Termodinamica applicata: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 8 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Legge dei gas ideali

Legge dei gas ideali: pV = nRT
Costante dei gas: R = 8,314 J/(mol·K)
Legge combinata dei gas: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
Moli: n = m/M
Temperatura: T[K] = T[°C] + 273,15

Bilancio energetico

Calore sensibile: Q = ṁ·c_p·ΔT
Calore latente: Q = ṁ·h_fg
Miscelazione: Σṁc_pT_in = Σṁc_pT_out
Acqua: c_p ≈ 4,18 kJ/(kg·K)

Macchine termiche e frigorifere

Rendimento: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
Rendimento di Carnot: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
COP del frigorifero: COP_R = Q_C/W
COP della pompa di calore: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
Bilancio energetico: Q_H = W + Q_C

Cicli termodinamici a gas

Isoentropica, rapporto dei volumi: T₂/T₁ = r^k−1
Isoentropica, rapporto delle pressioni: T₂/T₁ = r_p^(k−1)/k
Rendimento Otto: η = 1 − 1/r^k−1
Rendimento Diesel: η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k(r_c − 1))
Rendimento Brayton: η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k
Calore fornito: Otto: c_v(T₃ − T₂) Diesel, Brayton: c_p(T₃ − T₂)
Lavoro netto Brayton: w = c_p[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]
Rendimenti isoentropici: w_c = w_c,s/η_c, w_t = η_t·w_t,s
Aria fredda: k = 1,4, c_p = 1,005, c_v = 0,718 kJ/(kg·K)

2Esercizi

1.Legge dei gas idealiMedia

Un serbatoio di 10 L contiene 70 g di Ar a 35 °C. Trattalo come gas ideale e trova la pressione P.

m = 70 gM = 39,95 g/molV = 10 LT = 35 °CR = 8,314 J/(mol·K)

P = kPa

2.Legge dei gas idealiDifficile

Trova la densità ρ di Ar a 650 kPa e 120 °C, trattandolo come gas ideale.

M = 39,95 g/molP = 650 kPaT = 120 °CR = 8,314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

3.Bilancio energeticoMedia

Il miscela di glicole caldo raffredda acqua in uno scambiatore controcorrente senza perdite di calore. Trova la temperatura di uscita dell’acqua t_out.

ṁ_h = 1,5 kg/sc_p,h = 3,6 kJ/(kg·K)T_h: 130 → 100 °Cṁ_c = 1,5 kg/sc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)t_in = 10 °C

t_out = °C

4.Bilancio energeticoDifficile

Il miscela di glicole caldo riscalda acqua in uno scambiatore che perde verso l’ambiente il 10% del calore ceduto dalla corrente calda. Trova la portata d’acqua ṁ_c necessaria.

ṁ_h = 2 kg/sc_p,h = 3,6 kJ/(kg·K)T_h: 160 → 70 °Ct: 25 → 70 °Cc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)perdita = 10 %

ṁ_c = kg/s

5.Macchine termiche e frigorifereMedia

Una macchina termica lavora tra un serbatoio caldo a 500 °C e un serbatoio freddo a 5 °C. Trova il massimo rendimento termico possibile η_max.

T_H = 500 °CT_L = 5 °C

η_max = %

6.Macchine termiche e frigorifereDifficile

Una macchina termica assorbe 4100 kJ di calore da un serbatoio a 700 °C, produce 1394 kJ di lavoro e cede il resto a un serbatoio a 30 °C, per ciclo. Trova l’entropia totale generata S_gen per ciclo.

T_H = 700 °CT_L = 30 °CQ_H = 4100 kJW = 1394 kJ

S_gen = kJ/K

7.Cicli termodinamici a gasMedia

Un ciclo Diesel ideale ha un rapporto di compressione r = 14 e un rapporto di combustione r_c = v₃/v₂ = 2,2. Usa le ipotesi dell’aria standard fredda: l’aria è un gas ideale con calori specifici costanti, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) e c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Trova il suo rendimento termico η in percentuale.

r = 14r_c = 2,2k = 1,4

η = %

8.Cicli termodinamici a gasDifficile

Un ciclo Brayton ideale funziona con un rapporto di compressione di 15. Usa le ipotesi dell’aria standard fredda: l’aria è un gas ideale con calori specifici costanti, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) e c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Trova il suo rendimento termico η in percentuale.

r_p = 15k = 1,4

η = %

3Soluzioni

1.Legge dei gas ideali

Risposta: P = 448,9 kPa

Legge dei gas ideali: PV = nRT, con n = m/M.

Moli

n = m/M = 70/39,95 = 1,752 mol

T = 35 + 273,15 = 308,1 K

Pressione

P = nRT/V = 1,752·8,314·308,1/0,01 = 448,9 kPa

Risposta

P = 448,9 kPa

2.Legge dei gas ideali

Risposta: ρ = 7,944 kg/m³

Densità di un gas ideale: ρ = PM/(RT).

Riordina la legge dei gas

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 120 + 273,15 = 393,1 K

Densità

ρ = 650·39,95/(8,314·393,1) = 7,944 kg/m³

Risposta

ρ = 7,944 kg/m³

3.Bilancio energetico

Risposta: t_out = 35,84 °C

Bilancio energetico dello scambiatore: senza perdite, ṁ_hc_p,h(T_h,in − T_h,out) = ṁ_cc_p,c(t_out − t_in).

Calore ceduto dalla corrente calda

Q = 1,5·3,6·(130 − 100) = 162 kW

Calore assorbito dall’acqua

t_out = t_in + Q/(ṁ_cc_p,c) = 10 + 162/(1,5·4,18) = 35,84 °C

Risposta

t_out = 35,84 °C

4.Bilancio energetico

Risposta: ṁ_c = 3,1 kg/s

Bilancio energetico con perdite: calore ceduto = calore assorbito + calore perso.

Calore ceduto

Q_h = 2·3,6·(160 − 70) = 648 kW

Calore che raggiunge l’acqua

Q_c = (1 − 0,1)·648 = 583,2 kW

Portata d’acqua

ṁ_c = Q_c/(c_p,c·Δt) = 583,2/(4,18·45) = 3,1 kg/s

Risposta

ṁ_c = 3,1 kg/s

5.Macchine termiche e frigorifere

Risposta: η_max = 64,02 %

Limiti del secondo principio: nessun ciclo che lavora tra serbatoi alle temperature assolute T_H e T_L può superare il ciclo reversibile (di Carnot): η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) e COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). L’energia si conserva sempre: Q_H = W + Q_L.

Temperature assolute

T_H = 500 + 273,15 = 773,1 K

T_L = 5 + 273,15 = 278,1 K

Rendimento di Carnot

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 278,1/773,1 = 64,02 %

Risposta

η_max = 64,02 %

6.Macchine termiche e frigorifere

Risposta: S_gen = 4,713 kJ/K

Generazione di entropia: su un ciclo completo il fluido di lavoro non ha variazione netta di entropia. Il serbatoio caldo perde Q_H/T_H e quello freddo guadagna Q_L/T_L. La loro somma è l’entropia generata, che è nulla per un ciclo reversibile e positiva per ogni ciclo reale.

Calore ceduto

Q_L = Q_H − W = 4100 − 1394 = 2706 kJ

Temperature assolute

T_H = 700 + 273,15 = 973,1 K

T_L = 30 + 273,15 = 303,1 K

Variazioni di entropia dei serbatoi

ΔS_H = −4100/973,1 = −4,213 kJ/K

ΔS_L = 2706/303,1 = 8,926 kJ/K

S_gen = 8,926 − 4,213 = 4,713 kJ/K

Risposta

S_gen = 4,713 kJ/K

S_gen > 0, quindi la macchina è possibile ma irreversibile.

7.Cicli termodinamici a gas

Risposta: η = 58,25 %

Ciclo Diesel (motore ad accensione per compressione): 1→2 compressione isoentropica, 2→3 introduzione di calore a pressione costante, 3→4 espansione isoentropica, 4→1 cessione di calore a volume costante. Con rapporto di compressione r = v₁/v₂ e rapporto di combustione r_c = v₃/v₂: T₂ = T₁·r^k−1, T₃ = r_c·T₂, q_in = c_p·(T₃ − T₂) e η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k·(r_c − 1)).

Termine del rapporto di combustione

(2,2^1,4 − 1)/(1,4·(2,2 − 1)) = 1,2

Rendimento termico

η = 1 − 0,348·1,2 = 58,25%

Risposta

η = 58,25%

8.Cicli termodinamici a gas

Risposta: η = 53,87 %

Ciclo Brayton (turbina a gas): 1→2 compressione isoentropica, 2→3 introduzione di calore a pressione costante, 3→4 espansione isoentropica in turbina, 4→1 cessione di calore a pressione costante. Con rapporto di compressione r_p = P₂/P₁: T₂ = T₁·r_p^(k−1)/k, T₄ = T₃/r_p^(k−1)/k e η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k. Lavoro netto w = c_p·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]. Con i rendimenti isoentropici, il compressore richiede w_s/η_c e la turbina fornisce η_t·w_s.

Rendimento termico

η = 1 − 1/15^0,2857 = 1 − 1/2,168 = 53,87%

Risposta

η = 53,87%

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