Termodinamica applicata: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 8 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Legge dei gas ideali

Legge dei gas ideali: pV = nRT
Costante dei gas: R = 8,314 J/(mol·K)
Legge combinata dei gas: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
Moli: n = m/M
Temperatura: T[K] = T[°C] + 273,15

Bilancio energetico

Calore sensibile: Q = ṁ·c_p·ΔT
Calore latente: Q = ṁ·h_fg
Miscelazione: Σṁc_pT_in = Σṁc_pT_out
Acqua: c_p ≈ 4,18 kJ/(kg·K)

Macchine termiche e frigorifere

Rendimento: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
Rendimento di Carnot: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
COP del frigorifero: COP_R = Q_C/W
COP della pompa di calore: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
Bilancio energetico: Q_H = W + Q_C

Cicli termodinamici a gas

Isoentropica, rapporto dei volumi: T₂/T₁ = r^k−1
Isoentropica, rapporto delle pressioni: T₂/T₁ = r_p^(k−1)/k
Rendimento Otto: η = 1 − 1/r^k−1
Rendimento Diesel: η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k(r_c − 1))
Rendimento Brayton: η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k
Calore fornito: Otto: c_v(T₃ − T₂) Diesel, Brayton: c_p(T₃ − T₂)
Lavoro netto Brayton: w = c_p[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]
Rendimenti isoentropici: w_c = w_c,s/η_c, w_t = η_t·w_t,s
Aria fredda: k = 1,4, c_p = 1,005, c_v = 0,718 kJ/(kg·K)

2Esercizi

1.Legge dei gas idealiMedia

Quale volume V occupano 60 g di Ar a 700 kPa e 70 °C? Trattalo come gas ideale.

m = 60 gM = 39,95 g/molP = 700 kPaT = 70 °CR = 8,314 J/(mol·K)

V = L

2.Legge dei gas idealiDifficile

Trova la densità ρ di He a 950 kPa e 100 °C, trattandolo come gas ideale.

M = 4,003 g/molP = 950 kPaT = 100 °CR = 8,314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

3.Bilancio energeticoMedia

Il miscela di glicole caldo raffredda acqua in uno scambiatore controcorrente senza perdite di calore. Trova la temperatura di uscita dell’acqua t_out.

ṁ_h = 2 kg/sc_p,h = 3,6 kJ/(kg·K)T_h: 140 → 70 °Cṁ_c = 2 kg/sc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)t_in = 15 °C

t_out = °C

4.Bilancio energeticoDifficile

Il miscela di glicole caldo riscalda acqua in uno scambiatore che perde verso l’ambiente il 5% del calore ceduto dalla corrente calda. Trova la portata d’acqua ṁ_c necessaria.

ṁ_h = 3 kg/sc_p,h = 3,6 kJ/(kg·K)T_h: 140 → 90 °Ct: 20 → 60 °Cc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)perdita = 5 %

ṁ_c = kg/s

5.Macchine termiche e frigorifereMedia

Una macchina termica lavora tra un serbatoio caldo a 800 °C e un serbatoio freddo a 35 °C. Trova il massimo rendimento termico possibile η_max.

T_H = 800 °CT_L = 35 °C

η_max = %

6.Macchine termiche e frigorifereDifficile

Una macchina termica assorbe 2100 kJ di calore da un serbatoio a 550 °C, produce 1071 kJ di lavoro e cede il resto a un serbatoio a 25 °C, per ciclo. Trova l’entropia totale generata S_gen per ciclo.

T_H = 550 °CT_L = 25 °CQ_H = 2100 kJW = 1071 kJ

S_gen = kJ/K

7.Cicli termodinamici a gasMedia

Un ciclo Diesel ideale ha un rapporto di compressione r = 14 e un rapporto di combustione r_c = v₃/v₂ = 1,5. All’inizio della compressione l’aria è a 320 K. Usa le ipotesi dell’aria standard fredda: l’aria è un gas ideale con calori specifici costanti, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) e c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Trova la temperatura T₃ alla fine dell’introduzione di calore, in K.

r = 14r_c = 1,5T₁ = 320 Kk = 1,4

T₃ = K

8.Cicli termodinamici a gasDifficile

Un ciclo Brayton ideale funziona con un rapporto di compressione di 8. Usa le ipotesi dell’aria standard fredda: l’aria è un gas ideale con calori specifici costanti, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) e c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Trova il suo rendimento termico η in percentuale.

r_p = 8k = 1,4

η = %

3Soluzioni

1.Legge dei gas ideali

Risposta: V = 6,121 L

Legge dei gas ideali: PV = nRT, con n = m/M.

Moli

n = 60/39,95 = 1,502 mol

T = 70 + 273,15 = 343,1 K

Volume

V = nRT/P = 1,502·8,314·343,1/700 = 6,121 L

Risposta

V = 6,121 L

2.Legge dei gas ideali

Risposta: ρ = 1,226 kg/m³

Densità di un gas ideale: ρ = PM/(RT).

Riordina la legge dei gas

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 100 + 273,15 = 373,1 K

Densità

ρ = 950·4,003/(8,314·373,1) = 1,226 kg/m³

Risposta

ρ = 1,226 kg/m³

3.Bilancio energetico

Risposta: t_out = 75,29 °C

Bilancio energetico dello scambiatore: senza perdite, ṁ_hc_p,h(T_h,in − T_h,out) = ṁ_cc_p,c(t_out − t_in).

Calore ceduto dalla corrente calda

Q = 2·3,6·(140 − 70) = 504 kW

Calore assorbito dall’acqua

t_out = t_in + Q/(ṁ_cc_p,c) = 15 + 504/(2·4,18) = 75,29 °C

Risposta

t_out = 75,29 °C

4.Bilancio energetico

Risposta: ṁ_c = 3,068 kg/s

Bilancio energetico con perdite: calore ceduto = calore assorbito + calore perso.

Calore ceduto

Q_h = 3·3,6·(140 − 90) = 540 kW

Calore che raggiunge l’acqua

Q_c = (1 − 0,05)·540 = 513 kW

Portata d’acqua

ṁ_c = Q_c/(c_p,c·Δt) = 513/(4,18·40) = 3,068 kg/s

Risposta

ṁ_c = 3,068 kg/s

5.Macchine termiche e frigorifere

Risposta: η_max = 71,29 %

Limiti del secondo principio: nessun ciclo che lavora tra serbatoi alle temperature assolute T_H e T_L può superare il ciclo reversibile (di Carnot): η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) e COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). L’energia si conserva sempre: Q_H = W + Q_L.

Temperature assolute

T_H = 800 + 273,15 = 1073 K

T_L = 35 + 273,15 = 308,1 K

Rendimento di Carnot

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 308,1/1073 = 71,29 %

Risposta

η_max = 71,29 %

6.Macchine termiche e frigorifere

Risposta: S_gen = 0,9001 kJ/K

Generazione di entropia: su un ciclo completo il fluido di lavoro non ha variazione netta di entropia. Il serbatoio caldo perde Q_H/T_H e quello freddo guadagna Q_L/T_L. La loro somma è l’entropia generata, che è nulla per un ciclo reversibile e positiva per ogni ciclo reale.

Calore ceduto

Q_L = Q_H − W = 2100 − 1071 = 1029 kJ

Temperature assolute

T_H = 550 + 273,15 = 823,1 K

T_L = 25 + 273,15 = 298,1 K

Variazioni di entropia dei serbatoi

ΔS_H = −2100/823,1 = −2,551 kJ/K

ΔS_L = 1029/298,1 = 3,451 kJ/K

S_gen = 3,451 − 2,551 = 0,9001 kJ/K

Risposta

S_gen = 0,9001 kJ/K

S_gen > 0, quindi la macchina è possibile ma irreversibile.

7.Cicli termodinamici a gas

Risposta: T₃ = 1379 K

Ciclo Diesel (motore ad accensione per compressione): 1→2 compressione isoentropica, 2→3 introduzione di calore a pressione costante, 3→4 espansione isoentropica, 4→1 cessione di calore a volume costante. Con rapporto di compressione r = v₁/v₂ e rapporto di combustione r_c = v₃/v₂: T₂ = T₁·r^k−1, T₃ = r_c·T₂, q_in = c_p·(T₃ − T₂) e η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k·(r_c − 1)).

Fine della compressione

T₂ = 320·14^0,4 = 919,6 K

Introduzione di calore a pressione costante

T₃ = r_c·T₂ = 1,5·919,6 = 1379 K

Risposta

T₃ = 1379 K

8.Cicli termodinamici a gas

Risposta: η = 44,8 %

Ciclo Brayton (turbina a gas): 1→2 compressione isoentropica, 2→3 introduzione di calore a pressione costante, 3→4 espansione isoentropica in turbina, 4→1 cessione di calore a pressione costante. Con rapporto di compressione r_p = P₂/P₁: T₂ = T₁·r_p^(k−1)/k, T₄ = T₃/r_p^(k−1)/k e η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k. Lavoro netto w = c_p·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]. Con i rendimenti isoentropici, il compressore richiede w_s/η_c e la turbina fornisce η_t·w_s.

Rendimento termico

η = 1 − 1/8^0,2857 = 1 − 1/1,811 = 44,8%

Risposta

η = 44,8%

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