Termodinamica applicata: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 8 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Legge dei gas ideali

Legge dei gas ideali
pV = nRT
Costante dei gas
R = 8,314 J/(mol·K)
Legge combinata dei gas
p1V1/T1 = p2V2/T2
Moli
n = m/M
Temperatura
T[K] = T[°C] + 273,15

Bilancio energetico

Calore sensibile
Q = ṁ·cp·ΔT
Calore latente
Q = ṁ·hfg
Miscelazione
ΣṁcpTin = ΣṁcpTout
Acqua
cp ≈ 4,18 kJ/(kg·K)

Macchine termiche e frigorifere

Rendimento
η = W/QH = 1 − QC/QH
Rendimento di Carnot
ηC = 1 − TC/TH (kelvin)
COP del frigorifero
COPR = QC/W
COP della pompa di calore
COPHP = QH/W = COPR + 1
Bilancio energetico
QH = W + QC

Cicli termodinamici a gas

Isoentropica, rapporto dei volumi
T2/T1 = rk−1
Isoentropica, rapporto delle pressioni
T2/T1 = rp(k−1)/k
Rendimento Otto
η = 1 − 1/rk−1
Rendimento Diesel
η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k(rc − 1))
Rendimento Brayton
η = 1 − 1/rp(k−1)/k
Calore fornito
Otto: cv(T3 − T2) Diesel, Brayton: cp(T3 − T2)
Lavoro netto Brayton
w = cp[(T3 − T4) − (T2 − T1)]
Rendimenti isoentropici
wc = wc,s/ηc, wt = ηt·wt,s
Aria fredda
k = 1,4, cp = 1,005, cv = 0,718 kJ/(kg·K)

2Esercizi

1.Legge dei gas idealiMedia
500 g di ArP = 350 kPaT = 10 °CV = ?

Quale volume V occupano 500 g di Ar a 350 kPa e 10 °C? Trattalo come gas ideale.

m = 500 gM = 39,95 g/molP = 350 kPaT = 10 °CR = 8,314 J/(mol·K)
V = L
2.Legge dei gas idealiDifficile
O₂, M = 32 g/molP = 250 kPaT = 150 °Cρ = ?

Trova la densità ρ di O₂ a 250 kPa e 150 °C, trattandolo come gas ideale.

M = 32 g/molP = 250 kPaT = 150 °CR = 8,314 J/(mol·K)
ρ = kg/m³
3.Bilancio energeticoMedia
lato caldolato freddomiscela di glicole · 160 °C120 °Cacqua · 10 °Ct = ? °C

Il miscela di glicole caldo raffredda acqua in uno scambiatore controcorrente senza perdite di calore. Trova la temperatura di uscita dell’acqua tout.

ṁh = 3 kg/scp,h = 3,6 kJ/(kg·K)Th: 160 → 120 °Cṁc = 1 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)tin = 10 °C
tout = °C
4.Bilancio energeticoDifficile
lato caldolato freddoolio leggero · 150 °C70 °Cacqua · 10 °C70 °C · ṁ = ?5% perso

Il olio leggero caldo riscalda acqua in uno scambiatore che perde verso l’ambiente il 5% del calore ceduto dalla corrente calda. Trova la portata d’acqua ṁc necessaria.

ṁh = 2,5 kg/scp,h = 2,1 kJ/(kg·K)Th: 150 → 70 °Ct: 10 → 70 °Ccp,c = 4,18 kJ/(kg·K)perdita = 5 %
ṁc = kg/s
5.Macchine termiche e frigorifereMedia
TH​ = 425 °CTL​ = 5 °CEQH​ = 2700 kJQL​W = ?

Una macchina termica lavora tra un serbatoio caldo a 425 °C e un serbatoio freddo a 5 °C. Assorbe 2700 kJ di calore. Trova il massimo lavoro Wmax che potrebbe produrre.

TH = 425 °CTL = 5 °CQH = 2700 kJ
Wmax = kJ
6.Macchine termiche e frigorifereDifficile
TH​ = 55 °CTL​ = 2 °CHPQ̇H​ = 18,5 kWQ̇L​Ẇ = ?

Una pompa di calore fornisce 18,5 kW di calore a un impianto di riscaldamento a 55 °C, prelevando calore da una sorgente a 2 °C. Il suo COP effettivo è il 35% del COP di Carnot tra queste temperature. Trova la potenza elettrica Ẇ che assorbe.

TH = 55 °CTL = 2 °CηII = 35%Q̇H = 18,5 kW
Ẇ = kW
7.Cicli termodinamici a gasMedia
vP1234qin​qout​

Un ciclo Diesel ideale ha un rapporto di compressione r = 16 e un rapporto di combustione rc = v₃/v₂ = 1,5. All’inizio della compressione l’aria è a 310 K. Usa le ipotesi dell’aria standard fredda: l’aria è un gas ideale con calori specifici costanti, k = 1,4, cp = 1,005 kJ/(kg·K) e cv = 0,718 kJ/(kg·K). Trova la temperatura T3 alla fine dell’introduzione di calore, in K.

r = 16rc = 1,5T1 = 310 Kk = 1,4
T3 = K
8.Cicli termodinamici a gasDifficile
vP1234qin​qout​

Un impianto con turbina a gas funziona secondo un ciclo Brayton con rapporto di compressione 12. L’aria entra nel compressore a 290 K e nella turbina a 1300 K. Il compressore ha un rendimento isoentropico del 82% e la turbina del 85%. Usa le ipotesi dell’aria standard fredda: l’aria è un gas ideale con calori specifici costanti, k = 1,4, cp = 1,005 kJ/(kg·K) e cv = 0,718 kJ/(kg·K). Trova il lavoro netto prodotto wnet per kilogrammo d’aria, in kJ/kg.

rp = 12T1 = 290 KT3 = 1300 Kηc = 82%ηt = 85%k = 1,4cp = 1,005 kJ/(kg·K)
wnet = kJ/kg

3Soluzioni

1.Legge dei gas ideali

Risposta: V = 84,18 L

Legge dei gas ideali: PV = nRT, con n = m/M.

Moli

n = 500/39,95 = 12,52 mol
T = 10 + 273,15 = 283,1 K

Volume

V = nRT/P = 12,52·8,314·283,1/350 = 84,18 L

Risposta

V = 84,18 L
2.Legge dei gas ideali

Risposta: ρ = 2,274 kg/m³

Densità di un gas ideale: ρ = PM/(RT).

Riordina la legge dei gas

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)
T = 150 + 273,15 = 423,1 K

Densità

ρ = 250·32/(8,314·423,1) = 2,274 kg/m³

Risposta

ρ = 2,274 kg/m³
3.Bilancio energetico

Risposta: tout = 113,3 °C

Bilancio energetico dello scambiatore: senza perdite, ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = ṁccp,c(tout − tin).

Calore ceduto dalla corrente calda

Q = 3·3,6·(160 − 120) = 432 kW

Calore assorbito dall’acqua

tout = tin + Q/(ṁccp,c) = 10 + 432/(1·4,18) = 113,3 °C

Risposta

tout = 113,3 °C
4.Bilancio energetico

Risposta: ṁc = 1,591 kg/s

Bilancio energetico con perdite: calore ceduto = calore assorbito + calore perso.

Calore ceduto

Qh = 2,5·2,1·(150 − 70) = 420 kW

Calore che raggiunge l’acqua

Qc = (1 − 0,05)·420 = 399 kW

Portata d’acqua

ṁc = Qc/(cp,c·Δt) = 399/(4,18·60) = 1,591 kg/s

Risposta

ṁc = 1,591 kg/s
5.Macchine termiche e frigorifere

Risposta: Wmax = 1624 kJ

Limiti del secondo principio: nessun ciclo che lavora tra serbatoi alle temperature assolute TH e TL può superare il ciclo reversibile (di Carnot): ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) e COPHP,max = TH/(TH − TL). L’energia si conserva sempre: QH = W + QL.

Temperature assolute

TH = 425 + 273,15 = 698,1 K
TL = 5 + 273,15 = 278,1 K

Rendimento di Carnot

ηmax = 1 − TL/TH = 1 − 278,1/698,1 = 60,16 %

Lavoro massimo

Wmax = ηmax·QH = 0,6016·2700 = 1624 kJ

Risposta

Wmax = 1624 kJ
6.Macchine termiche e frigorifere

Risposta: Ẇ = 8,537 kW

Limiti del secondo principio: nessun ciclo che lavora tra serbatoi alle temperature assolute TH e TL può superare il ciclo reversibile (di Carnot): ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) e COPHP,max = TH/(TH − TL). L’energia si conserva sempre: QH = W + QL.

Temperature assolute

TH = 55 + 273,15 = 328,1 K
TL = 2 + 273,15 = 275,1 K

COP di Carnot ed effettivo

COPmax = 328,1/(328,1 − 275,1) = 6,192
COP = 0,35·6,192 = 2,167

Potenza assorbita

Ẇ = Q̇H/COP = 18,5/2,167 = 8,537 kW

Risposta

Ẇ = 8,537 kW
7.Cicli termodinamici a gas

Risposta: T3 = 1410 K

Ciclo Diesel (motore ad accensione per compressione): 1→2 compressione isoentropica, 2→3 introduzione di calore a pressione costante, 3→4 espansione isoentropica, 4→1 cessione di calore a volume costante. Con rapporto di compressione r = v₁/v₂ e rapporto di combustione rc = v₃/v₂: T₂ = T₁·rk−1, T₃ = rc·T₂, qin = cp·(T₃ − T₂) e η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k·(rc − 1)).

Fine della compressione

T2 = 310·160,4 = 939,7 K

Introduzione di calore a pressione costante

T3 = rc·T2 = 1,5·939,7 = 1410 K

Risposta

T3 = 1410 K
8.Cicli termodinamici a gas

Risposta: wnet = 197 kJ/kg

Ciclo Brayton (turbina a gas): 1→2 compressione isoentropica, 2→3 introduzione di calore a pressione costante, 3→4 espansione isoentropica in turbina, 4→1 cessione di calore a pressione costante. Con rapporto di compressione rp = P₂/P₁: T₂ = T₁·rp(k−1)/k, T₄ = T₃/rp(k−1)/k e η = 1 − 1/rp(k−1)/k. Lavoro netto w = cp·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]. Con i rendimenti isoentropici, il compressore richiede ws/ηc e la turbina fornisce ηt·ws.

Temperature isoentropiche

T2s = 290·120,2857 = 589,8 K
T4s = 1300/120,2857 = 639,2 K

Lavoro del compressore e della turbina

wc = 1,005·(589,8 − 290)/0,82 = 367,5 kJ/kg
wt = 0,85·1,005·(1300 − 639,2) = 564,5 kJ/kg

Lavoro netto

wnet = 564,5 − 367,5 = 197 kJ/kg

Risposta

wnet = 197 kJ/kg

Rapporto dei lavori (back-work ratio): wc/wt = 65,1%.

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