Termodinamica applicata: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 8 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Legge dei gas ideali

Legge dei gas ideali: pV = nRT
Costante dei gas: R = 8,314 J/(mol·K)
Legge combinata dei gas: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
Moli: n = m/M
Temperatura: T[K] = T[°C] + 273,15

Bilancio energetico

Calore sensibile: Q = ṁ·c_p·ΔT
Calore latente: Q = ṁ·h_fg
Miscelazione: Σṁc_pT_in = Σṁc_pT_out
Acqua: c_p ≈ 4,18 kJ/(kg·K)

Macchine termiche e frigorifere

Rendimento: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
Rendimento di Carnot: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
COP del frigorifero: COP_R = Q_C/W
COP della pompa di calore: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
Bilancio energetico: Q_H = W + Q_C

Cicli termodinamici a gas

Isoentropica, rapporto dei volumi: T₂/T₁ = r^k−1
Isoentropica, rapporto delle pressioni: T₂/T₁ = r_p^(k−1)/k
Rendimento Otto: η = 1 − 1/r^k−1
Rendimento Diesel: η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k(r_c − 1))
Rendimento Brayton: η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k
Calore fornito: Otto: c_v(T₃ − T₂) Diesel, Brayton: c_p(T₃ − T₂)
Lavoro netto Brayton: w = c_p[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]
Rendimenti isoentropici: w_c = w_c,s/η_c, w_t = η_t·w_t,s
Aria fredda: k = 1,4, c_p = 1,005, c_v = 0,718 kJ/(kg·K)

2Esercizi

1.Legge dei gas idealiMedia

Quale volume V occupano 120 g di He a 300 kPa e 50 °C? Trattalo come gas ideale.

m = 120 gM = 4,003 g/molP = 300 kPaT = 50 °CR = 8,314 J/(mol·K)

V = L

2.Legge dei gas idealiDifficile

Una quantità fissa di He passa da 200 kPa, 2 L, 35 °C a 600 kPa e 160 °C. Trova il nuovo volume V₂.

P₁ = 200 kPaV₁ = 2 LT₁ = 35 °CP₂ = 600 kPaT₂ = 160 °C

V₂ = L

3.Bilancio energeticoMedia

Il olio leggero caldo raffredda acqua in uno scambiatore controcorrente senza perdite di calore. Trova la temperatura di uscita dell’acqua t_out.

ṁ_h = 3 kg/sc_p,h = 2,1 kJ/(kg·K)T_h: 140 → 90 °Cṁ_c = 1 kg/sc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)t_in = 30 °C

t_out = °C

4.Bilancio energeticoDifficile

Il miscela di glicole caldo riscalda acqua in uno scambiatore che perde verso l’ambiente il 10% del calore ceduto dalla corrente calda. Trova la portata d’acqua ṁ_c necessaria.

ṁ_h = 0,5 kg/sc_p,h = 3,6 kJ/(kg·K)T_h: 120 → 80 °Ct: 30 → 90 °Cc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)perdita = 10 %

ṁ_c = kg/s

5.Macchine termiche e frigorifereMedia

Una macchina termica lavora tra un serbatoio caldo a 800 °C e un serbatoio freddo a 20 °C. Trova il massimo rendimento termico possibile η_max.

T_H = 800 °CT_L = 20 °C

η_max = %

6.Macchine termiche e frigorifereDifficile

Una pompa di calore fornisce 8 kW di calore a un impianto di riscaldamento a 45 °C, prelevando calore da una sorgente a 0 °C. Il suo COP effettivo è il 35% del COP di Carnot tra queste temperature. Trova la potenza elettrica Ẇ che assorbe.

T_H = 45 °CT_L = 0 °Cη_II = 35%Q̇_H = 8 kW

Ẇ = kW

7.Cicli termodinamici a gasMedia

Un ciclo Diesel ideale ha un rapporto di compressione r = 14 e un rapporto di combustione r_c = v₃/v₂ = 2,2. All’inizio della compressione l’aria è a 295 K. Usa le ipotesi dell’aria standard fredda: l’aria è un gas ideale con calori specifici costanti, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) e c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Trova la temperatura T₃ alla fine dell’introduzione di calore, in K.

r = 14r_c = 2,2T₁ = 295 Kk = 1,4

T₃ = K

8.Cicli termodinamici a gasDifficile

Un impianto con turbina a gas funziona secondo un ciclo Brayton con rapporto di compressione 16. L’aria entra nel compressore a 300 K e nella turbina a 1200 K. Entrambe le macchine sono isoentropiche. Usa le ipotesi dell’aria standard fredda: l’aria è un gas ideale con calori specifici costanti, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) e c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Trova il lavoro netto prodotto w_net per kilogrammo d’aria, in kJ/kg.

r_p = 16T₁ = 300 KT₃ = 1200 Kk = 1,4c_p = 1,005 kJ/(kg·K)

w_net = kJ/kg

3Soluzioni

1.Legge dei gas ideali

Risposta: V = 268,5 L

Legge dei gas ideali: PV = nRT, con n = m/M.

Moli

n = 120/4,003 = 29,98 mol

T = 50 + 273,15 = 323,1 K

Volume

V = nRT/P = 29,98·8,314·323,1/300 = 268,5 L

Risposta

V = 268,5 L

2.Legge dei gas ideali

Risposta: V₂ = 0,9371 L

Legge combinata dei gas: per una quantità fissa di gas ideale, P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂.

Temperature assolute

T₁ = 308,1 K, T₂ = 433,1 K

Legge combinata dei gas

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 2·(200/600)·(433,1/308,1) = 0,9371 L

Risposta

V₂ = 0,9371 L

3.Bilancio energetico

Risposta: t_out = 105,4 °C

Bilancio energetico dello scambiatore: senza perdite, ṁ_hc_p,h(T_h,in − T_h,out) = ṁ_cc_p,c(t_out − t_in).

Calore ceduto dalla corrente calda

Q = 3·2,1·(140 − 90) = 315 kW

Calore assorbito dall’acqua

t_out = t_in + Q/(ṁ_cc_p,c) = 30 + 315/(1·4,18) = 105,4 °C

Risposta

t_out = 105,4 °C

4.Bilancio energetico

Risposta: ṁ_c = 0,2584 kg/s

Bilancio energetico con perdite: calore ceduto = calore assorbito + calore perso.

Calore ceduto

Q_h = 0,5·3,6·(120 − 80) = 72 kW

Calore che raggiunge l’acqua

Q_c = (1 − 0,1)·72 = 64,8 kW

Portata d’acqua

ṁ_c = Q_c/(c_p,c·Δt) = 64,8/(4,18·60) = 0,2584 kg/s

Risposta

ṁ_c = 0,2584 kg/s

5.Macchine termiche e frigorifere

Risposta: η_max = 72,68 %

Limiti del secondo principio: nessun ciclo che lavora tra serbatoi alle temperature assolute T_H e T_L può superare il ciclo reversibile (di Carnot): η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) e COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). L’energia si conserva sempre: Q_H = W + Q_L.

Temperature assolute

T_H = 800 + 273,15 = 1073 K

T_L = 20 + 273,15 = 293,1 K

Rendimento di Carnot

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 293,1/1073 = 72,68 %

Risposta

η_max = 72,68 %

6.Macchine termiche e frigorifere

Risposta: Ẇ = 3,233 kW

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

Temperature assolute

T_H = 45 + 273,15 = 318,1 K

T_L = 0 + 273,15 = 273,1 K

COP di Carnot ed effettivo

COP_max = 318,1/(318,1 − 273,1) = 7,07

COP = 0,35·7,07 = 2,474

Potenza assorbita

Ẇ = Q̇_H/COP = 8/2,474 = 3,233 kW

Risposta

Ẇ = 3,233 kW

7.Cicli termodinamici a gas

Risposta: T₃ = 1865 K

Ciclo Diesel (motore ad accensione per compressione): 1→2 compressione isoentropica, 2→3 introduzione di calore a pressione costante, 3→4 espansione isoentropica, 4→1 cessione di calore a volume costante. Con rapporto di compressione r = v₁/v₂ e rapporto di combustione r_c = v₃/v₂: T₂ = T₁·r^k−1, T₃ = r_c·T₂, q_in = c_p·(T₃ − T₂) e η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k·(r_c − 1)).

Fine della compressione

T₂ = 295·14^0,4 = 847,8 K

Introduzione di calore a pressione costante

T₃ = r_c·T₂ = 2,2·847,8 = 1865 K

Risposta

T₃ = 1865 K

8.Cicli termodinamici a gas

Risposta: w_net = 295,6 kJ/kg

Ciclo Brayton (turbina a gas): 1→2 compressione isoentropica, 2→3 introduzione di calore a pressione costante, 3→4 espansione isoentropica in turbina, 4→1 cessione di calore a pressione costante. Con rapporto di compressione r_p = P₂/P₁: T₂ = T₁·r_p^(k−1)/k, T₄ = T₃/r_p^(k−1)/k e η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k. Lavoro netto w = c_p·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]. Con i rendimenti isoentropici, il compressore richiede w_s/η_c e la turbina fornisce η_t·w_s.

Temperature isoentropiche

T₂ = 300·16^0,2857 = 662,5 K

T₄ = 1200/16^0,2857 = 543,4 K

Lavoro del compressore e della turbina

w_c = 1,005·(662,5 − 300) = 364,3 kJ/kg

w_t = 1,005·(1200 − 543,4) = 659,8 kJ/kg

Lavoro netto

w_net = 659,8 − 364,3 = 295,6 kJ/kg

Risposta

w_net = 295,6 kJ/kg

Rapporto dei lavori (back-work ratio): w_c/w_t = 55,2%.

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