Termodinamica applicata: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 8 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Legge dei gas ideali

Legge dei gas ideali: pV = nRT
Costante dei gas: R = 8,314 J/(mol·K)
Legge combinata dei gas: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
Moli: n = m/M
Temperatura: T[K] = T[°C] + 273,15

Bilancio energetico

Calore sensibile: Q = ṁ·c_p·ΔT
Calore latente: Q = ṁ·h_fg
Miscelazione: Σṁc_pT_in = Σṁc_pT_out
Acqua: c_p ≈ 4,18 kJ/(kg·K)

Macchine termiche e frigorifere

Rendimento: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
Rendimento di Carnot: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
COP del frigorifero: COP_R = Q_C/W
COP della pompa di calore: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
Bilancio energetico: Q_H = W + Q_C

Cicli termodinamici a gas

Isoentropica, rapporto dei volumi: T₂/T₁ = r^k−1
Isoentropica, rapporto delle pressioni: T₂/T₁ = r_p^(k−1)/k
Rendimento Otto: η = 1 − 1/r^k−1
Rendimento Diesel: η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k(r_c − 1))
Rendimento Brayton: η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k
Calore fornito: Otto: c_v(T₃ − T₂) Diesel, Brayton: c_p(T₃ − T₂)
Lavoro netto Brayton: w = c_p[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]
Rendimenti isoentropici: w_c = w_c,s/η_c, w_t = η_t·w_t,s
Aria fredda: k = 1,4, c_p = 1,005, c_v = 0,718 kJ/(kg·K)

2Esercizi

1.Legge dei gas idealiMedia

Quale volume V occupano 290 g di Ar a 200 kPa e 65 °C? Trattalo come gas ideale.

m = 290 gM = 39,95 g/molP = 200 kPaT = 65 °CR = 8,314 J/(mol·K)

V = L

2.Legge dei gas idealiDifficile

Trova la densità ρ di CH₄ a 850 kPa e 120 °C, trattandolo come gas ideale.

M = 16,04 g/molP = 850 kPaT = 120 °CR = 8,314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

3.Bilancio energeticoMedia

Il etanolo caldo raffredda acqua in uno scambiatore controcorrente senza perdite di calore. Trova la temperatura di uscita dell’acqua t_out.

ṁ_h = 0,5 kg/sc_p,h = 2,44 kJ/(kg·K)T_h: 140 → 110 °Cṁ_c = 0,5 kg/sc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)t_in = 10 °C

t_out = °C

4.Bilancio energeticoDifficile

Il etanolo caldo riscalda acqua in uno scambiatore che perde verso l’ambiente il 10% del calore ceduto dalla corrente calda. Trova la portata d’acqua ṁ_c necessaria.

ṁ_h = 1 kg/sc_p,h = 2,44 kJ/(kg·K)T_h: 130 → 60 °Ct: 25 → 75 °Cc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)perdita = 10 %

ṁ_c = kg/s

5.Macchine termiche e frigorifereMedia

Un frigorifero reversibile mantiene una cella frigorifera a -30 °C sottraendo 8 kW di calore, e cede calore all’ambiente a 28 °C. Trova la potenza termica Q̇_H che cede.

T_L = -30 °CT_H = 28 °CQ̇_L = 8 kW

Q̇_H = kW

6.Macchine termiche e frigorifereDifficile

Una pompa di calore mantiene una casa a 22 °C mentre fuori ci sono 0 °C, fornendo 7 kW di calore alla casa. Trova la potenza minima in ingresso Ẇ_min.

T_H = 22 °CT_L = 0 °CQ̇_H = 7 kW

Ẇ_min = kW

7.Cicli termodinamici a gasMedia

Un ciclo Diesel ideale ha un rapporto di compressione r = 22 e un rapporto di combustione r_c = v₃/v₂ = 2. Usa le ipotesi dell’aria standard fredda: l’aria è un gas ideale con calori specifici costanti, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) e c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Trova il suo rendimento termico η in percentuale.

r = 22r_c = 2k = 1,4

η = %

8.Cicli termodinamici a gasDifficile

Un impianto con turbina a gas funziona secondo un ciclo Brayton con rapporto di compressione 8. L’aria entra nel compressore a 288 K e nella turbina a 1500 K. Il compressore ha un rendimento isoentropico del 88% e la turbina del 85%. Usa le ipotesi dell’aria standard fredda: l’aria è un gas ideale con calori specifici costanti, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) e c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Trova il lavoro netto prodotto w_net per kilogrammo d’aria, in kJ/kg.

r_p = 8T₁ = 288 KT₃ = 1500 Kη_c = 88%η_t = 85%k = 1,4c_p = 1,005 kJ/(kg·K)

w_net = kJ/kg

3Soluzioni

1.Legge dei gas ideali

Risposta: V = 102 L

Legge dei gas ideali: PV = nRT, con n = m/M.

Moli

n = 290/39,95 = 7,259 mol

T = 65 + 273,15 = 338,1 K

Volume

V = nRT/P = 7,259·8,314·338,1/200 = 102 L

Risposta

V = 102 L

2.Legge dei gas ideali

Risposta: ρ = 4,171 kg/m³

Densità di un gas ideale: ρ = PM/(RT).

Riordina la legge dei gas

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 120 + 273,15 = 393,1 K

Densità

ρ = 850·16,04/(8,314·393,1) = 4,171 kg/m³

Risposta

ρ = 4,171 kg/m³

3.Bilancio energetico

Risposta: t_out = 27,51 °C

Bilancio energetico dello scambiatore: senza perdite, ṁ_hc_p,h(T_h,in − T_h,out) = ṁ_cc_p,c(t_out − t_in).

Calore ceduto dalla corrente calda

Q = 0,5·2,44·(140 − 110) = 36,6 kW

Calore assorbito dall’acqua

t_out = t_in + Q/(ṁ_cc_p,c) = 10 + 36,6/(0,5·4,18) = 27,51 °C

Risposta

t_out = 27,51 °C

4.Bilancio energetico

Risposta: ṁ_c = 0,7355 kg/s

Bilancio energetico con perdite: calore ceduto = calore assorbito + calore perso.

Calore ceduto

Q_h = 1·2,44·(130 − 60) = 170,8 kW

Calore che raggiunge l’acqua

Q_c = (1 − 0,1)·170,8 = 153,7 kW

Portata d’acqua

ṁ_c = Q_c/(c_p,c·Δt) = 153,7/(4,18·50) = 0,7355 kg/s

Risposta

ṁ_c = 0,7355 kg/s

5.Macchine termiche e frigorifere

Risposta: Q̇_H = 9,908 kW

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

Temperature assolute

T_H = 28 + 273,15 = 301,1 K

T_L = -30 + 273,15 = 243,1 K

Rapporto dei calori nel ciclo reversibile

Q̇_H = Q̇_L·T_H/T_L = 8·301,1/243,1 = 9,908 kW

Risposta

Q̇_H = 9,908 kW

Potenza assorbita: Ẇ = 1,908 kW.

6.Macchine termiche e frigorifere

Risposta: Ẇ_min = 0,5218 kW

Limiti del secondo principio: nessun ciclo che lavora tra serbatoi alle temperature assolute T_H e T_L può superare il ciclo reversibile (di Carnot): η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) e COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). L’energia si conserva sempre: Q_H = W + Q_L.

Temperature assolute

T_H = 22 + 273,15 = 295,1 K

T_L = 0 + 273,15 = 273,1 K

Miglior COP possibile

COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L) = 295,1/(295,1 − 273,1) = 13,42

Potenza minima

Il lavoro minimo serve a una macchina reversibile, che ha il COP più alto.

Ẇ_min = Q̇_H/COP = 7/13,42 = 0,5218 kW

Risposta

Ẇ_min = 0,5218 kW

7.Cicli termodinamici a gas

Risposta: η = 66 %

Ciclo Diesel (motore ad accensione per compressione): 1→2 compressione isoentropica, 2→3 introduzione di calore a pressione costante, 3→4 espansione isoentropica, 4→1 cessione di calore a volume costante. Con rapporto di compressione r = v₁/v₂ e rapporto di combustione r_c = v₃/v₂: T₂ = T₁·r^k−1, T₃ = r_c·T₂, q_in = c_p·(T₃ − T₂) e η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k·(r_c − 1)).

Termine del rapporto di combustione

(2^1,4 − 1)/(1,4·(2 − 1)) = 1,171

Rendimento termico

η = 1 − 0,2904·1,171 = 66%

Risposta

η = 66%

8.Cicli termodinamici a gas

Risposta: w_net = 307,1 kJ/kg

Ciclo Brayton (turbina a gas): 1→2 compressione isoentropica, 2→3 introduzione di calore a pressione costante, 3→4 espansione isoentropica in turbina, 4→1 cessione di calore a pressione costante. Con rapporto di compressione r_p = P₂/P₁: T₂ = T₁·r_p^(k−1)/k, T₄ = T₃/r_p^(k−1)/k e η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k. Lavoro netto w = c_p·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]. Con i rendimenti isoentropici, il compressore richiede w_s/η_c e la turbina fornisce η_t·w_s.

Temperature isoentropiche

T_2s = 288·8^0,2857 = 521,7 K

T_4s = 1500/8^0,2857 = 828,1 K

Lavoro del compressore e della turbina

w_c = 1,005·(521,7 − 288)/0,88 = 266,9 kJ/kg

w_t = 0,85·1,005·(1500 − 828,1) = 574 kJ/kg

Lavoro netto

w_net = 574 − 266,9 = 307,1 kJ/kg

Risposta

w_net = 307,1 kJ/kg

Rapporto dei lavori (back-work ratio): w_c/w_t = 46,5%.

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