Termodinamica applicata: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 8 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Legge dei gas ideali

Legge dei gas ideali: pV = nRT
Costante dei gas: R = 8,314 J/(mol·K)
Legge combinata dei gas: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
Moli: n = m/M
Temperatura: T[K] = T[°C] + 273,15

Bilancio energetico

Calore sensibile: Q = ṁ·c_p·ΔT
Calore latente: Q = ṁ·h_fg
Miscelazione: Σṁc_pT_in = Σṁc_pT_out
Acqua: c_p ≈ 4,18 kJ/(kg·K)

Macchine termiche e frigorifere

Rendimento: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
Rendimento di Carnot: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
COP del frigorifero: COP_R = Q_C/W
COP della pompa di calore: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
Bilancio energetico: Q_H = W + Q_C

Cicli termodinamici a gas

Isoentropica, rapporto dei volumi: T₂/T₁ = r^k−1
Isoentropica, rapporto delle pressioni: T₂/T₁ = r_p^(k−1)/k
Rendimento Otto: η = 1 − 1/r^k−1
Rendimento Diesel: η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k(r_c − 1))
Rendimento Brayton: η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k
Calore fornito: Otto: c_v(T₃ − T₂) Diesel, Brayton: c_p(T₃ − T₂)
Lavoro netto Brayton: w = c_p[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]
Rendimenti isoentropici: w_c = w_c,s/η_c, w_t = η_t·w_t,s
Aria fredda: k = 1,4, c_p = 1,005, c_v = 0,718 kJ/(kg·K)

2Esercizi

1.Legge dei gas idealiMedia

Quale volume V occupano 70 g di Ar a 150 kPa e 95 °C? Trattalo come gas ideale.

m = 70 gM = 39,95 g/molP = 150 kPaT = 95 °CR = 8,314 J/(mol·K)

V = L

2.Legge dei gas idealiDifficile

Trova la densità ρ di He a 400 kPa e 120 °C, trattandolo come gas ideale.

M = 4,003 g/molP = 400 kPaT = 120 °CR = 8,314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

3.Bilancio energeticoMedia

Il olio leggero caldo raffredda acqua in uno scambiatore controcorrente senza perdite di calore. Trova la temperatura di uscita dell’acqua t_out.

ṁ_h = 0,5 kg/sc_p,h = 2,1 kJ/(kg·K)T_h: 150 → 80 °Cṁ_c = 1,5 kg/sc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)t_in = 15 °C

t_out = °C

4.Bilancio energeticoDifficile

Il etanolo caldo riscalda acqua in uno scambiatore che perde verso l’ambiente il 5% del calore ceduto dalla corrente calda. Trova la portata d’acqua ṁ_c necessaria.

ṁ_h = 2,5 kg/sc_p,h = 2,44 kJ/(kg·K)T_h: 180 → 100 °Ct: 15 → 45 °Cc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)perdita = 5 %

ṁ_c = kg/s

5.Macchine termiche e frigorifereMedia

Un frigorifero reversibile mantiene una cella frigorifera a -25 °C sottraendo 1,5 kW di calore, e cede calore all’ambiente a 20 °C. Trova la potenza termica Q̇_H che cede.

T_L = -25 °CT_H = 20 °CQ̇_L = 1,5 kW

Q̇_H = kW

6.Macchine termiche e frigorifereDifficile

Un frigorifero mantiene il vano freddo a -25 °C in una cucina a 35 °C, sottraendo calore dal vano freddo a 5 kW. Trova la potenza minima in ingresso Ẇ_min.

T_H = 35 °CT_L = -25 °CQ̇_L = 5 kW

Ẇ_min = kW

7.Cicli termodinamici a gasMedia

Un ciclo Diesel ideale ha un rapporto di compressione r = 19 e un rapporto di combustione r_c = v₃/v₂ = 3. Usa le ipotesi dell’aria standard fredda: l’aria è un gas ideale con calori specifici costanti, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) e c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Trova il suo rendimento termico η in percentuale.

r = 19r_c = 3k = 1,4

η = %

8.Cicli termodinamici a gasDifficile

Un ciclo Brayton ideale funziona con un rapporto di compressione di 8. Usa le ipotesi dell’aria standard fredda: l’aria è un gas ideale con calori specifici costanti, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) e c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Trova il suo rendimento termico η in percentuale.

r_p = 8k = 1,4

η = %

3Soluzioni

1.Legge dei gas ideali

Risposta: V = 35,75 L

Legge dei gas ideali: PV = nRT, con n = m/M.

Moli

n = 70/39,95 = 1,752 mol

T = 95 + 273,15 = 368,1 K

Volume

V = nRT/P = 1,752·8,314·368,1/150 = 35,75 L

Risposta

V = 35,75 L

2.Legge dei gas ideali

Risposta: ρ = 0,4899 kg/m³

Densità di un gas ideale: ρ = PM/(RT).

Riordina la legge dei gas

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 120 + 273,15 = 393,1 K

Densità

ρ = 400·4,003/(8,314·393,1) = 0,4899 kg/m³

Risposta

ρ = 0,4899 kg/m³

3.Bilancio energetico

Risposta: t_out = 26,72 °C

Bilancio energetico dello scambiatore: senza perdite, ṁ_hc_p,h(T_h,in − T_h,out) = ṁ_cc_p,c(t_out − t_in).

Calore ceduto dalla corrente calda

Q = 0,5·2,1·(150 − 80) = 73,5 kW

Calore assorbito dall’acqua

t_out = t_in + Q/(ṁ_cc_p,c) = 15 + 73,5/(1,5·4,18) = 26,72 °C

Risposta

t_out = 26,72 °C

4.Bilancio energetico

Risposta: ṁ_c = 3,697 kg/s

Bilancio energetico con perdite: calore ceduto = calore assorbito + calore perso.

Calore ceduto

Q_h = 2,5·2,44·(180 − 100) = 488 kW

Calore che raggiunge l’acqua

Q_c = (1 − 0,05)·488 = 463,6 kW

Portata d’acqua

ṁ_c = Q_c/(c_p,c·Δt) = 463,6/(4,18·30) = 3,697 kg/s

Risposta

ṁ_c = 3,697 kg/s

5.Macchine termiche e frigorifere

Risposta: Q̇_H = 1,772 kW

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

Temperature assolute

T_H = 20 + 273,15 = 293,1 K

T_L = -25 + 273,15 = 248,1 K

Rapporto dei calori nel ciclo reversibile

Q̇_H = Q̇_L·T_H/T_L = 1,5·293,1/248,1 = 1,772 kW

Risposta

Q̇_H = 1,772 kW

Potenza assorbita: Ẇ = 0,272 kW.

6.Macchine termiche e frigorifere

Risposta: Ẇ_min = 1,209 kW

Limiti del secondo principio: nessun ciclo che lavora tra serbatoi alle temperature assolute T_H e T_L può superare il ciclo reversibile (di Carnot): η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) e COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). L’energia si conserva sempre: Q_H = W + Q_L.

Temperature assolute

T_H = 35 + 273,15 = 308,1 K

T_L = -25 + 273,15 = 248,1 K

Miglior COP possibile

COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) = 248,1/(308,1 − 248,1) = 4,136

Potenza minima

Il lavoro minimo serve a una macchina reversibile, che ha il COP più alto.

Ẇ_min = Q̇_L/COP = 5/4,136 = 1,209 kW

Risposta

Ẇ_min = 1,209 kW

7.Cicli termodinamici a gas

Risposta: η = 59,79 %

Ciclo Diesel (motore ad accensione per compressione): 1→2 compressione isoentropica, 2→3 introduzione di calore a pressione costante, 3→4 espansione isoentropica, 4→1 cessione di calore a volume costante. Con rapporto di compressione r = v₁/v₂ e rapporto di combustione r_c = v₃/v₂: T₂ = T₁·r^k−1, T₃ = r_c·T₂, q_in = c_p·(T₃ − T₂) e η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k·(r_c − 1)).

Termine del rapporto di combustione

(3^1,4 − 1)/(1,4·(3 − 1)) = 1,306

Rendimento termico

η = 1 − 0,308·1,306 = 59,79%

Risposta

η = 59,79%

8.Cicli termodinamici a gas

Risposta: η = 44,8 %

Ciclo Brayton (turbina a gas): 1→2 compressione isoentropica, 2→3 introduzione di calore a pressione costante, 3→4 espansione isoentropica in turbina, 4→1 cessione di calore a pressione costante. Con rapporto di compressione r_p = P₂/P₁: T₂ = T₁·r_p^(k−1)/k, T₄ = T₃/r_p^(k−1)/k e η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k. Lavoro netto w = c_p·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]. Con i rendimenti isoentropici, il compressore richiede w_s/η_c e la turbina fornisce η_t·w_s.

Rendimento termico

η = 1 − 1/8^0,2857 = 1 − 1/1,811 = 44,8%

Risposta

η = 44,8%

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