Termodinamica applicata: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 8 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Legge dei gas ideali

Legge dei gas ideali: pV = nRT
Costante dei gas: R = 8,314 J/(mol·K)
Legge combinata dei gas: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
Moli: n = m/M
Temperatura: T[K] = T[°C] + 273,15

Bilancio energetico

Calore sensibile: Q = ṁ·c_p·ΔT
Calore latente: Q = ṁ·h_fg
Miscelazione: Σṁc_pT_in = Σṁc_pT_out
Acqua: c_p ≈ 4,18 kJ/(kg·K)

Macchine termiche e frigorifere

Rendimento: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
Rendimento di Carnot: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
COP del frigorifero: COP_R = Q_C/W
COP della pompa di calore: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
Bilancio energetico: Q_H = W + Q_C

Cicli termodinamici a gas

Isoentropica, rapporto dei volumi: T₂/T₁ = r^k−1
Isoentropica, rapporto delle pressioni: T₂/T₁ = r_p^(k−1)/k
Rendimento Otto: η = 1 − 1/r^k−1
Rendimento Diesel: η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k(r_c − 1))
Rendimento Brayton: η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k
Calore fornito: Otto: c_v(T₃ − T₂) Diesel, Brayton: c_p(T₃ − T₂)
Lavoro netto Brayton: w = c_p[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]
Rendimenti isoentropici: w_c = w_c,s/η_c, w_t = η_t·w_t,s
Aria fredda: k = 1,4, c_p = 1,005, c_v = 0,718 kJ/(kg·K)

2Esercizi

1.Legge dei gas idealiMedia

Un serbatoio di 20 L contiene 410 g di Ar a 100 °C. Trattalo come gas ideale e trova la pressione P.

m = 410 gM = 39,95 g/molV = 20 LT = 100 °CR = 8,314 J/(mol·K)

P = kPa

2.Legge dei gas idealiDifficile

Trova la densità ρ di O₂ a 150 kPa e 100 °C, trattandolo come gas ideale.

M = 32 g/molP = 150 kPaT = 100 °CR = 8,314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

3.Bilancio energeticoMedia

Il olio leggero caldo raffredda acqua in uno scambiatore controcorrente senza perdite di calore. Trova la temperatura di uscita dell’acqua t_out.

ṁ_h = 0,5 kg/sc_p,h = 2,1 kJ/(kg·K)T_h: 160 → 80 °Cṁ_c = 2 kg/sc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)t_in = 20 °C

t_out = °C

4.Bilancio energeticoDifficile

Il olio leggero caldo riscalda acqua in uno scambiatore che perde verso l’ambiente il 15% del calore ceduto dalla corrente calda. Trova la portata d’acqua ṁ_c necessaria.

ṁ_h = 0,5 kg/sc_p,h = 2,1 kJ/(kg·K)T_h: 120 → 80 °Ct: 20 → 40 °Cc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)perdita = 15 %

ṁ_c = kg/s

5.Macchine termiche e frigorifereMedia

Un frigorifero reversibile mantiene una cella frigorifera a 4 °C sottraendo 3,5 kW di calore, e cede calore all’ambiente a 20 °C. Trova la potenza termica Q̇_H che cede.

T_L = 4 °CT_H = 20 °CQ̇_L = 3,5 kW

Q̇_H = kW

6.Macchine termiche e frigorifereDifficile

Una pompa di calore mantiene una casa a 22 °C mentre fuori ci sono -10 °C, fornendo 4 kW di calore alla casa. Trova il massimo coefficiente di prestazione possibile COP_max.

T_H = 22 °CT_L = -10 °CQ̇_H = 4 kW

COP_max =

7.Cicli termodinamici a gasMedia

Un ciclo Diesel ideale ha un rapporto di compressione r = 14 e un rapporto di combustione r_c = v₃/v₂ = 2. Usa le ipotesi dell’aria standard fredda: l’aria è un gas ideale con calori specifici costanti, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) e c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Trova il suo rendimento termico η in percentuale.

r = 14r_c = 2k = 1,4

η = %

8.Cicli termodinamici a gasDifficile

Un impianto con turbina a gas funziona secondo un ciclo Brayton con rapporto di compressione 15. L’aria entra nel compressore a 310 K e nella turbina a 1400 K. Il compressore ha un rendimento isoentropico del 88% e la turbina del 88%. Usa le ipotesi dell’aria standard fredda: l’aria è un gas ideale con calori specifici costanti, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) e c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Trova il lavoro netto prodotto w_net per kilogrammo d’aria, in kJ/kg.

r_p = 15T₁ = 310 KT₃ = 1400 Kη_c = 88%η_t = 88%k = 1,4c_p = 1,005 kJ/(kg·K)

w_net = kJ/kg

3Soluzioni

1.Legge dei gas ideali

Risposta: P = 1592 kPa

Legge dei gas ideali: PV = nRT, con n = m/M.

Moli

n = m/M = 410/39,95 = 10,26 mol

T = 100 + 273,15 = 373,1 K

Pressione

P = nRT/V = 10,26·8,314·373,1/0,02 = 1592 kPa

Risposta

P = 1592 kPa

2.Legge dei gas ideali

Risposta: ρ = 1,547 kg/m³

Densità di un gas ideale: ρ = PM/(RT).

Riordina la legge dei gas

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 100 + 273,15 = 373,1 K

Densità

ρ = 150·32/(8,314·373,1) = 1,547 kg/m³

Risposta

ρ = 1,547 kg/m³

3.Bilancio energetico

Risposta: t_out = 30,05 °C

Bilancio energetico dello scambiatore: senza perdite, ṁ_hc_p,h(T_h,in − T_h,out) = ṁ_cc_p,c(t_out − t_in).

Calore ceduto dalla corrente calda

Q = 0,5·2,1·(160 − 80) = 84 kW

Calore assorbito dall’acqua

t_out = t_in + Q/(ṁ_cc_p,c) = 20 + 84/(2·4,18) = 30,05 °C

Risposta

t_out = 30,05 °C

4.Bilancio energetico

Risposta: ṁ_c = 0,427 kg/s

Bilancio energetico con perdite: calore ceduto = calore assorbito + calore perso.

Calore ceduto

Q_h = 0,5·2,1·(120 − 80) = 42 kW

Calore che raggiunge l’acqua

Q_c = (1 − 0,15)·42 = 35,7 kW

Portata d’acqua

ṁ_c = Q_c/(c_p,c·Δt) = 35,7/(4,18·20) = 0,427 kg/s

Risposta

ṁ_c = 0,427 kg/s

5.Macchine termiche e frigorifere

Risposta: Q̇_H = 3,702 kW

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

Temperature assolute

T_H = 20 + 273,15 = 293,1 K

T_L = 4 + 273,15 = 277,1 K

Rapporto dei calori nel ciclo reversibile

Q̇_H = Q̇_L·T_H/T_L = 3,5·293,1/277,1 = 3,702 kW

Risposta

Q̇_H = 3,702 kW

Potenza assorbita: Ẇ = 0,2021 kW.

6.Macchine termiche e frigorifere

Risposta: COP_max = 9,223

Limiti del secondo principio: nessun ciclo che lavora tra serbatoi alle temperature assolute T_H e T_L può superare il ciclo reversibile (di Carnot): η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) e COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). L’energia si conserva sempre: Q_H = W + Q_L.

Temperature assolute

T_H = 22 + 273,15 = 295,1 K

T_L = -10 + 273,15 = 263,1 K

Miglior COP possibile

COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L) = 295,1/(295,1 − 263,1) = 9,223

Risposta

COP_max = 9,223

7.Cicli termodinamici a gas

Risposta: η = 59,26 %

Ciclo Diesel (motore ad accensione per compressione): 1→2 compressione isoentropica, 2→3 introduzione di calore a pressione costante, 3→4 espansione isoentropica, 4→1 cessione di calore a volume costante. Con rapporto di compressione r = v₁/v₂ e rapporto di combustione r_c = v₃/v₂: T₂ = T₁·r^k−1, T₃ = r_c·T₂, q_in = c_p·(T₃ − T₂) e η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k·(r_c − 1)).

Termine del rapporto di combustione

(2^1,4 − 1)/(1,4·(2 − 1)) = 1,171

Rendimento termico

η = 1 − 0,348·1,171 = 59,26%

Risposta

η = 59,26%

8.Cicli termodinamici a gas

Risposta: w_net = 253,6 kJ/kg

Ciclo Brayton (turbina a gas): 1→2 compressione isoentropica, 2→3 introduzione di calore a pressione costante, 3→4 espansione isoentropica in turbina, 4→1 cessione di calore a pressione costante. Con rapporto di compressione r_p = P₂/P₁: T₂ = T₁·r_p^(k−1)/k, T₄ = T₃/r_p^(k−1)/k e η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k. Lavoro netto w = c_p·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]. Con i rendimenti isoentropici, il compressore richiede w_s/η_c e la turbina fornisce η_t·w_s.

Temperature isoentropiche

T_2s = 310·15^0,2857 = 672 K

T_4s = 1400/15^0,2857 = 645,8 K

Lavoro del compressore e della turbina

w_c = 1,005·(672 − 310)/0,88 = 413,5 kJ/kg

w_t = 0,88·1,005·(1400 − 645,8) = 667 kJ/kg

Lavoro netto

w_net = 667 − 413,5 = 253,6 kJ/kg

Risposta

w_net = 253,6 kJ/kg

Rapporto dei lavori (back-work ratio): w_c/w_t = 61,99%.

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