Analisi delle strutture: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 10 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Reazioni vincolari delle travi

Equilibrio: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Carico uniforme: risultante w·L al centro del carico
Momento: M = F·d

Metodo

Disegna un diagramma di corpo libero e sostituisci ogni vincolo con le sue reazioni.
Sostituisci ogni carico distribuito con un’unica forza applicata nel suo baricentro.
Calcola i momenti rispetto a un vincolo per trovare la reazione nell’altro.
Usa ΣF_y = 0 per trovare la reazione rimanente e verifica con una seconda equazione dei momenti.

Taglio e momento flettente

Taglio e momento: V = ΣF da un lato, M = ΣF·d da un lato
Tensione di flessione: σ = M·y/I
Rettangolo: I = bh³/12
Modulo di resistenza: W = I/y_max
Trave appoggiata, carico uniforme: M_max = wL²/8

Metodo

Trova le reazioni vincolari dall’equilibrio dell’intera trave.
Taglia la trave nella sezione che ti serve e considera una sola parte.
Taglio: somma delle forze verticali su quella parte. Momento flettente: somma dei loro momenti rispetto alla sezione di taglio.
Per il momento massimo, trova dove il taglio è nullo.

Travatura: metodo dei nodi

Metodo dei nodi: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Metodo delle sezioni: ΣM = 0 about a cut point
Sforzo nell’asta: positivo = trazione, negativo = compressione

Metodo

Trova le reazioni vincolari dell’intera travatura reticolare.
Metodo dei nodi: parti da un nodo con al massimo due sforzi incogniti nelle aste e usa ΣF_x = 0 e ΣF_y = 0.
Metodo delle sezioni (di Ritter): taglia l’asta che ti serve e calcola i momenti rispetto al punto in cui si incontrano le altre aste incognite.
Ipotizza trazione; una risposta negativa significa compressione.

Freccia della trave

Carico concentrato in mezzeria: δ = PL³/(48EI)
Carico uniforme, trave appoggiata: δ = 5wL⁴/(384EI)
Mensola, carico all’estremo: δ = PL³/(3EI)
Mensola, carico uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Sovrapposizione degli effetti: δ = δ₁ + δ₂

Instabilità delle colonne

Carico critico di Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Coefficiente di lunghezza libera: K = 1 cerniera–cerniera, 0,5 incastro–incastro, 0,7 incastro–cerniera, 2 incastro–libero
Tensione critica: σ_cr = P_cr/A
Snellezza: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Esercizi

1.Reazioni vincolari delle traviMedia

La trave semplicemente appoggiata ha una cerniera in A e un carrello in B. Trova la reazione vincolare verticale R_A.

L = 6 mP₁ = 40 kN in 3,5 mP₂ = 45 kN in 4 m

R_A = kN

2.Reazioni vincolari delle traviDifficile

La trave semplicemente appoggiata ha una cerniera in A e un carrello in B. Trova la reazione vincolare verticale R_B.

L = 6 mP = 60 kN in 1 mw = 2 kN/m da 2 a 4 m

R_B = kN

3.Taglio e momento flettenteMedia

La mensola è incastrata in A. Porta un carico uniformemente distribuito w su tutta la lunghezza e un carico concentrato P a 3,5 m da A. Trova il momento flettente M_x nella sezione x = 2 m dall’incastro A. Considera positivi i momenti che tendono le fibre inferiori e positivo il taglio verso l’alto sulla faccia sinistra.

L = 4 mP = 45 kN in 3,5 mw = 12 kN/m da 0 a 4 mx = 2 m

M_x = kN·m

4.Taglio e momento flettenteDifficile

Trova il momento flettente M_x nella sezione x = 3,5 m dall’appoggio A. Considera positivi i momenti che tendono le fibre inferiori e positivo il taglio verso l’alto sulla faccia sinistra.

L = 5 mP = 50 kN in 3,5 mw = 2 kN/m da 0 a 5 mx = 3,5 m

M_x = kN·m

5.Travatura: metodo dei nodiMedia

Usa il metodo dei nodi per trovare la forza F_AC nell’asta AC. Indica la trazione come positiva e la compressione come negativa.

luce = 5 maltezza = 4 mB è a 2 m da Acarico verticale = 40 kN

F_AC = kN

6.Travatura: metodo dei nodiDifficile

Usa il metodo dei nodi per trovare la forza F_AC nell’asta AC. Indica la trazione come positiva e la compressione come negativa.

luce = 6 maltezza = 2 mB è a 5 m da Acarico verticale = 60 kNcarico orizzontale = 10 kN →

F_AC = kN

7.Freccia della traveMedia

Una mensola di lunghezza L è incastrata in A e porta un carico concentrato P a una distanza a = 1,5 m da A. Trova la freccia δ_P sotto il carico.

P = 10 kNa = 1,5 mL = 5 mE = 11 GPa (legno strutturale)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

8.Freccia della traveDifficile

Una mensola puntellata è incastrata in A e semplicemente appoggiata (puntellata) in B. Porta un carico concentrato P in mezzeria. EI è costante. Trova il valore del momento flettente M_A all’incastro.

L = 8 mP = 55 kN in 4 m

M_A = kN·m

9.Instabilità delle colonneMedia

Una colonna di lunghezza L in acciaio è incastrata alla base e incernierata in cima. Usando la formula di Eulero, trova il suo carico critico P_cr.

L = 1,5 mE = 200 GPa (acciaio)b × h = 20 × 60 mm

P_cr = kN

10.Instabilità delle colonneDifficile

Una colonna di lunghezza L in acciaio è incastrata alla base e incernierata in cima. Trova la sua snellezza e la tensione critica σ_cr dalla formula di Eulero.

L = 5 mE = 200 GPa (acciaio)d = 40 mm

σ_cr = MPa

3Soluzioni

1.Reazioni vincolari delle travi

Risposta: R_A = 31,67 kN

Equilibrio statico: un corpo in quiete ha ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 e ΣM = 0 rispetto a qualsiasi punto. Prendere i momenti rispetto a un appoggio elimina la reazione di quell’appoggio dall’equazione.

Diagramma di corpo libero

Sostituisci i vincoli con le forze di reazione. Un carrello dà una reazione verticale; con soli carichi verticali anche la cerniera dà una sola reazione verticale.

Equilibrio

Momenti rispetto ad A, positivi in senso antiorario. Poi equilibrio delle forze verticali.

ΣM_A = 0: R_B·6 = 40·3,5 + 45·4

R_B = 320/6 = 53,33 kN

ΣF_y = 0: R_A = 85 − 53,33 = 31,67 kN

Risposta

R_A = 31,67 kN

2.Reazioni vincolari delle travi

Risposta: R_B = 12 kN

Diagramma di corpo libero

Sostituisci i vincoli con le forze di reazione. Un carrello dà una reazione verticale; con soli carichi verticali anche la cerniera dà una sola reazione verticale.

Equilibrio

Momenti rispetto ad A, positivi in senso antiorario. Poi equilibrio delle forze verticali.

Risultante del carico distribuito: W = w·ℓ = 2·2 = 4 kN, applicata in x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 60·1 + 2·2·3

R_B = 72/6 = 12 kN

ΣF_y = 0: R_A = 64 − 12 = 52 kN

Risposta

R_B = 12 kN

3.Taglio e momento flettente

Risposta: M_x = −91,5 kN·m

Metodo delle sezioni: taglia la trave dove vuoi le forze interne e tieni un lato. Il taglio V equilibra le forze verticali su quel lato, e il momento flettente M equilibra i loro momenti rispetto al taglio.

Tieni la parte dell’estremo libero

P: −45·1,5 = −67,5 kN·m

w: −12·2²/2 = −24 kN·m

M_x = −67,5 − 24 = −91,5 kN·m

Risposta

M_x = −91,5 kN·m

Negativo significa fibre superiori tese: trazione sulla faccia superiore.

4.Taglio e momento flettente

Risposta: M_x = 57,75 kN·m

Reazioni vincolari

Equilibrio dell’intera trave.

Risultante del carico distribuito: W = w·ℓ = 2·5 = 10 kN, applicata in x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 50·3,5 + 2·5·2,5

R_B = 200/5 = 40 kN

ΣF_y = 0: R_A = 60 − 40 = 20 kN

Taglia in x = 3,5 m e tieni la parte sinistra

Compaiono solo le forze a sinistra del taglio. Una porzione di carico distribuito agisce come un’unica forza al centro di quella porzione.

M = R_A·x − (ogni carico a sinistra del taglio × la sua distanza dal taglio)

M_x = 20·3,5 − 2·3,5·1,75 = 57,75 kN·m

Risposta

M_x = 57,75 kN·m

5.Travatura: metodo dei nodi

Risposta: F_AC = 12 kN

Metodo dei nodi: ogni nodo di una travatura è in equilibrio, quindi ΣF_x = 0 e ΣF_y = 0 in ogni nodo. Inizia da un nodo con al massimo due forze incognite. Un risultato negativo significa che l’asta è compressa.

Reazioni vincolari

Equilibrio dell’intera travatura. Momenti rispetto ad A, positivi in senso antiorario.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 40·2 → C_y = 16 kN

ΣF_y = 0: A_y = 40 − 16 = 24 kN

Nodo C

Il carrello dà solo una reazione verticale, quindi il nodo C ha solo due forze incognite nelle aste. Supponi entrambe in trazione.

sin γ = 4/5 = 0,8, cos γ = 3/5 = 0,6

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −16/0,8 = −20 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−20)·0,6 = 12 kN

Risposta

F_AC = 12 kN (trazione)

6.Travatura: metodo dei nodi

Risposta: F_AC = 26,67 kN

Reazioni vincolari

Equilibrio dell’intera travatura. Momenti rispetto ad A, positivi in senso antiorario.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 60·5 + 10·2 → C_y = 53,33 kN

ΣF_y = 0: A_y = 60 − 53,33 = 6,667 kN

ΣF_x = 0: A_x = −10 kN

Nodo C

Il carrello dà solo una reazione verticale, quindi il nodo C ha solo due forze incognite nelle aste. Supponi entrambe in trazione.

sin γ = 2/2,236 = 0,8944, cos γ = 1/2,236 = 0,4472

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −53,33/0,8944 = −59,63 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−59,63)·0,4472 = 26,67 kN

Risposta

F_AC = 26,67 kN (trazione)

7.Freccia della trave

Risposta: δ_P = 12,18 mm

Freccia delle travi: le frecce si ottengono integrando due volte la curvatura M/(EI). I casi standard sono tabulati, per esempio PL³/(3EI) per una mensola con carico all’estremo e 5wL⁴/(384EI) per una trave semplicemente appoggiata con carico uniforme su tutta la luce. Le frecce dovute a carichi diversi si sommano (sovrapposizione).

Unità coerenti

Lavora in N e mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 10000 N, a = 1500 mm, L = 5000 mm

EI = 9,24 × 10¹¹ N·mm²

Freccia sotto il carico

δ_P = Pa³/(3EI) = 10000·1500³/(3·9,24 × 10¹¹) = 12,18 mm

Risposta

δ_P = 12,18 mm

8.Freccia della trave

Risposta: M_A = 82,5 kN·m

Rimuovi il puntello

Senza il puntello la trave è una mensola. Il suo estremo libero si abbasserebbe sotto il carico.

δ_load = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

Congruenza al puntello

La sola forza del puntello R_B solleva l’estremo libero di R_BL³/(3EI). Il puntello mantiene B a freccia nulla, quindi i due effetti devono annullarsi. EI si semplifica.

R_B·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → R_B = 5P/16 = 5·55/16 = 17,19 kN

Momento all’incastro

Momenti rispetto ad A dei carichi e della forza del puntello.

M_A = P·L/2 − R_B·L = 220 − 137,5 = 82,5 kN·m

Risposta

M_A = 82,5 kN·m

9.Instabilità delle colonne

Risposta: P_cr = 71,62 kN

Instabilità euleriana: una colonna snella diventa instabile a P_cr = π²EI/(KL)², dove KL è la lunghezza libera d’inflessione: K = 1 per cerniera–cerniera, 2 per incastro–libero, 0,7 per incastro–cerniera e 0,5 per incastro–incastro. Sbanda attorno all’asse con I minore. La formula vale per colonne snelle, la cui tensione critica resta sotto la tensione di snervamento.

Momento d’inerzia minimo

Un rettangolo sbanda attorno al suo asse debole, usando il cubo della dimensione minore.

I_min = h·b³/12 = 60·20³/12 = 40000 mm⁴

Lunghezza libera d’inflessione

KL = 0,7·1500 = 1050 mm

Carico critico

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·40000/1050² = 71616 N = 71,62 kN

Risposta

P_cr = 71,62 kN

10.Instabilità delle colonne

Risposta: σ_cr = 16,11 MPa

Momento d’inerzia minimo

Una sezione circolare ha lo stesso I rispetto a ogni asse.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Raggio d’inerzia e snellezza

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 0,7·5000 = 3500 mm

KL/r = 3500/10 = 350

Tensione critica

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/350² = 16,11 MPa

Risposta

σ_cr = 16,11 MPa

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