Termodinamica applicata: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 8 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Legge dei gas ideali

Legge dei gas ideali: pV = nRT
Costante dei gas: R = 8,314 J/(mol·K)
Legge combinata dei gas: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
Moli: n = m/M
Temperatura: T[K] = T[°C] + 273,15

Bilancio energetico

Calore sensibile: Q = ṁ·c_p·ΔT
Calore latente: Q = ṁ·h_fg
Miscelazione: Σṁc_pT_in = Σṁc_pT_out
Acqua: c_p ≈ 4,18 kJ/(kg·K)

Macchine termiche e frigorifere

Rendimento: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
Rendimento di Carnot: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
COP del frigorifero: COP_R = Q_C/W
COP della pompa di calore: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
Bilancio energetico: Q_H = W + Q_C

Cicli termodinamici a gas

Isoentropica, rapporto dei volumi: T₂/T₁ = r^k−1
Isoentropica, rapporto delle pressioni: T₂/T₁ = r_p^(k−1)/k
Rendimento Otto: η = 1 − 1/r^k−1
Rendimento Diesel: η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k(r_c − 1))
Rendimento Brayton: η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k
Calore fornito: Otto: c_v(T₃ − T₂) Diesel, Brayton: c_p(T₃ − T₂)
Lavoro netto Brayton: w = c_p[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]
Rendimenti isoentropici: w_c = w_c,s/η_c, w_t = η_t·w_t,s
Aria fredda: k = 1,4, c_p = 1,005, c_v = 0,718 kJ/(kg·K)

2Esercizi

1.Legge dei gas idealiMedia

Un serbatoio di 50 L contiene 500 g di N₂ a 95 °C. Trattalo come gas ideale e trova la pressione P.

m = 500 gM = 28,01 g/molV = 50 LT = 95 °CR = 8,314 J/(mol·K)

P = kPa

2.Legge dei gas idealiDifficile

Trova la densità ρ di Ar a 550 kPa e 190 °C, trattandolo come gas ideale.

M = 39,95 g/molP = 550 kPaT = 190 °CR = 8,314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

3.Bilancio energeticoMedia

Il etanolo caldo raffredda acqua in uno scambiatore controcorrente senza perdite di calore. Trova la temperatura di uscita dell’acqua t_out.

ṁ_h = 1,5 kg/sc_p,h = 2,44 kJ/(kg·K)T_h: 140 → 100 °Cṁ_c = 3 kg/sc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)t_in = 15 °C

t_out = °C

4.Bilancio energeticoDifficile

Il etanolo caldo riscalda acqua in uno scambiatore che perde verso l’ambiente il 10% del calore ceduto dalla corrente calda. Trova la portata d’acqua ṁ_c necessaria.

ṁ_h = 0,5 kg/sc_p,h = 2,44 kJ/(kg·K)T_h: 150 → 100 °Ct: 10 → 75 °Cc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)perdita = 10 %

ṁ_c = kg/s

5.Macchine termiche e frigorifereMedia

Una macchina termica lavora tra un serbatoio caldo a 725 °C e un serbatoio freddo a 5 °C. Assorbe 4300 kJ di calore. Trova il massimo lavoro W_max che potrebbe produrre.

T_H = 725 °CT_L = 5 °CQ_H = 4300 kJ

W_max = kJ

6.Macchine termiche e frigorifereDifficile

Una pompa di calore mantiene una casa a 21 °C mentre fuori ci sono 2 °C, fornendo 4 kW di calore alla casa. Trova il massimo coefficiente di prestazione possibile COP_max.

T_H = 21 °CT_L = 2 °CQ̇_H = 4 kW

COP_max =

7.Cicli termodinamici a gasMedia

Un ciclo Diesel ideale ha un rapporto di compressione r = 17 e un rapporto di combustione r_c = v₃/v₂ = 2,2. Usa le ipotesi dell’aria standard fredda: l’aria è un gas ideale con calori specifici costanti, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) e c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Trova il suo rendimento termico η in percentuale.

r = 17r_c = 2,2k = 1,4

η = %

8.Cicli termodinamici a gasDifficile

Un impianto con turbina a gas funziona secondo un ciclo Brayton con rapporto di compressione 8. L’aria entra nel compressore a 300 K e nella turbina a 1500 K. Il compressore ha un rendimento isoentropico del 85% e la turbina del 88%. Usa le ipotesi dell’aria standard fredda: l’aria è un gas ideale con calori specifici costanti, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) e c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Trova il lavoro netto prodotto w_net per kilogrammo d’aria, in kJ/kg.

r_p = 8T₁ = 300 KT₃ = 1500 Kη_c = 85%η_t = 88%k = 1,4c_p = 1,005 kJ/(kg·K)

w_net = kJ/kg

3Soluzioni

1.Legge dei gas ideali

Risposta: P = 1093 kPa

Legge dei gas ideali: PV = nRT, con n = m/M.

Moli

n = m/M = 500/28,01 = 17,85 mol

T = 95 + 273,15 = 368,1 K

Pressione

P = nRT/V = 17,85·8,314·368,1/0,05 = 1093 kPa

Risposta

P = 1093 kPa

2.Legge dei gas ideali

Risposta: ρ = 5,706 kg/m³

Densità di un gas ideale: ρ = PM/(RT).

Riordina la legge dei gas

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 190 + 273,15 = 463,1 K

Densità

ρ = 550·39,95/(8,314·463,1) = 5,706 kg/m³

Risposta

ρ = 5,706 kg/m³

3.Bilancio energetico

Risposta: t_out = 26,67 °C

Bilancio energetico dello scambiatore: senza perdite, ṁ_hc_p,h(T_h,in − T_h,out) = ṁ_cc_p,c(t_out − t_in).

Calore ceduto dalla corrente calda

Q = 1,5·2,44·(140 − 100) = 146,4 kW

Calore assorbito dall’acqua

t_out = t_in + Q/(ṁ_cc_p,c) = 15 + 146,4/(3·4,18) = 26,67 °C

Risposta

t_out = 26,67 °C

4.Bilancio energetico

Risposta: ṁ_c = 0,2021 kg/s

Bilancio energetico con perdite: calore ceduto = calore assorbito + calore perso.

Calore ceduto

Q_h = 0,5·2,44·(150 − 100) = 61 kW

Calore che raggiunge l’acqua

Q_c = (1 − 0,1)·61 = 54,9 kW

Portata d’acqua

ṁ_c = Q_c/(c_p,c·Δt) = 54,9/(4,18·65) = 0,2021 kg/s

Risposta

ṁ_c = 0,2021 kg/s

5.Macchine termiche e frigorifere

Risposta: W_max = 3102 kJ

Limiti del secondo principio: nessun ciclo che lavora tra serbatoi alle temperature assolute T_H e T_L può superare il ciclo reversibile (di Carnot): η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) e COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). L’energia si conserva sempre: Q_H = W + Q_L.

Temperature assolute

T_H = 725 + 273,15 = 998,1 K

T_L = 5 + 273,15 = 278,1 K

Rendimento di Carnot

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 278,1/998,1 = 72,13 %

Lavoro massimo

W_max = η_max·Q_H = 0,7213·4300 = 3102 kJ

Risposta

W_max = 3102 kJ

6.Macchine termiche e frigorifere

Risposta: COP_max = 15,48

Temperature assolute

T_H = 21 + 273,15 = 294,1 K

T_L = 2 + 273,15 = 275,1 K

Miglior COP possibile

COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L) = 294,1/(294,1 − 275,1) = 15,48

Risposta

COP_max = 15,48

7.Cicli termodinamici a gas

Risposta: η = 61,37 %

Ciclo Diesel (motore ad accensione per compressione): 1→2 compressione isoentropica, 2→3 introduzione di calore a pressione costante, 3→4 espansione isoentropica, 4→1 cessione di calore a volume costante. Con rapporto di compressione r = v₁/v₂ e rapporto di combustione r_c = v₃/v₂: T₂ = T₁·r^k−1, T₃ = r_c·T₂, q_in = c_p·(T₃ − T₂) e η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k·(r_c − 1)).

Termine del rapporto di combustione

(2,2^1,4 − 1)/(1,4·(2,2 − 1)) = 1,2

Rendimento termico

η = 1 − 0,322·1,2 = 61,37%

Risposta

η = 61,37%

8.Cicli termodinamici a gas

Risposta: w_net = 306,4 kJ/kg

Ciclo Brayton (turbina a gas): 1→2 compressione isoentropica, 2→3 introduzione di calore a pressione costante, 3→4 espansione isoentropica in turbina, 4→1 cessione di calore a pressione costante. Con rapporto di compressione r_p = P₂/P₁: T₂ = T₁·r_p^(k−1)/k, T₄ = T₃/r_p^(k−1)/k e η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k. Lavoro netto w = c_p·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]. Con i rendimenti isoentropici, il compressore richiede w_s/η_c e la turbina fornisce η_t·w_s.

Temperature isoentropiche

T_2s = 300·8^0,2857 = 543,4 K

T_4s = 1500/8^0,2857 = 828,1 K

Lavoro del compressore e della turbina

w_c = 1,005·(543,4 − 300)/0,85 = 287,8 kJ/kg

w_t = 0,88·1,005·(1500 − 828,1) = 594,3 kJ/kg

Lavoro netto

w_net = 594,3 − 287,8 = 306,4 kJ/kg

Risposta

w_net = 306,4 kJ/kg

Rapporto dei lavori (back-work ratio): w_c/w_t = 48,43%.

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