Termodinamica applicata: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 8 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Legge dei gas ideali

Legge dei gas ideali: pV = nRT
Costante dei gas: R = 8,314 J/(mol·K)
Legge combinata dei gas: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
Moli: n = m/M
Temperatura: T[K] = T[°C] + 273,15

Bilancio energetico

Calore sensibile: Q = ṁ·c_p·ΔT
Calore latente: Q = ṁ·h_fg
Miscelazione: Σṁc_pT_in = Σṁc_pT_out
Acqua: c_p ≈ 4,18 kJ/(kg·K)

Macchine termiche e frigorifere

Rendimento: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
Rendimento di Carnot: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
COP del frigorifero: COP_R = Q_C/W
COP della pompa di calore: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
Bilancio energetico: Q_H = W + Q_C

Cicli termodinamici a gas

Isoentropica, rapporto dei volumi: T₂/T₁ = r^k−1
Isoentropica, rapporto delle pressioni: T₂/T₁ = r_p^(k−1)/k
Rendimento Otto: η = 1 − 1/r^k−1
Rendimento Diesel: η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k(r_c − 1))
Rendimento Brayton: η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k
Calore fornito: Otto: c_v(T₃ − T₂) Diesel, Brayton: c_p(T₃ − T₂)
Lavoro netto Brayton: w = c_p[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]
Rendimenti isoentropici: w_c = w_c,s/η_c, w_t = η_t·w_t,s
Aria fredda: k = 1,4, c_p = 1,005, c_v = 0,718 kJ/(kg·K)

2Esercizi

1.Legge dei gas idealiMedia

Un serbatoio di 10 L contiene 80 g di N₂ a 95 °C. Trattalo come gas ideale e trova la pressione P.

m = 80 gM = 28,01 g/molV = 10 LT = 95 °CR = 8,314 J/(mol·K)

P = kPa

2.Legge dei gas idealiDifficile

Una quantità fissa di N₂ passa da 400 kPa, 2 L, 30 °C a 800 kPa e 120 °C. Trova il nuovo volume V₂.

P₁ = 400 kPaV₁ = 2 LT₁ = 30 °CP₂ = 800 kPaT₂ = 120 °C

V₂ = L

3.Bilancio energeticoMedia

Il etanolo caldo raffredda acqua in uno scambiatore controcorrente senza perdite di calore. Trova la temperatura di uscita dell’acqua t_out.

ṁ_h = 2 kg/sc_p,h = 2,44 kJ/(kg·K)T_h: 130 → 70 °Cṁ_c = 1 kg/sc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)t_in = 15 °C

t_out = °C

4.Bilancio energeticoDifficile

Il etanolo caldo riscalda acqua in uno scambiatore che perde verso l’ambiente il 15% del calore ceduto dalla corrente calda. Trova la portata d’acqua ṁ_c necessaria.

ṁ_h = 3 kg/sc_p,h = 2,44 kJ/(kg·K)T_h: 130 → 100 °Ct: 15 → 85 °Cc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)perdita = 15 %

ṁ_c = kg/s

5.Macchine termiche e frigorifereMedia

Una macchina termica reversibile (di Carnot) assorbe 2800 kJ di calore da un serbatoio a 425 °C e ne cede 1196 kJ per ciclo. Trova la temperatura T_L del serbatoio freddo in °C.

T_H = 425 °CQ_H = 2800 kJQ_L = 1196 kJ

T_L = °C

6.Macchine termiche e frigorifereDifficile

Una macchina termica di Carnot riceve 40 kW di calore da una sorgente a 950 °C e cede calore all’ambiente a 25 °C. Tutto il suo lavoro aziona un frigorifero di Carnot che sottrae calore a un congelatore a 0 °C e cede anch’esso calore all’ambiente a 25 °C. Trova la potenza termica Q̇_L sottratta al congelatore.

T_H = 950 °CT₀ = 25 °CT_L = 0 °CQ̇_H = 40 kW

Q̇_L = kW

7.Cicli termodinamici a gasMedia

Un ciclo Diesel ideale ha un rapporto di compressione r = 17 e un rapporto di combustione r_c = v₃/v₂ = 1,8. Usa le ipotesi dell’aria standard fredda: l’aria è un gas ideale con calori specifici costanti, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) e c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Trova il suo rendimento termico η in percentuale.

r = 17r_c = 1,8k = 1,4

η = %

8.Cicli termodinamici a gasDifficile

Un ciclo Brayton ideale funziona con un rapporto di compressione di 20. Usa le ipotesi dell’aria standard fredda: l’aria è un gas ideale con calori specifici costanti, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) e c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Trova il suo rendimento termico η in percentuale.

r_p = 20k = 1,4

η = %

3Soluzioni

1.Legge dei gas ideali

Risposta: P = 874,2 kPa

Legge dei gas ideali: PV = nRT, con n = m/M.

Moli

n = m/M = 80/28,01 = 2,856 mol

T = 95 + 273,15 = 368,1 K

Pressione

P = nRT/V = 2,856·8,314·368,1/0,01 = 874,2 kPa

Risposta

P = 874,2 kPa

2.Legge dei gas ideali

Risposta: V₂ = 1,297 L

Legge combinata dei gas: per una quantità fissa di gas ideale, P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂.

Temperature assolute

T₁ = 303,1 K, T₂ = 393,1 K

Legge combinata dei gas

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 2·(400/800)·(393,1/303,1) = 1,297 L

Risposta

V₂ = 1,297 L

3.Bilancio energetico

Risposta: t_out = 85,05 °C

Bilancio energetico dello scambiatore: senza perdite, ṁ_hc_p,h(T_h,in − T_h,out) = ṁ_cc_p,c(t_out − t_in).

Calore ceduto dalla corrente calda

Q = 2·2,44·(130 − 70) = 292,8 kW

Calore assorbito dall’acqua

t_out = t_in + Q/(ṁ_cc_p,c) = 15 + 292,8/(1·4,18) = 85,05 °C

Risposta

t_out = 85,05 °C

4.Bilancio energetico

Risposta: ṁ_c = 0,6379 kg/s

Bilancio energetico con perdite: calore ceduto = calore assorbito + calore perso.

Calore ceduto

Q_h = 3·2,44·(130 − 100) = 219,6 kW

Calore che raggiunge l’acqua

Q_c = (1 − 0,15)·219,6 = 186,7 kW

Portata d’acqua

ṁ_c = Q_c/(c_p,c·Δt) = 186,7/(4,18·70) = 0,6379 kg/s

Risposta

ṁ_c = 0,6379 kg/s

5.Macchine termiche e frigorifere

Risposta: T_L = 25,06 °C

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

Temperatura assoluta della sorgente

T_H = 425 + 273,15 = 698,1 K

Rapporto dei calori nel ciclo reversibile

T_L = T_H·Q_L/Q_H = 698,1·1196/2800 = 298,2 K = 25,06 °C

Risposta

T_L = 25,06 °C

6.Macchine termiche e frigorifere

Risposta: Q̇_L = 330,5 kW

Temperature assolute

T_H = 950 + 273,15 = 1223 K

T₀ = 25 + 273,15 = 298,1 K

T_L = 0 + 273,15 = 273,1 K

Lavoro della macchina

η = 1 − 298,1/1223 = 0,7562

Ẇ = 0,7562·40 = 30,25 kW

Calore sottratto dal frigorifero

COP_R = 273,1/(298,1 − 273,1) = 10,93

Q̇_L = 10,93·30,25 = 330,5 kW

Risposta

Q̇_L = 330,5 kW

7.Cicli termodinamici a gas

Risposta: η = 63,29 %

Ciclo Diesel (motore ad accensione per compressione): 1→2 compressione isoentropica, 2→3 introduzione di calore a pressione costante, 3→4 espansione isoentropica, 4→1 cessione di calore a volume costante. Con rapporto di compressione r = v₁/v₂ e rapporto di combustione r_c = v₃/v₂: T₂ = T₁·r^k−1, T₃ = r_c·T₂, q_in = c_p·(T₃ − T₂) e η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k·(r_c − 1)).

Termine del rapporto di combustione

(1,8^1,4 − 1)/(1,4·(1,8 − 1)) = 1,14

Rendimento termico

η = 1 − 0,322·1,14 = 63,29%

Risposta

η = 63,29%

8.Cicli termodinamici a gas

Risposta: η = 57,51 %

Ciclo Brayton (turbina a gas): 1→2 compressione isoentropica, 2→3 introduzione di calore a pressione costante, 3→4 espansione isoentropica in turbina, 4→1 cessione di calore a pressione costante. Con rapporto di compressione r_p = P₂/P₁: T₂ = T₁·r_p^(k−1)/k, T₄ = T₃/r_p^(k−1)/k e η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k. Lavoro netto w = c_p·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]. Con i rendimenti isoentropici, il compressore richiede w_s/η_c e la turbina fornisce η_t·w_s.

Rendimento termico

η = 1 − 1/20^0,2857 = 1 − 1/2,354 = 57,51%

Risposta

η = 57,51%

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