Termodinamica applicata: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 8 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Legge dei gas ideali

Legge dei gas ideali: pV = nRT
Costante dei gas: R = 8,314 J/(mol·K)
Legge combinata dei gas: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
Moli: n = m/M
Temperatura: T[K] = T[°C] + 273,15

Bilancio energetico

Calore sensibile: Q = ṁ·c_p·ΔT
Calore latente: Q = ṁ·h_fg
Miscelazione: Σṁc_pT_in = Σṁc_pT_out
Acqua: c_p ≈ 4,18 kJ/(kg·K)

Macchine termiche e frigorifere

Rendimento: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
Rendimento di Carnot: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
COP del frigorifero: COP_R = Q_C/W
COP della pompa di calore: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
Bilancio energetico: Q_H = W + Q_C

Cicli termodinamici a gas

Isoentropica, rapporto dei volumi: T₂/T₁ = r^k−1
Isoentropica, rapporto delle pressioni: T₂/T₁ = r_p^(k−1)/k
Rendimento Otto: η = 1 − 1/r^k−1
Rendimento Diesel: η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k(r_c − 1))
Rendimento Brayton: η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k
Calore fornito: Otto: c_v(T₃ − T₂) Diesel, Brayton: c_p(T₃ − T₂)
Lavoro netto Brayton: w = c_p[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]
Rendimenti isoentropici: w_c = w_c,s/η_c, w_t = η_t·w_t,s
Aria fredda: k = 1,4, c_p = 1,005, c_v = 0,718 kJ/(kg·K)

2Esercizi

1.Legge dei gas idealiMedia

Un serbatoio di 50 L contiene 80 g di CH₄ a 55 °C. Trattalo come gas ideale e trova la pressione P.

m = 80 gM = 16,04 g/molV = 50 LT = 55 °CR = 8,314 J/(mol·K)

P = kPa

2.Legge dei gas idealiDifficile

Trova la densità ρ di Ar a 850 kPa e 0 °C, trattandolo come gas ideale.

M = 39,95 g/molP = 850 kPaT = 0 °CR = 8,314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

3.Bilancio energeticoMedia

Il etanolo caldo raffredda acqua in uno scambiatore controcorrente senza perdite di calore. Trova la temperatura di uscita dell’acqua t_out.

ṁ_h = 1 kg/sc_p,h = 2,44 kJ/(kg·K)T_h: 120 → 90 °Cṁ_c = 1 kg/sc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)t_in = 30 °C

t_out = °C

4.Bilancio energeticoDifficile

Il etanolo caldo riscalda acqua in uno scambiatore che perde verso l’ambiente il 15% del calore ceduto dalla corrente calda. Trova la portata d’acqua ṁ_c necessaria.

ṁ_h = 1,5 kg/sc_p,h = 2,44 kJ/(kg·K)T_h: 140 → 90 °Ct: 15 → 75 °Cc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)perdita = 15 %

ṁ_c = kg/s

5.Macchine termiche e frigorifereMedia

Una macchina termica lavora tra un serbatoio caldo a 250 °C e un serbatoio freddo a 25 °C. Assorbe 3200 kJ di calore. Trova il massimo lavoro W_max che potrebbe produrre.

T_H = 250 °CT_L = 25 °CQ_H = 3200 kJ

W_max = kJ

6.Macchine termiche e frigorifereDifficile

Una pompa di calore mantiene una casa a 20 °C mentre fuori ci sono 2 °C, fornendo 5 kW di calore alla casa. Trova la potenza minima in ingresso Ẇ_min.

T_H = 20 °CT_L = 2 °CQ̇_H = 5 kW

Ẇ_min = kW

7.Cicli termodinamici a gasMedia

Un ciclo Diesel ideale ha un rapporto di compressione r = 14 e un rapporto di combustione r_c = v₃/v₂ = 3. All’inizio della compressione l’aria è a 305 K. Usa le ipotesi dell’aria standard fredda: l’aria è un gas ideale con calori specifici costanti, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) e c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Trova il calore fornito q_in per kilogrammo d’aria, in kJ/kg.

r = 14r_c = 3T₁ = 305 Kk = 1,4c_p = 1,005 kJ/(kg·K)

q_in = kJ/kg

8.Cicli termodinamici a gasDifficile

Un ciclo Brayton ideale funziona con un rapporto di compressione di 15. Usa le ipotesi dell’aria standard fredda: l’aria è un gas ideale con calori specifici costanti, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) e c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Trova il suo rendimento termico η in percentuale.

r_p = 15k = 1,4

η = %

3Soluzioni

1.Legge dei gas ideali

Risposta: P = 272,1 kPa

Legge dei gas ideali: PV = nRT, con n = m/M.

Moli

n = m/M = 80/16,04 = 4,988 mol

T = 55 + 273,15 = 328,1 K

Pressione

P = nRT/V = 4,988·8,314·328,1/0,05 = 272,1 kPa

Risposta

P = 272,1 kPa

2.Legge dei gas ideali

Risposta: ρ = 14,95 kg/m³

Densità di un gas ideale: ρ = PM/(RT).

Riordina la legge dei gas

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 0 + 273,15 = 273,1 K

Densità

ρ = 850·39,95/(8,314·273,1) = 14,95 kg/m³

Risposta

ρ = 14,95 kg/m³

3.Bilancio energetico

Risposta: t_out = 47,51 °C

Bilancio energetico dello scambiatore: senza perdite, ṁ_hc_p,h(T_h,in − T_h,out) = ṁ_cc_p,c(t_out − t_in).

Calore ceduto dalla corrente calda

Q = 1·2,44·(120 − 90) = 73,2 kW

Calore assorbito dall’acqua

t_out = t_in + Q/(ṁ_cc_p,c) = 30 + 73,2/(1·4,18) = 47,51 °C

Risposta

t_out = 47,51 °C

4.Bilancio energetico

Risposta: ṁ_c = 0,6202 kg/s

Bilancio energetico con perdite: calore ceduto = calore assorbito + calore perso.

Calore ceduto

Q_h = 1,5·2,44·(140 − 90) = 183 kW

Calore che raggiunge l’acqua

Q_c = (1 − 0,15)·183 = 155,5 kW

Portata d’acqua

ṁ_c = Q_c/(c_p,c·Δt) = 155,5/(4,18·60) = 0,6202 kg/s

Risposta

ṁ_c = 0,6202 kg/s

5.Macchine termiche e frigorifere

Risposta: W_max = 1376 kJ

Limiti del secondo principio: nessun ciclo che lavora tra serbatoi alle temperature assolute T_H e T_L può superare il ciclo reversibile (di Carnot): η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) e COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). L’energia si conserva sempre: Q_H = W + Q_L.

Temperature assolute

T_H = 250 + 273,15 = 523,1 K

T_L = 25 + 273,15 = 298,1 K

Rendimento di Carnot

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 298,1/523,1 = 43,01 %

Lavoro massimo

W_max = η_max·Q_H = 0,4301·3200 = 1376 kJ

Risposta

W_max = 1376 kJ

6.Macchine termiche e frigorifere

Risposta: Ẇ_min = 0,307 kW

Temperature assolute

T_H = 20 + 273,15 = 293,1 K

T_L = 2 + 273,15 = 275,1 K

Miglior COP possibile

COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L) = 293,1/(293,1 − 275,1) = 16,29

Potenza minima

Il lavoro minimo serve a una macchina reversibile, che ha il COP più alto.

Ẇ_min = Q̇_H/COP = 5/16,29 = 0,307 kW

Risposta

Ẇ_min = 0,307 kW

7.Cicli termodinamici a gas

Risposta: q_in = 1762 kJ/kg

Ciclo Diesel (motore ad accensione per compressione): 1→2 compressione isoentropica, 2→3 introduzione di calore a pressione costante, 3→4 espansione isoentropica, 4→1 cessione di calore a volume costante. Con rapporto di compressione r = v₁/v₂ e rapporto di combustione r_c = v₃/v₂: T₂ = T₁·r^k−1, T₃ = r_c·T₂, q_in = c_p·(T₃ − T₂) e η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k·(r_c − 1)).

Temperature

T₂ = 305·14^0,4 = 876,5 K

T₃ = 3·876,5 = 2629 K

Calore fornito a pressione costante

q_in = 1,005·(2629 − 876,5) = 1762 kJ/kg

Risposta

q_in = 1762 kJ/kg

8.Cicli termodinamici a gas

Risposta: η = 53,87 %

Ciclo Brayton (turbina a gas): 1→2 compressione isoentropica, 2→3 introduzione di calore a pressione costante, 3→4 espansione isoentropica in turbina, 4→1 cessione di calore a pressione costante. Con rapporto di compressione r_p = P₂/P₁: T₂ = T₁·r_p^(k−1)/k, T₄ = T₃/r_p^(k−1)/k e η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k. Lavoro netto w = c_p·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]. Con i rendimenti isoentropici, il compressore richiede w_s/η_c e la turbina fornisce η_t·w_s.

Rendimento termico

η = 1 − 1/15^0,2857 = 1 − 1/2,168 = 53,87%

Risposta

η = 53,87%

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