Termodinamica applicata: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 8 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Legge dei gas ideali

Legge dei gas ideali: pV = nRT
Costante dei gas: R = 8,314 J/(mol·K)
Legge combinata dei gas: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
Moli: n = m/M
Temperatura: T[K] = T[°C] + 273,15

Bilancio energetico

Calore sensibile: Q = ṁ·c_p·ΔT
Calore latente: Q = ṁ·h_fg
Miscelazione: Σṁc_pT_in = Σṁc_pT_out
Acqua: c_p ≈ 4,18 kJ/(kg·K)

Macchine termiche e frigorifere

Rendimento: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
Rendimento di Carnot: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
COP del frigorifero: COP_R = Q_C/W
COP della pompa di calore: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
Bilancio energetico: Q_H = W + Q_C

Cicli termodinamici a gas

Isoentropica, rapporto dei volumi: T₂/T₁ = r^k−1
Isoentropica, rapporto delle pressioni: T₂/T₁ = r_p^(k−1)/k
Rendimento Otto: η = 1 − 1/r^k−1
Rendimento Diesel: η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k(r_c − 1))
Rendimento Brayton: η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k
Calore fornito: Otto: c_v(T₃ − T₂) Diesel, Brayton: c_p(T₃ − T₂)
Lavoro netto Brayton: w = c_p[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]
Rendimenti isoentropici: w_c = w_c,s/η_c, w_t = η_t·w_t,s
Aria fredda: k = 1,4, c_p = 1,005, c_v = 0,718 kJ/(kg·K)

2Esercizi

1.Legge dei gas idealiMedia

Un serbatoio di 50 L contiene 120 g di N₂ a 55 °C. Trattalo come gas ideale e trova la pressione P.

m = 120 gM = 28,01 g/molV = 50 LT = 55 °CR = 8,314 J/(mol·K)

P = kPa

2.Legge dei gas idealiDifficile

Trova la densità ρ di CO₂ a 650 kPa e 10 °C, trattandolo come gas ideale.

M = 44,01 g/molP = 650 kPaT = 10 °CR = 8,314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

3.Bilancio energeticoMedia

Il miscela di glicole caldo raffredda acqua in uno scambiatore controcorrente senza perdite di calore. Trova la temperatura di uscita dell’acqua t_out.

ṁ_h = 0,5 kg/sc_p,h = 3,6 kJ/(kg·K)T_h: 140 → 110 °Cṁ_c = 1,5 kg/sc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)t_in = 30 °C

t_out = °C

4.Bilancio energeticoDifficile

Il etanolo caldo riscalda acqua in uno scambiatore che perde verso l’ambiente il 5% del calore ceduto dalla corrente calda. Trova la portata d’acqua ṁ_c necessaria.

ṁ_h = 0,5 kg/sc_p,h = 2,44 kJ/(kg·K)T_h: 150 → 110 °Ct: 15 → 50 °Cc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)perdita = 5 %

ṁ_c = kg/s

5.Macchine termiche e frigorifereMedia

Una macchina termica reversibile (di Carnot) assorbe 2200 kJ di calore da un serbatoio a 475 °C e ne cede 980 kJ per ciclo. Trova la temperatura T_L del serbatoio freddo in °C.

T_H = 475 °CQ_H = 2200 kJQ_L = 980 kJ

T_L = °C

6.Macchine termiche e frigorifereDifficile

Una pompa di calore mantiene una casa a 20 °C mentre fuori ci sono -10 °C, fornendo 5 kW di calore alla casa. Trova il massimo coefficiente di prestazione possibile COP_max.

T_H = 20 °CT_L = -10 °CQ̇_H = 5 kW

COP_max =

7.Cicli termodinamici a gasMedia

Un ciclo Diesel ideale ha un rapporto di compressione r = 20 e un rapporto di combustione r_c = v₃/v₂ = 1,5. All’inizio della compressione l’aria è a 310 K. Usa le ipotesi dell’aria standard fredda: l’aria è un gas ideale con calori specifici costanti, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) e c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Trova la temperatura T₃ alla fine dell’introduzione di calore, in K.

r = 20r_c = 1,5T₁ = 310 Kk = 1,4

T₃ = K

8.Cicli termodinamici a gasDifficile

Un ciclo Brayton ideale funziona con un rapporto di compressione di 6. Usa le ipotesi dell’aria standard fredda: l’aria è un gas ideale con calori specifici costanti, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) e c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Trova il suo rendimento termico η in percentuale.

r_p = 6k = 1,4

η = %

3Soluzioni

1.Legge dei gas ideali

Risposta: P = 233,8 kPa

Legge dei gas ideali: PV = nRT, con n = m/M.

Moli

n = m/M = 120/28,01 = 4,284 mol

T = 55 + 273,15 = 328,1 K

Pressione

P = nRT/V = 4,284·8,314·328,1/0,05 = 233,8 kPa

Risposta

P = 233,8 kPa

2.Legge dei gas ideali

Risposta: ρ = 12,15 kg/m³

Densità di un gas ideale: ρ = PM/(RT).

Riordina la legge dei gas

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 10 + 273,15 = 283,1 K

Densità

ρ = 650·44,01/(8,314·283,1) = 12,15 kg/m³

Risposta

ρ = 12,15 kg/m³

3.Bilancio energetico

Risposta: t_out = 38,61 °C

Bilancio energetico dello scambiatore: senza perdite, ṁ_hc_p,h(T_h,in − T_h,out) = ṁ_cc_p,c(t_out − t_in).

Calore ceduto dalla corrente calda

Q = 0,5·3,6·(140 − 110) = 54 kW

Calore assorbito dall’acqua

t_out = t_in + Q/(ṁ_cc_p,c) = 30 + 54/(1,5·4,18) = 38,61 °C

Risposta

t_out = 38,61 °C

4.Bilancio energetico

Risposta: ṁ_c = 0,3169 kg/s

Bilancio energetico con perdite: calore ceduto = calore assorbito + calore perso.

Calore ceduto

Q_h = 0,5·2,44·(150 − 110) = 48,8 kW

Calore che raggiunge l’acqua

Q_c = (1 − 0,05)·48,8 = 46,36 kW

Portata d’acqua

ṁ_c = Q_c/(c_p,c·Δt) = 46,36/(4,18·35) = 0,3169 kg/s

Risposta

ṁ_c = 0,3169 kg/s

5.Macchine termiche e frigorifere

Risposta: T_L = 60,12 °C

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

Temperatura assoluta della sorgente

T_H = 475 + 273,15 = 748,1 K

Rapporto dei calori nel ciclo reversibile

T_L = T_H·Q_L/Q_H = 748,1·980/2200 = 333,3 K = 60,12 °C

Risposta

T_L = 60,12 °C

6.Macchine termiche e frigorifere

Risposta: COP_max = 9,772

Limiti del secondo principio: nessun ciclo che lavora tra serbatoi alle temperature assolute T_H e T_L può superare il ciclo reversibile (di Carnot): η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) e COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). L’energia si conserva sempre: Q_H = W + Q_L.

Temperature assolute

T_H = 20 + 273,15 = 293,1 K

T_L = -10 + 273,15 = 263,1 K

Miglior COP possibile

COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L) = 293,1/(293,1 − 263,1) = 9,772

Risposta

COP_max = 9,772

7.Cicli termodinamici a gas

Risposta: T₃ = 1541 K

Ciclo Diesel (motore ad accensione per compressione): 1→2 compressione isoentropica, 2→3 introduzione di calore a pressione costante, 3→4 espansione isoentropica, 4→1 cessione di calore a volume costante. Con rapporto di compressione r = v₁/v₂ e rapporto di combustione r_c = v₃/v₂: T₂ = T₁·r^k−1, T₃ = r_c·T₂, q_in = c_p·(T₃ − T₂) e η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k·(r_c − 1)).

Fine della compressione

T₂ = 310·20^0,4 = 1027 K

Introduzione di calore a pressione costante

T₃ = r_c·T₂ = 1,5·1027 = 1541 K

Risposta

T₃ = 1541 K

8.Cicli termodinamici a gas

Risposta: η = 40,07 %

Ciclo Brayton (turbina a gas): 1→2 compressione isoentropica, 2→3 introduzione di calore a pressione costante, 3→4 espansione isoentropica in turbina, 4→1 cessione di calore a pressione costante. Con rapporto di compressione r_p = P₂/P₁: T₂ = T₁·r_p^(k−1)/k, T₄ = T₃/r_p^(k−1)/k e η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k. Lavoro netto w = c_p·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]. Con i rendimenti isoentropici, il compressore richiede w_s/η_c e la turbina fornisce η_t·w_s.

Rendimento termico

η = 1 − 1/6^0,2857 = 1 − 1/1,669 = 40,07%

Risposta

η = 40,07%

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