aste incognite.
Ipotizza trazione; una risposta negativa significa compressione.

Freccia della trave

Carico concentrato in mezzeria: δ = PL³/(48EI)
Carico uniforme, trave appoggiata: δ = 5wL⁴/(384EI)
Mensola, carico all’estremo: δ = PL³/(3EI)
Mensola, carico uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Sovrapposizione degli effetti: δ = δ₁ + δ₂

Instabilità delle colonne

Carico critico di Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Coefficiente di lunghezza libera: K = 1 cerniera–cerniera, 0,5 incastro–incastro, 0,7 incastro–cerniera, 2 incastro–libero
Tensione critica: σ_cr = P_cr/A
Snellezza: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Esercizi

1.Reazioni vincolari delle traviMedia

La trave a mensola è incastrata alla parete in A. Porta un carico uniformemente distribuito w dalla parete fino a 6 m e un carico concentrato P a 10 m dalla parete. Trova la reazione verticale R_A alla parete.

L = 10 mP = 75 kN in 10 mw = 4 kN/m da 0 a 6 m

R_A = kN

2.Reazioni vincolari delle traviDifficile

La trave semplicemente appoggiata ha una cerniera in A e un carrello in B. Un carico P agisce a 4 m da A, inclinato di 60° rispetto all’orizzontale, e un carico verticale Q agisce a 7 m da A. Trova l’angolo α tra la reazione totale nella cerniera A e l’orizzontale.

L = 8 mP = 30 kN in 4 m, θ = 60°Q = 65 kN in 7 m

α = °

3.Taglio e momento flettenteMedia

Trova il taglio V_x nella sezione x = 6,5 m dall’appoggio A. Considera positivi i momenti che tendono le fibre inferiori e positivo il taglio verso l’alto sulla faccia sinistra.

L = 10 mw = 5 kN/m da 0 a 10 mx = 6,5 m

V_x = kN

4.Taglio e momento flettenteDifficile

I punti da A a G dividono la trave in sei parti uguali. In quale punto il momento flettente è massimo in valore assoluto, positivo o negativo? Cliccalo nel diagramma.

10 kN @ 6 m10 kN @ 2 m15 kN/m, 0–4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

5.Travatura: metodo dei nodiMedia

Usa il metodo dei nodi per trovare la forza F_BC nell’asta BC. Indica la trazione come positiva e la compressione come negativa.

luce = 5 maltezza = 4 mB è a 1 m da Acarico verticale = 30 kN

F_BC = kN

6.Travatura: metodo dei nodiDifficile

Usa il metodo dei nodi per trovare la forza F_BC nell’asta BC. Indica la trazione come positiva e la compressione come negativa.

luce = 6 maltezza = 4 mB è a 1 m da Acarico verticale = 35 kNcarico orizzontale = 5 kN →

F_BC = kN

7.Freccia della traveMedia

Una mensola di lunghezza L è incastrata in A e porta un carico concentrato P a una distanza a = 2,5 m da A. Trova la freccia δ_P sotto il carico.

P = 30 kNa = 2,5 mL = 6 mE = 70 GPa (alluminio)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

8.Freccia della traveDifficile

Una trave semplicemente appoggiata porta un carico uniformemente distribuito w e un carico concentrato P in mezzeria. Usando la sovrapposizione, trova la freccia in mezzeria δ_max.

P = 25 kNw = 5 kN/mL = 3 mE = 200 GPa (acciaio)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

9.Instabilità delle colonneMedia

Una colonna di lunghezza L in alluminio è incastrata alla base e incernierata in cima. Usando la formula di Eulero, trova il suo carico critico P_cr.

L = 4 mE = 70 GPa (alluminio)d = 50 mm

P_cr = kN

10.Instabilità delle colonneDifficile

Una colonna di lunghezza L in acciaio è incastrata alla base e incernierata in cima. Trova la sua snellezza e la tensione critica σ_cr dalla formula di Eulero.

L = 1 mE = 200 GPa (acciaio)d = 25 mm

σ_cr = MPa

3Soluzioni

1.Reazioni vincolari delle travi

Risposta: R_A = 99 kN

Equilibrio della mensola: un incastro può spingere verso l’alto e anche impedire la rotazione, quindi dà una reazione verticale R_A e un momento di reazione M_A. ΣF_y = 0 dà R_A, e i momenti rispetto alla parete danno M_A = Σ(carico × distanza dalla parete). Un carico distribuito agisce come la sua risultante nel baricentro del diagramma di carico.

Risultante del carico distribuito

W = 4·6 = 24 kN, x̄ = 3 m

Equilibrio verticale

R_A = P + W = 75 + 24 = 99 kN

Risposta

R_A = 99 kN

2.Reazioni vincolari delle travi

Risposta: α = 54,61 °

Equilibrio statico: un corpo in quiete ha ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 e ΣM = 0 rispetto a qualsiasi punto. Sostituisci ogni carico distribuito con la sua risultante (la sua area) applicata nel baricentro del diagramma di carico, e fai l’equilibrio dei momenti rispetto a un appoggio per eliminare dall’equazione la reazione di quell’appoggio.

Componenti di P

P_v = 30·sin 60° = 25,98 kN

P_h = 30·cos 60° = 15 kN

Reazioni

ΣM_A = 0: R_B·8 = 25,98·4 + 65·7 → R_B = 69,87 kN

A_y = 25,98 + 65 − 69,87 = 21,12 kN

A_x = P_h = 15 kN

Direzione in A

α = atan(A_y/A_x) = atan(21,12/15) = 54,61°

Risposta

α = 54,61°

3.Taglio e momento flettente

Risposta: V_x = −7,5 kN

Metodo delle sezioni: taglia la trave dove vuoi le forze interne e tieni un lato. Il taglio V equilibra le forze verticali su quel lato, e il momento flettente M equilibra i loro momenti rispetto al taglio.

Reazioni vincolari

Equilibrio dell’intera trave.

Risultante del carico distribuito: W = w·ℓ = 5·10 = 50 kN, applicata in x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 5·10·5

R_B = 250/10 = 25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 50 − 25 = 25 kN

Taglia in x = 6,5 m e tieni la parte sinistra

Compaiono solo le forze a sinistra del taglio. Una porzione di carico distribuito agisce come un’unica forza al centro di quella porzione.

V = R_A − (tutti i carichi verso il basso a sinistra del taglio)

V_x = 25 − 5·6,5 = −7,5 kN

Risposta

V_x = −7,5 kN

4.Taglio e momento flettente

Risposta: C (x = 2 m)

Massimo momento flettente: M cambia pendenza ovunque cambi il taglio, quindi i suoi picchi stanno dove il taglio passa per zero: sotto un carico concentrato, dentro un carico distribuito, o sopra un appoggio di una trave a sbalzo. In un incastro di una mensola il momento è massimo alla parete. Confronta il valore di M in quei punti, positivo o negativo.

Reazioni vincolari

Prendi i momenti rispetto a un appoggio, poi usa l’equilibrio delle forze verticali.

R₁ = 30 kN, R₂ = 50 kN

Momento flettente in ogni punto

Somma i momenti di tutte le forze su un lato del taglio. Il verso che tende le fibre inferiori è positivo, quello opposto negativo.

M_A = 0, M_B = 22,5, M_C = 30 kN·m, M_D = 12,5, M_E = −20, M_F = −10, M_G = 0

Risposta

Punto C: M_C = 30 kN·m

5.Travatura: metodo dei nodi

Risposta: F_BC = −8,485 kN

Metodo dei nodi: ogni nodo di una travatura è in equilibrio, quindi ΣF_x = 0 e ΣF_y = 0 in ogni nodo. Inizia da un nodo con al massimo due forze incognite. Un risultato negativo significa che l’asta è compressa.

Reazioni vincolari

Equilibrio dell’intera travatura. Momenti rispetto ad A, positivi in senso antiorario.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 30·1 → C_y = 6 kN

ΣF_y = 0: A_y = 30 − 6 = 24 kN

Nodo C

Il carrello dà solo una reazione verticale, quindi il nodo C ha solo due forze incognite nelle aste. Supponi entrambe in trazione.

sin γ = 4/5,657 = 0,7071, cos γ = 4/5,657 = 0,7071

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −6/0,7071 = −8,485 kN

Risposta

F_BC = −8,485 kN (compressione)

6.Travatura: metodo dei nodi

Risposta: F_BC = −14,67 kN

Reazioni vincolari

Equilibrio dell’intera travatura. Momenti rispetto ad A, positivi in senso antiorario.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 35·1 + 5·4 → C_y = 9,167 kN

ΣF_y = 0: A_y = 35 − 9,167 = 25,83 kN

ΣF_x = 0: A_x = −5 kN

Nodo C

Il carrello dà solo una reazione verticale, quindi il nodo C ha solo due forze incognite nelle aste. Supponi entrambe in trazione.

sin γ = 4/6,403 = 0,6247, cos γ = 5/6,403 = 0,7809

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −9,167/0,6247 = −14,67 kN

Risposta

F_BC = −14,67 kN (compressione)

7.Freccia della trave

Risposta: δ_P = 18,6 mm

Freccia delle travi: le frecce si ottengono integrando due volte la curvatura M/(EI). I casi standard sono tabulati, per esempio PL³/(3EI) per una mensola con carico all’estremo e 5wL⁴/(384EI) per una trave semplicemente appoggiata con carico uniforme su tutta la luce. Le frecce dovute a carichi diversi si sommano (sovrapposizione).

Unità coerenti

Lavora in N e mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 30000 N, a = 2500 mm, L = 6000 mm

EI = 8,4 × 10¹² N·mm²

Freccia sotto il carico

δ_P = Pa³/(3EI) = 30000·2500³/(3·8,4 × 10¹²) = 18,6 mm

Risposta

δ_P = 18,6 mm

8.Freccia della trave

Risposta: δ_max = 11,37 mm

Unità coerenti

Lavora in N e mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 25000 N, w = 5 N/mm, L = 3000 mm, EI = 1,7 × 10¹² N·mm²

Ciascun carico da solo

δ_P = PL³/(48EI) = 25000·3000³/(48·1,7 × 10¹²) = 8,272 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·5·3000⁴/(384·1,7 × 10¹²) = 3,102 mm

Sommale

δ_max = 8,272 + 3,102 = 11,37 mm

Risposta

δ_max = 11,37 mm

9.Instabilità delle colonne

Risposta: P_cr = 27,04 kN

Instabilità euleriana: una colonna snella diventa instabile a P_cr = π²EI/(KL)², dove KL è la lunghezza libera d’inflessione: K = 1 per cerniera–cerniera, 2 per incastro–libero, 0,7 per incastro–cerniera e 0,5 per incastro–incastro. Sbanda attorno all’asse con I minore. La formula vale per colonne snelle, la cui tensione critica resta sotto la tensione di snervamento.

Momento d’inerzia minimo

Una sezione circolare ha lo stesso I rispetto a ogni asse.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Lunghezza libera d’inflessione

KL = 0,7·4000 = 2800 mm

Carico critico

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·306796/2800² = 27035 N = 27,04 kN

Risposta

P_cr = 27,04 kN

10.Instabilità delle colonne

Risposta: σ_cr = 157,4 MPa

Momento d’inerzia minimo

Una sezione circolare ha lo stesso I rispetto a ogni asse.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Raggio d’inerzia e snellezza

A = 490,9 mm²

r = √(I/A) = √(19175/490,9) = 6,25 mm

KL = 0,7·1000 = 700 mm

KL/r = 700/6,25 = 112

Tensione critica

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/112² = 157,4 MPa

Risposta

σ_cr = 157,4 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis