Termodinamica applicata: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 8 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Legge dei gas ideali

Legge dei gas ideali: pV = nRT
Costante dei gas: R = 8,314 J/(mol·K)
Legge combinata dei gas: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
Moli: n = m/M
Temperatura: T[K] = T[°C] + 273,15

Bilancio energetico

Calore sensibile: Q = ṁ·c_p·ΔT
Calore latente: Q = ṁ·h_fg
Miscelazione: Σṁc_pT_in = Σṁc_pT_out
Acqua: c_p ≈ 4,18 kJ/(kg·K)

Macchine termiche e frigorifere

Rendimento: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
Rendimento di Carnot: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
COP del frigorifero: COP_R = Q_C/W
COP della pompa di calore: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
Bilancio energetico: Q_H = W + Q_C

Cicli termodinamici a gas

Isoentropica, rapporto dei volumi: T₂/T₁ = r^k−1
Isoentropica, rapporto delle pressioni: T₂/T₁ = r_p^(k−1)/k
Rendimento Otto: η = 1 − 1/r^k−1
Rendimento Diesel: η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k(r_c − 1))
Rendimento Brayton: η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k
Calore fornito: Otto: c_v(T₃ − T₂) Diesel, Brayton: c_p(T₃ − T₂)
Lavoro netto Brayton: w = c_p[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]
Rendimenti isoentropici: w_c = w_c,s/η_c, w_t = η_t·w_t,s
Aria fredda: k = 1,4, c_p = 1,005, c_v = 0,718 kJ/(kg·K)

2Esercizi

1.Legge dei gas idealiMedia

Un serbatoio di 50 L contiene 260 g di O₂ a 70 °C. Trattalo come gas ideale e trova la pressione P.

m = 260 gM = 32 g/molV = 50 LT = 70 °CR = 8,314 J/(mol·K)

P = kPa

2.Legge dei gas idealiDifficile

Una quantità fissa di CO₂ passa da 250 kPa, 20 L, 25 °C a 800 kPa e 230 °C. Trova il nuovo volume V₂.

P₁ = 250 kPaV₁ = 20 LT₁ = 25 °CP₂ = 800 kPaT₂ = 230 °C

V₂ = L

3.Bilancio energeticoMedia

Il miscela di glicole caldo raffredda acqua in uno scambiatore controcorrente senza perdite di calore. Trova la temperatura di uscita dell’acqua t_out.

ṁ_h = 0,5 kg/sc_p,h = 3,6 kJ/(kg·K)T_h: 130 → 70 °Cṁ_c = 2 kg/sc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)t_in = 30 °C

t_out = °C

4.Bilancio energeticoDifficile

Il etanolo caldo riscalda acqua in uno scambiatore che perde verso l’ambiente il 10% del calore ceduto dalla corrente calda. Trova la portata d’acqua ṁ_c necessaria.

ṁ_h = 3 kg/sc_p,h = 2,44 kJ/(kg·K)T_h: 180 → 140 °Ct: 25 → 80 °Cc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)perdita = 10 %

ṁ_c = kg/s

5.Macchine termiche e frigorifereMedia

Una macchina termica reversibile (di Carnot) assorbe 4500 kJ di calore da un serbatoio a 525 °C e ne cede 1540 kJ per ciclo. Trova la temperatura T_L del serbatoio freddo in °C.

T_H = 525 °CQ_H = 4500 kJQ_L = 1540 kJ

T_L = °C

6.Macchine termiche e frigorifereDifficile

Una pompa di calore mantiene una casa a 22 °C mentre fuori ci sono 2 °C, fornendo 12 kW di calore alla casa. Trova il massimo coefficiente di prestazione possibile COP_max.

T_H = 22 °CT_L = 2 °CQ̇_H = 12 kW

COP_max =

7.Cicli termodinamici a gasMedia

Un ciclo Diesel ideale ha un rapporto di compressione r = 14 e un rapporto di combustione r_c = v₃/v₂ = 2,2. All’inizio della compressione l’aria è a 320 K. Usa le ipotesi dell’aria standard fredda: l’aria è un gas ideale con calori specifici costanti, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) e c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Trova la temperatura T₃ alla fine dell’introduzione di calore, in K.

r = 14r_c = 2,2T₁ = 320 Kk = 1,4

T₃ = K

8.Cicli termodinamici a gasDifficile

Un impianto con turbina a gas funziona secondo un ciclo Brayton con rapporto di compressione 15. L’aria entra nel compressore a 288 K e nella turbina a 1400 K. Entrambe le macchine sono isoentropiche. Usa le ipotesi dell’aria standard fredda: l’aria è un gas ideale con calori specifici costanti, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) e c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Trova il lavoro netto prodotto w_net per kilogrammo d’aria, in kJ/kg.

r_p = 15T₁ = 288 KT₃ = 1400 Kk = 1,4c_p = 1,005 kJ/(kg·K)

w_net = kJ/kg

3Soluzioni

1.Legge dei gas ideali

Risposta: P = 463,6 kPa

Legge dei gas ideali: PV = nRT, con n = m/M.

Moli

n = m/M = 260/32 = 8,125 mol

T = 70 + 273,15 = 343,1 K

Pressione

P = nRT/V = 8,125·8,314·343,1/0,05 = 463,6 kPa

Risposta

P = 463,6 kPa

2.Legge dei gas ideali

Risposta: V₂ = 10,55 L

Legge combinata dei gas: per una quantità fissa di gas ideale, P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂.

Temperature assolute

T₁ = 298,1 K, T₂ = 503,1 K

Legge combinata dei gas

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 20·(250/800)·(503,1/298,1) = 10,55 L

Risposta

V₂ = 10,55 L

3.Bilancio energetico

Risposta: t_out = 42,92 °C

Bilancio energetico dello scambiatore: senza perdite, ṁ_hc_p,h(T_h,in − T_h,out) = ṁ_cc_p,c(t_out − t_in).

Calore ceduto dalla corrente calda

Q = 0,5·3,6·(130 − 70) = 108 kW

Calore assorbito dall’acqua

t_out = t_in + Q/(ṁ_cc_p,c) = 30 + 108/(2·4,18) = 42,92 °C

Risposta

t_out = 42,92 °C

4.Bilancio energetico

Risposta: ṁ_c = 1,146 kg/s

Bilancio energetico con perdite: calore ceduto = calore assorbito + calore perso.

Calore ceduto

Q_h = 3·2,44·(180 − 140) = 292,8 kW

Calore che raggiunge l’acqua

Q_c = (1 − 0,1)·292,8 = 263,5 kW

Portata d’acqua

ṁ_c = Q_c/(c_p,c·Δt) = 263,5/(4,18·55) = 1,146 kg/s

Risposta

ṁ_c = 1,146 kg/s

5.Macchine termiche e frigorifere

Risposta: T_L = −0,005333 °C

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

Temperatura assoluta della sorgente

T_H = 525 + 273,15 = 798,1 K

Rapporto dei calori nel ciclo reversibile

T_L = T_H·Q_L/Q_H = 798,1·1540/4500 = 273,1 K = −0,005333 °C

Risposta

T_L = −0,005333 °C

6.Macchine termiche e frigorifere

Risposta: COP_max = 14,76

Limiti del secondo principio: nessun ciclo che lavora tra serbatoi alle temperature assolute T_H e T_L può superare il ciclo reversibile (di Carnot): η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) e COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). L’energia si conserva sempre: Q_H = W + Q_L.

Temperature assolute

T_H = 22 + 273,15 = 295,1 K

T_L = 2 + 273,15 = 275,1 K

Miglior COP possibile

COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L) = 295,1/(295,1 − 275,1) = 14,76

Risposta

COP_max = 14,76

7.Cicli termodinamici a gas

Risposta: T₃ = 2023 K

Ciclo Diesel (motore ad accensione per compressione): 1→2 compressione isoentropica, 2→3 introduzione di calore a pressione costante, 3→4 espansione isoentropica, 4→1 cessione di calore a volume costante. Con rapporto di compressione r = v₁/v₂ e rapporto di combustione r_c = v₃/v₂: T₂ = T₁·r^k−1, T₃ = r_c·T₂, q_in = c_p·(T₃ − T₂) e η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k·(r_c − 1)).

Fine della compressione

T₂ = 320·14^0,4 = 919,6 K

Introduzione di calore a pressione costante

T₃ = r_c·T₂ = 2,2·919,6 = 2023 K

Risposta

T₃ = 2023 K

8.Cicli termodinamici a gas

Risposta: w_net = 419,9 kJ/kg

Ciclo Brayton (turbina a gas): 1→2 compressione isoentropica, 2→3 introduzione di calore a pressione costante, 3→4 espansione isoentropica in turbina, 4→1 cessione di calore a pressione costante. Con rapporto di compressione r_p = P₂/P₁: T₂ = T₁·r_p^(k−1)/k, T₄ = T₃/r_p^(k−1)/k e η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k. Lavoro netto w = c_p·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]. Con i rendimenti isoentropici, il compressore richiede w_s/η_c e la turbina fornisce η_t·w_s.

Temperature isoentropiche

T₂ = 288·15^0,2857 = 624,3 K

T₄ = 1400/15^0,2857 = 645,8 K

Lavoro del compressore e della turbina

w_c = 1,005·(624,3 − 288) = 338 kJ/kg

w_t = 1,005·(1400 − 645,8) = 758 kJ/kg

Lavoro netto

w_net = 758 − 338 = 419,9 kJ/kg

Risposta

w_net = 419,9 kJ/kg

Rapporto dei lavori (back-work ratio): w_c/w_t = 44,6%.

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