Analisi delle strutture: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 10 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Reazioni vincolari delle travi

Equilibrio
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Carico uniforme
risultante w·L al centro del carico
Momento
M = F·d

Metodo

  1. Disegna un diagramma di corpo libero e sostituisci ogni vincolo con le sue reazioni.
  2. Sostituisci ogni carico distribuito con un’unica forza applicata nel suo baricentro.
  3. Calcola i momenti rispetto a un vincolo per trovare la reazione nell’altro.
  4. Usa ΣFy = 0 per trovare la reazione rimanente e verifica con una seconda equazione dei momenti.

Taglio e momento flettente

Taglio e momento
V = ΣF da un lato, M = ΣF·d da un lato
Tensione di flessione
σ = M·y/I
Rettangolo
I = bh³/12
Modulo di resistenza
W = I/ymax
Trave appoggiata, carico uniforme
Mmax = wL²/8

Metodo

  1. Trova le reazioni vincolari dall’equilibrio dell’intera trave.
  2. Taglia la trave nella sezione che ti serve e considera una sola parte.
  3. Taglio: somma delle forze verticali su quella parte. Momento flettente: somma dei loro momenti rispetto alla sezione di taglio.
  4. Per il momento massimo, trova dove il taglio è nullo.

Travatura: metodo dei nodi

Metodo dei nodi
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Metodo delle sezioni
ΣM = 0 about a cut point
Sforzo nell’asta
positivo = trazione, negativo = compressione

Metodo

  1. Trova le reazioni vincolari dell’intera travatura reticolare.
  2. Metodo dei nodi: parti da un nodo con al massimo due sforzi incogniti nelle aste e usa ΣFx = 0 e ΣFy = 0.
  3. Metodo delle sezioni (di Ritter): taglia l’asta che ti serve e calcola i momenti rispetto al punto in cui si incontrano le altre aste incognite.
  4. Ipotizza trazione; una risposta negativa significa compressione.

Freccia della trave

Carico concentrato in mezzeria
δ = PL³/(48EI)
Carico uniforme, trave appoggiata
δ = 5wL⁴/(384EI)
Mensola, carico all’estremo
δ = PL³/(3EI)
Mensola, carico uniforme
δ = wL⁴/(8EI)
Sovrapposizione degli effetti
δ = δ1 + δ2

Instabilità delle colonne

Carico critico di Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Coefficiente di lunghezza libera
K = 1 cerniera–cerniera, 0,5 incastro–incastro, 0,7 incastro–cerniera, 2 incastro–libero
Tensione critica
σcr = Pcr/A
Snellezza
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Esercizi

1.Reazioni vincolari delle traviMedia
w = 5 kN/mP = 35 kNABMA​ = ?3 m1 m

La trave a mensola è incastrata alla parete in A. Porta un carico uniformemente distribuito w dalla parete fino a 3 m e un carico concentrato P a 4 m dalla parete. Trova il modulo del momento di reazione MA alla parete.

L = 4 mP = 35 kN in 4 mw = 5 kN/m da 0 a 3 m
MA = kN·m
2.Reazioni vincolari delle traviDifficile
w0​ = 10 kN/mP = 60 kNABMA​ = ?2 m2 m

La trave a mensola è incastrata alla parete in A. Porta un carico linearmente variabile che è nullo alla parete e cresce fino a 10 kN/m all’estremo libero B, più un carico concentrato P a 2 m dalla parete. Trova il modulo del momento di reazione MA alla parete.

L = 4 mw0 = 10 kN/mP = 60 kN in 2 m
MA = kN·m
3.Taglio e momento flettenteMedia
w = 3 kN/mABsezione2,5 m2,5 m

Trova il momento flettente Mx nella sezione x = 2,5 m dall’appoggio A. Considera positivi i momenti che tendono le fibre inferiori e positivo il taglio verso l’alto sulla faccia sinistra.

L = 5 mw = 3 kN/m da 0 a 5 mx = 2,5 m
Mx = kN·m
4.Taglio e momento flettenteDifficile
w = 2 kN/mP = 35 kNABsezione1 m1 m3 m

Trova il momento flettente Mx nella sezione x = 2 m dall’appoggio A. Considera positivi i momenti che tendono le fibre inferiori e positivo il taglio verso l’alto sulla faccia sinistra.

L = 5 mP = 35 kN in 1 mw = 2 kN/m da 0 a 5 mx = 2 m
Mx = kN·m
5.Travatura: metodo dei nodiMedia
ABCDEFGH20 kN4 × 4 m3 m

Esattamente un’asta di questa travatura non porta alcuno sforzo con questi carichi. Qual è l’asta scarica? Cliccala nel diagramma.

D: 20 kN ↓
  1. 1asta AB
  2. 2asta BC
  3. 3asta CD
  4. 4asta DE
  5. 5asta FG
  6. 6asta GH
  7. 7asta AF
  8. 8asta HE
  9. 9asta BF
  10. 10asta CG
  11. 11asta DH
  12. 12asta BG
  13. 13asta DG
6.Travatura: metodo dei nodiDifficile
ABCDEFGH30 kN25 kN25 kN15 kN15 kN4 × 4 m4 m

Esattamente un’asta di questa travatura non porta alcuno sforzo con questi carichi. Qual è l’asta scarica? Cliccala nel diagramma.

B: 30 kN ↓C: 25 kN ↓D: 25 kN ↓F: 15 kN →H: 15 kN ↓
  1. 1asta AB
  2. 2asta BC
  3. 3asta CD
  4. 4asta DE
  5. 5asta FG
  6. 6asta GH
  7. 7asta AF
  8. 8asta HE
  9. 9asta BF
  10. 10asta CG
  11. 11asta DH
  12. 12asta FC
  13. 13asta HC
7.Freccia della traveMedia
P = 27 kNABδ2 m1 m

Una mensola di lunghezza L è incastrata in A e porta un carico concentrato P a una distanza a = 2 m da A. Trova la freccia δB all’estremo libero B.

P = 27 kNa = 2 mL = 3 mE = 70 GPa (alluminio)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δB = mm
8.Freccia della traveDifficile
w = 4 kN/mδL = 3 m

Una trave semplicemente appoggiata porta un carico uniformemente distribuito w. La sua freccia non può superare luce/360. Trova il momento d’inerzia minimo Ireq che rispetta questo limite.

w = 4 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (alluminio)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
9.Instabilità delle colonneMedia
PL = 2 m20 × 100 mmsezione trasversale

Una colonna di lunghezza L in alluminio è incastrata a entrambi gli estremi. Usando la formula di Eulero, trova il suo carico critico Pcr.

L = 2 mE = 70 GPa (alluminio)b × h = 20 × 100 mm
Pcr = kN
10.Instabilità delle colonneDifficile
PL = 5 md = 50 mmsezione trasversale

Una colonna di lunghezza L in alluminio è incastrata alla base e incernierata in cima. Trova la sua snellezza e la tensione critica σcr dalla formula di Eulero.

L = 5 mE = 70 GPa (alluminio)d = 50 mm
σcr = MPa

3Soluzioni

1.Reazioni vincolari delle travi

Risposta: MA = 162,5 kN·m

Equilibrio della mensola: un incastro può spingere verso l’alto e anche impedire la rotazione, quindi dà una reazione verticale RA e un momento di reazione MA. ΣFy = 0 dà RA, e i momenti rispetto alla parete danno MA = Σ(carico × distanza dalla parete). Un carico distribuito agisce come la sua risultante nel baricentro del diagramma di carico.

Risultante del carico distribuito

W = 5·3 = 15 kN, x̄ = 1,5 m

Momento rispetto alla parete

MA = P·a + W·x̄ = 35·4 + 15·1,5 = 162,5 kN·m

Risposta

MA = 162,5 kN·m
2.Reazioni vincolari delle travi

Risposta: MA = 173,3 kN·m

Equilibrio della mensola: un incastro può spingere verso l’alto e anche impedire la rotazione, quindi dà una reazione verticale RA e un momento di reazione MA. ΣFy = 0 dà RA, e i momenti rispetto alla parete danno MA = Σ(carico × distanza dalla parete). Un carico distribuito agisce come la sua risultante nel baricentro del diagramma di carico.

Risultante del carico triangolare

W = ½·10·4 = 20 kN
x̄ = 2L/3 = 2,667 m

Momento rispetto alla parete

MA = W·x̄ + P·a = 20·2,667 + 60·2 = 173,3 kN·m

Risposta

MA = 173,3 kN·m
3.Taglio e momento flettente

Risposta: Mx = 9,375 kN·m

Metodo delle sezioni: taglia la trave dove vuoi le forze interne e tieni un lato. Il taglio V equilibra le forze verticali su quel lato, e il momento flettente M equilibra i loro momenti rispetto al taglio.

Reazioni vincolari

Equilibrio dell’intera trave.

Risultante del carico distribuito: W = w·ℓ = 3·5 = 15 kN, applicata in x̄ = 2,5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 3·5·2,5
RB = 37,5/5 = 7,5 kN
ΣFy = 0: RA = 15 − 7,5 = 7,5 kN
w = 3 kN/mABRA​ = 7,5RB​ = 7,5sezione2,5 m2,5 m

Taglia in x = 2,5 m e tieni la parte sinistra

Compaiono solo le forze a sinistra del taglio. Una porzione di carico distribuito agisce come un’unica forza al centro di quella porzione.

M = RA·x − (ogni carico a sinistra del taglio × la sua distanza dal taglio)
Mx = 7,5·2,5 − 3·2,5·1,25 = 9,375 kN·m

Risposta

Mx = 9,375 kN·m
4.Taglio e momento flettente

Risposta: Mx = 27 kN·m

Metodo delle sezioni: taglia la trave dove vuoi le forze interne e tieni un lato. Il taglio V equilibra le forze verticali su quel lato, e il momento flettente M equilibra i loro momenti rispetto al taglio.

Reazioni vincolari

Equilibrio dell’intera trave.

Risultante del carico distribuito: W = w·ℓ = 2·5 = 10 kN, applicata in x̄ = 2,5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 35·1 + 2·5·2,5
RB = 60/5 = 12 kN
ΣFy = 0: RA = 45 − 12 = 33 kN
w = 2 kN/mP = 35 kNABRA​ = 33RB​ = 12sezione1 m1 m3 m

Taglia in x = 2 m e tieni la parte sinistra

Compaiono solo le forze a sinistra del taglio. Una porzione di carico distribuito agisce come un’unica forza al centro di quella porzione.

M = RA·x − (ogni carico a sinistra del taglio × la sua distanza dal taglio)
Mx = 33·2 − 35·(2 − 1) − 2·2·1 = 27 kN·m

Risposta

Mx = 27 kN·m
5.Travatura: metodo dei nodi

Risposta: asta CG

Aste scariche: in un nodo, le forze devono equilibrarsi in ogni direzione. Se un nodo non ha carico né appoggio, e due delle sue tre aste sono allineate, allora l’equilibrio perpendicolare a quella retta coinvolge solo la terza asta, quindi il suo sforzo è zero. Se in un nodo scarico si incontrano solo due aste non allineate, entrambe sono scariche.

Nodo C

BC e CD stanno su una sola retta e il nodo non porta alcun carico. Equilibrare le forze perpendicolarmente a quella retta lascia solo CG.

ΣF⊥ = 0 → FCG = 0

Verifica con il metodo dei nodi

Risolvendo tutti i nodi si ottengono questi sforzi nelle aste (T = trazione, C = compressione).

AB: 6,667 kN (T), BC: 13,33 kN (T), CD: 13,33 kN (T), DE: 20 kN (T), FG: 6,667 kN (C), GH: 20 kN (C), AF: 8,333 kN (C), HE: 25 kN (C), BF: 5 kN (T), CG: 0, DH: 15 kN (T), BG: 8,333 kN (C), DG: 8,333 kN (T)

Risposta

Asta scarica: CG
6.Travatura: metodo dei nodi

Risposta: asta CG

Aste scariche: in un nodo, le forze devono equilibrarsi in ogni direzione. Se un nodo non ha carico né appoggio, e due delle sue tre aste sono allineate, allora l’equilibrio perpendicolare a quella retta coinvolge solo la terza asta, quindi il suo sforzo è zero. Se in un nodo scarico si incontrano solo due aste non allineate, entrambe sono scariche.

Nodo G

FG e GH stanno su una sola retta e il nodo non porta alcun carico. Equilibrare le forze perpendicolarmente a quella retta lascia solo CG.

ΣF⊥ = 0 → FCG = 0

Verifica con il metodo dei nodi

Risolvendo tutti i nodi si ottengono questi sforzi nelle aste (T = trazione, C = compressione).

AB: 56,25 kN (T), BC: 56,25 kN (T), CD: 53,75 kN (T), DE: 53,75 kN (T), FG: 67,5 kN (C), GH: 67,5 kN (C), AF: 58,34 kN (C), HE: 76,01 kN (C), BF: 30 kN (T), CG: 0, DH: 25 kN (T), FC: 15,91 kN (T), HC: 19,45 kN (T)

Risposta

Asta scarica: CG
7.Freccia della trave

Risposta: δB = 11,25 mm

Freccia delle travi: le frecce si ottengono integrando due volte la curvatura M/(EI). I casi standard sono tabulati, per esempio PL³/(3EI) per una mensola con carico all’estremo e 5wL⁴/(384EI) per una trave semplicemente appoggiata con carico uniforme su tutta la luce. Le frecce dovute a carichi diversi si sommano (sovrapposizione).

Unità coerenti

Lavora in N e mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 27000 N, a = 2000 mm, L = 3000 mm
EI = 1,12 × 10¹³ N·mm²

Freccia all’estremo libero

Freccia sotto il carico più la rotazione sotto il carico per la lunghezza restante.

δP = Pa³/(3EI) = 6,429 mm
θP = Pa²/(2EI) = 0,004821 rad
δB = δP + θP·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 11,25 mm

Risposta

δB = 11,25 mm
8.Freccia della trave

Risposta: Ireq = 7,232 × 10⁶ mm⁴

Freccia delle travi: le frecce si ottengono integrando due volte la curvatura M/(EI). I casi standard sono tabulati, per esempio PL³/(3EI) per una mensola con carico all’estremo e 5wL⁴/(384EI) per una trave semplicemente appoggiata con carico uniforme su tutta la luce. Le frecce dovute a carichi diversi si sommano (sovrapposizione).

Limite di freccia

δallow = L/360 = 3000/360 = 8,333 mm

Momento d’inerzia richiesto

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·4·3000⁴/(384·70000·8,333) = 7,232 × 10⁶ mm⁴
Ireq = 7,232 × 10⁶ mm⁴

Risposta

Ireq = 7,232 × 10⁶ mm⁴
9.Instabilità delle colonne

Risposta: Pcr = 46,06 kN

Instabilità euleriana: una colonna snella diventa instabile a Pcr = π²EI/(KL)², dove KL è la lunghezza libera d’inflessione: K = 1 per cerniera–cerniera, 2 per incastro–libero, 0,7 per incastro–cerniera e 0,5 per incastro–incastro. Sbanda attorno all’asse con I minore. La formula vale per colonne snelle, la cui tensione critica resta sotto la tensione di snervamento.

Momento d’inerzia minimo

Un rettangolo sbanda attorno al suo asse debole, usando il cubo della dimensione minore.

Imin = h·b³/12 = 100·20³/12 = 66667 mm⁴

Lunghezza libera d’inflessione

KL = 0,5·2000 = 1000 mm

Carico critico

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·66667/1000² = 46058 N = 46,06 kN

Risposta

Pcr = 46,06 kN
10.Instabilità delle colonne

Risposta: σcr = 8,812 MPa

Instabilità euleriana: una colonna snella diventa instabile a Pcr = π²EI/(KL)², dove KL è la lunghezza libera d’inflessione: K = 1 per cerniera–cerniera, 2 per incastro–libero, 0,7 per incastro–cerniera e 0,5 per incastro–incastro. Sbanda attorno all’asse con I minore. La formula vale per colonne snelle, la cui tensione critica resta sotto la tensione di snervamento.

Momento d’inerzia minimo

Una sezione circolare ha lo stesso I rispetto a ogni asse.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Raggio d’inerzia e snellezza

A = 1963 mm²
r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm
KL = 0,7·5000 = 3500 mm
KL/r = 3500/12,5 = 280

Tensione critica

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/280² = 8,812 MPa

Risposta

σcr = 8,812 MPa

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