Termodinamica applicata: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 8 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Legge dei gas ideali

Legge dei gas ideali: pV = nRT
Costante dei gas: R = 8,314 J/(mol·K)
Legge combinata dei gas: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
Moli: n = m/M
Temperatura: T[K] = T[°C] + 273,15

Bilancio energetico

Calore sensibile: Q = ṁ·c_p·ΔT
Calore latente: Q = ṁ·h_fg
Miscelazione: Σṁc_pT_in = Σṁc_pT_out
Acqua: c_p ≈ 4,18 kJ/(kg·K)

Macchine termiche e frigorifere

Rendimento: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
Rendimento di Carnot: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
COP del frigorifero: COP_R = Q_C/W
COP della pompa di calore: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
Bilancio energetico: Q_H = W + Q_C

Cicli termodinamici a gas

Isoentropica, rapporto dei volumi: T₂/T₁ = r^k−1
Isoentropica, rapporto delle pressioni: T₂/T₁ = r_p^(k−1)/k
Rendimento Otto: η = 1 − 1/r^k−1
Rendimento Diesel: η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k(r_c − 1))
Rendimento Brayton: η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k
Calore fornito: Otto: c_v(T₃ − T₂) Diesel, Brayton: c_p(T₃ − T₂)
Lavoro netto Brayton: w = c_p[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]
Rendimenti isoentropici: w_c = w_c,s/η_c, w_t = η_t·w_t,s
Aria fredda: k = 1,4, c_p = 1,005, c_v = 0,718 kJ/(kg·K)

2Esercizi

1.Legge dei gas idealiMedia

Un serbatoio di 20 L contiene 90 g di Ar a 5 °C. Trattalo come gas ideale e trova la pressione P.

m = 90 gM = 39,95 g/molV = 20 LT = 5 °CR = 8,314 J/(mol·K)

P = kPa

2.Legge dei gas idealiDifficile

Una quantità fissa di Ar passa da 200 kPa, 5 L, 40 °C a 250 kPa e 60 °C. Trova il nuovo volume V₂.

P₁ = 200 kPaV₁ = 5 LT₁ = 40 °CP₂ = 250 kPaT₂ = 60 °C

V₂ = L

3.Bilancio energeticoMedia

Il olio leggero caldo raffredda acqua in uno scambiatore controcorrente senza perdite di calore. Trova la temperatura di uscita dell’acqua t_out.

ṁ_h = 1,5 kg/sc_p,h = 2,1 kJ/(kg·K)T_h: 150 → 100 °Cṁ_c = 1,5 kg/sc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)t_in = 10 °C

t_out = °C

4.Bilancio energeticoDifficile

Il etanolo caldo riscalda acqua in uno scambiatore che perde verso l’ambiente il 5% del calore ceduto dalla corrente calda. Trova la portata d’acqua ṁ_c necessaria.

ṁ_h = 0,5 kg/sc_p,h = 2,44 kJ/(kg·K)T_h: 170 → 80 °Ct: 10 → 60 °Cc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)perdita = 5 %

ṁ_c = kg/s

5.Macchine termiche e frigorifereMedia

Una macchina termica riceve calore da una sorgente a 550 °C e cede calore all’ambiente a 15 °C. Il suo rendimento termico effettivo è del 45%. Trova il suo rendimento di secondo principio η_II, il rapporto tra il rendimento effettivo e il rendimento di Carnot.

T_H = 550 °CT_L = 15 °Cη = 45%

η_II = %

6.Macchine termiche e frigorifereDifficile

Due macchine di Carnot lavorano in serie. La macchina A riceve calore da un serbatoio a 650 °C e cede calore a un serbatoio intermedio alla temperatura T_m. La macchina B assorbe tutto quel calore e cede calore a un serbatoio a 15 °C. Entrambe le macchine hanno lo stesso rendimento termico. Trova T_m in °C.

T_H = 650 °CT_L = 15 °C

T_m = °C

7.Cicli termodinamici a gasMedia

Un ciclo Diesel ideale ha un rapporto di compressione r = 15 e un rapporto di combustione r_c = v₃/v₂ = 3. All’inizio della compressione l’aria è a 305 K. Usa le ipotesi dell’aria standard fredda: l’aria è un gas ideale con calori specifici costanti, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) e c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Trova il calore fornito q_in per kilogrammo d’aria, in kJ/kg.

r = 15r_c = 3T₁ = 305 Kk = 1,4c_p = 1,005 kJ/(kg·K)

q_in = kJ/kg

8.Cicli termodinamici a gasDifficile

Un impianto con turbina a gas funziona secondo un ciclo Brayton con rapporto di compressione 6. L’aria entra nel compressore a 300 K e nella turbina a 1200 K. Il compressore ha un rendimento isoentropico del 85% e la turbina del 92%. Usa le ipotesi dell’aria standard fredda: l’aria è un gas ideale con calori specifici costanti, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) e c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Trova il lavoro netto prodotto w_net per kilogrammo d’aria, in kJ/kg.

r_p = 6T₁ = 300 KT₃ = 1200 Kη_c = 85%η_t = 92%k = 1,4c_p = 1,005 kJ/(kg·K)

w_net = kJ/kg

3Soluzioni

1.Legge dei gas ideali

Risposta: P = 260,5 kPa

Legge dei gas ideali: PV = nRT, con n = m/M.

Moli

n = m/M = 90/39,95 = 2,253 mol

T = 5 + 273,15 = 278,1 K

Pressione

P = nRT/V = 2,253·8,314·278,1/0,02 = 260,5 kPa

Risposta

P = 260,5 kPa

2.Legge dei gas ideali

Risposta: V₂ = 4,255 L

Legge combinata dei gas: per una quantità fissa di gas ideale, P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂.

Temperature assolute

T₁ = 313,1 K, T₂ = 333,1 K

Legge combinata dei gas

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 5·(200/250)·(333,1/313,1) = 4,255 L

Risposta

V₂ = 4,255 L

3.Bilancio energetico

Risposta: t_out = 35,12 °C

Bilancio energetico dello scambiatore: senza perdite, ṁ_hc_p,h(T_h,in − T_h,out) = ṁ_cc_p,c(t_out − t_in).

Calore ceduto dalla corrente calda

Q = 1,5·2,1·(150 − 100) = 157,5 kW

Calore assorbito dall’acqua

t_out = t_in + Q/(ṁ_cc_p,c) = 10 + 157,5/(1,5·4,18) = 35,12 °C

Risposta

t_out = 35,12 °C

4.Bilancio energetico

Risposta: ṁ_c = 0,4991 kg/s

Bilancio energetico con perdite: calore ceduto = calore assorbito + calore perso.

Calore ceduto

Q_h = 0,5·2,44·(170 − 80) = 109,8 kW

Calore che raggiunge l’acqua

Q_c = (1 − 0,05)·109,8 = 104,3 kW

Portata d’acqua

ṁ_c = Q_c/(c_p,c·Δt) = 104,3/(4,18·50) = 0,4991 kg/s

Risposta

ṁ_c = 0,4991 kg/s

5.Macchine termiche e frigorifere

Risposta: η_II = 69,24 %

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

Temperature assolute

T_H = 550 + 273,15 = 823,1 K

T_L = 15 + 273,15 = 288,1 K

Rendimento di Carnot

η_Carnot = 1 − 288,1/823,1 = 64,99 %

Rendimento di secondo principio

η_II = η/η_Carnot = 45/64,99 = 69,24 %

Risposta

η_II = 69,24 %

6.Macchine termiche e frigorifere

Risposta: T_m = 242,6 °C

Temperature assolute

T_H = 650 + 273,15 = 923,1 K

T_L = 15 + 273,15 = 288,1 K

Rendimenti uguali

1 − T_m/T_H = 1 − T_L/T_m dà T_m² = T_H·T_L.

T_m = √(923,1·288,1) = 515,8 K = 242,6 °C

Risposta

T_m = 242,6 °C

7.Cicli termodinamici a gas

Risposta: q_in = 1811 kJ/kg

Ciclo Diesel (motore ad accensione per compressione): 1→2 compressione isoentropica, 2→3 introduzione di calore a pressione costante, 3→4 espansione isoentropica, 4→1 cessione di calore a volume costante. Con rapporto di compressione r = v₁/v₂ e rapporto di combustione r_c = v₃/v₂: T₂ = T₁·r^k−1, T₃ = r_c·T₂, q_in = c_p·(T₃ − T₂) e η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k·(r_c − 1)).

Temperature

T₂ = 305·15^0,4 = 901 K

T₃ = 3·901 = 2703 K

Calore fornito a pressione costante

q_in = 1,005·(2703 − 901) = 1811 kJ/kg

Risposta

q_in = 1811 kJ/kg

8.Cicli termodinamici a gas

Risposta: w_net = 207,4 kJ/kg

Ciclo Brayton (turbina a gas): 1→2 compressione isoentropica, 2→3 introduzione di calore a pressione costante, 3→4 espansione isoentropica in turbina, 4→1 cessione di calore a pressione costante. Con rapporto di compressione r_p = P₂/P₁: T₂ = T₁·r_p^(k−1)/k, T₄ = T₃/r_p^(k−1)/k e η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k. Lavoro netto w = c_p·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]. Con i rendimenti isoentropici, il compressore richiede w_s/η_c e la turbina fornisce η_t·w_s.

Temperature isoentropiche

T_2s = 300·6^0,2857 = 500,6 K

T_4s = 1200/6^0,2857 = 719,2 K

Lavoro del compressore e della turbina

w_c = 1,005·(500,6 − 300)/0,85 = 237,1 kJ/kg

w_t = 0,92·1,005·(1200 − 719,2) = 444,5 kJ/kg

Lavoro netto

w_net = 444,5 − 237,1 = 207,4 kJ/kg

Risposta

w_net = 207,4 kJ/kg

Rapporto dei lavori (back-work ratio): w_c/w_t = 53,34%.

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