Termodinamica applicata: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 8 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Legge dei gas ideali

Legge dei gas ideali: pV = nRT
Costante dei gas: R = 8,314 J/(mol·K)
Legge combinata dei gas: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
Moli: n = m/M
Temperatura: T[K] = T[°C] + 273,15

Bilancio energetico

Calore sensibile: Q = ṁ·c_p·ΔT
Calore latente: Q = ṁ·h_fg
Miscelazione: Σṁc_pT_in = Σṁc_pT_out
Acqua: c_p ≈ 4,18 kJ/(kg·K)

Macchine termiche e frigorifere

Rendimento: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
Rendimento di Carnot: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
COP del frigorifero: COP_R = Q_C/W
COP della pompa di calore: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
Bilancio energetico: Q_H = W + Q_C

Cicli termodinamici a gas

Isoentropica, rapporto dei volumi: T₂/T₁ = r^k−1
Isoentropica, rapporto delle pressioni: T₂/T₁ = r_p^(k−1)/k
Rendimento Otto: η = 1 − 1/r^k−1
Rendimento Diesel: η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k(r_c − 1))
Rendimento Brayton: η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k
Calore fornito: Otto: c_v(T₃ − T₂) Diesel, Brayton: c_p(T₃ − T₂)
Lavoro netto Brayton: w = c_p[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]
Rendimenti isoentropici: w_c = w_c,s/η_c, w_t = η_t·w_t,s
Aria fredda: k = 1,4, c_p = 1,005, c_v = 0,718 kJ/(kg·K)

2Esercizi

1.Legge dei gas idealiMedia

Un serbatoio di 30 L contiene 50 g di N₂ a 55 °C. Trattalo come gas ideale e trova la pressione P.

m = 50 gM = 28,01 g/molV = 30 LT = 55 °CR = 8,314 J/(mol·K)

P = kPa

2.Legge dei gas idealiDifficile

Una quantità fissa di O₂ passa da 300 kPa, 10 L, 10 °C a 500 kPa e 160 °C. Trova il nuovo volume V₂.

P₁ = 300 kPaV₁ = 10 LT₁ = 10 °CP₂ = 500 kPaT₂ = 160 °C

V₂ = L

3.Bilancio energeticoMedia

Il miscela di glicole caldo raffredda acqua in uno scambiatore controcorrente senza perdite di calore. Trova la temperatura di uscita dell’acqua t_out.

ṁ_h = 2,5 kg/sc_p,h = 3,6 kJ/(kg·K)T_h: 150 → 100 °Cṁ_c = 2 kg/sc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)t_in = 20 °C

t_out = °C

4.Bilancio energeticoDifficile

Il olio leggero caldo riscalda acqua in uno scambiatore che perde verso l’ambiente il 5% del calore ceduto dalla corrente calda. Trova la portata d’acqua ṁ_c necessaria.

ṁ_h = 3 kg/sc_p,h = 2,1 kJ/(kg·K)T_h: 180 → 140 °Ct: 15 → 40 °Cc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)perdita = 5 %

ṁ_c = kg/s

5.Macchine termiche e frigorifereMedia

Un frigorifero reversibile mantiene una cella frigorifera a -30 °C sottraendo 7,5 kW di calore, e cede calore all’ambiente a 30 °C. Trova la potenza termica Q̇_H che cede.

T_L = -30 °CT_H = 30 °CQ̇_L = 7,5 kW

Q̇_H = kW

6.Macchine termiche e frigorifereDifficile

Una pompa di calore mantiene una casa a 22 °C mentre fuori ci sono 2 °C, fornendo 7 kW di calore alla casa. Trova la potenza minima in ingresso Ẇ_min.

T_H = 22 °CT_L = 2 °CQ̇_H = 7 kW

Ẇ_min = kW

7.Cicli termodinamici a gasMedia

Un ciclo Diesel ideale ha un rapporto di compressione r = 17 e un rapporto di combustione r_c = v₃/v₂ = 2,2. All’inizio della compressione l’aria è a 290 K. Usa le ipotesi dell’aria standard fredda: l’aria è un gas ideale con calori specifici costanti, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) e c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Trova il calore fornito q_in per kilogrammo d’aria, in kJ/kg.

r = 17r_c = 2,2T₁ = 290 Kk = 1,4c_p = 1,005 kJ/(kg·K)

q_in = kJ/kg

8.Cicli termodinamici a gasDifficile

Un impianto con turbina a gas funziona secondo un ciclo Brayton con rapporto di compressione 15. L’aria entra nel compressore a 290 K e nella turbina a 1200 K. Il compressore ha un rendimento isoentropico del 85% e la turbina del 92%. Usa le ipotesi dell’aria standard fredda: l’aria è un gas ideale con calori specifici costanti, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) e c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Trova il lavoro netto prodotto w_net per kilogrammo d’aria, in kJ/kg.

r_p = 15T₁ = 290 KT₃ = 1200 Kη_c = 85%η_t = 92%k = 1,4c_p = 1,005 kJ/(kg·K)

w_net = kJ/kg

3Soluzioni

1.Legge dei gas ideali

Risposta: P = 162,3 kPa

Legge dei gas ideali: PV = nRT, con n = m/M.

Moli

n = m/M = 50/28,01 = 1,785 mol

T = 55 + 273,15 = 328,1 K

Pressione

P = nRT/V = 1,785·8,314·328,1/0,03 = 162,3 kPa

Risposta

P = 162,3 kPa

2.Legge dei gas ideali

Risposta: V₂ = 9,179 L

Legge combinata dei gas: per una quantità fissa di gas ideale, P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂.

Temperature assolute

T₁ = 283,1 K, T₂ = 433,1 K

Legge combinata dei gas

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 10·(300/500)·(433,1/283,1) = 9,179 L

Risposta

V₂ = 9,179 L

3.Bilancio energetico

Risposta: t_out = 73,83 °C

Bilancio energetico dello scambiatore: senza perdite, ṁ_hc_p,h(T_h,in − T_h,out) = ṁ_cc_p,c(t_out − t_in).

Calore ceduto dalla corrente calda

Q = 2,5·3,6·(150 − 100) = 450 kW

Calore assorbito dall’acqua

t_out = t_in + Q/(ṁ_cc_p,c) = 20 + 450/(2·4,18) = 73,83 °C

Risposta

t_out = 73,83 °C

4.Bilancio energetico

Risposta: ṁ_c = 2,291 kg/s

Bilancio energetico con perdite: calore ceduto = calore assorbito + calore perso.

Calore ceduto

Q_h = 3·2,1·(180 − 140) = 252 kW

Calore che raggiunge l’acqua

Q_c = (1 − 0,05)·252 = 239,4 kW

Portata d’acqua

ṁ_c = Q_c/(c_p,c·Δt) = 239,4/(4,18·25) = 2,291 kg/s

Risposta

ṁ_c = 2,291 kg/s

5.Macchine termiche e frigorifere

Risposta: Q̇_H = 9,351 kW

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

Temperature assolute

T_H = 30 + 273,15 = 303,1 K

T_L = -30 + 273,15 = 243,1 K

Rapporto dei calori nel ciclo reversibile

Q̇_H = Q̇_L·T_H/T_L = 7,5·303,1/243,1 = 9,351 kW

Risposta

Q̇_H = 9,351 kW

Potenza assorbita: Ẇ = 1,851 kW.

6.Macchine termiche e frigorifere

Risposta: Ẇ_min = 0,4743 kW

Limiti del secondo principio: nessun ciclo che lavora tra serbatoi alle temperature assolute T_H e T_L può superare il ciclo reversibile (di Carnot): η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) e COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). L’energia si conserva sempre: Q_H = W + Q_L.

Temperature assolute

T_H = 22 + 273,15 = 295,1 K

T_L = 2 + 273,15 = 275,1 K

Miglior COP possibile

COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L) = 295,1/(295,1 − 275,1) = 14,76

Potenza minima

Il lavoro minimo serve a una macchina reversibile, che ha il COP più alto.

Ẇ_min = Q̇_H/COP = 7/14,76 = 0,4743 kW

Risposta

Ẇ_min = 0,4743 kW

7.Cicli termodinamici a gas

Risposta: q_in = 1086 kJ/kg

Ciclo Diesel (motore ad accensione per compressione): 1→2 compressione isoentropica, 2→3 introduzione di calore a pressione costante, 3→4 espansione isoentropica, 4→1 cessione di calore a volume costante. Con rapporto di compressione r = v₁/v₂ e rapporto di combustione r_c = v₃/v₂: T₂ = T₁·r^k−1, T₃ = r_c·T₂, q_in = c_p·(T₃ − T₂) e η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k·(r_c − 1)).

Temperature

T₂ = 290·17^0,4 = 900,7 K

T₃ = 2,2·900,7 = 1982 K

Calore fornito a pressione costante

q_in = 1,005·(1982 − 900,7) = 1086 kJ/kg

Risposta

q_in = 1086 kJ/kg

8.Cicli termodinamici a gas

Risposta: w_net = 197,3 kJ/kg

Ciclo Brayton (turbina a gas): 1→2 compressione isoentropica, 2→3 introduzione di calore a pressione costante, 3→4 espansione isoentropica in turbina, 4→1 cessione di calore a pressione costante. Con rapporto di compressione r_p = P₂/P₁: T₂ = T₁·r_p^(k−1)/k, T₄ = T₃/r_p^(k−1)/k e η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k. Lavoro netto w = c_p·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]. Con i rendimenti isoentropici, il compressore richiede w_s/η_c e la turbina fornisce η_t·w_s.

Temperature isoentropiche

T_2s = 290·15^0,2857 = 628,7 K

T_4s = 1200/15^0,2857 = 553,5 K

Lavoro del compressore e della turbina

w_c = 1,005·(628,7 − 290)/0,85 = 400,4 kJ/kg

w_t = 0,92·1,005·(1200 − 553,5) = 597,7 kJ/kg

Lavoro netto

w_net = 597,7 − 400,4 = 197,3 kJ/kg

Risposta

w_net = 197,3 kJ/kg

Rapporto dei lavori (back-work ratio): w_c/w_t = 66,99%.

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