Legge dei gas ideali
- Legge dei gas ideali
- pV = nRT
- Costante dei gas
- R = 8,314 J/(mol·K)
- Legge combinata dei gas
- p1V1/T1 = p2V2/T2
- Moli
- n = m/M
- Temperatura
- T[K] = T[°C] + 273,15
Termodinamica applicata: pacchetto last-minute
Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 8 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.
1Formule e metodi
Bilancio energetico
- Calore sensibile
- Q = ṁ·cp·ΔT
- Calore latente
- Q = ṁ·hfg
- Miscelazione
- ΣṁcpTin = ΣṁcpTout
- Acqua
- cp ≈ 4,18 kJ/(kg·K)
Macchine termiche e frigorifere
- Rendimento
- η = W/QH = 1 − QC/QH
- Rendimento di Carnot
- ηC = 1 − TC/TH (kelvin)
- COP del frigorifero
- COPR = QC/W
- COP della pompa di calore
- COPHP = QH/W = COPR + 1
- Bilancio energetico
- QH = W + QC
Cicli termodinamici a gas
- Isoentropica, rapporto dei volumi
- T2/T1 = rk−1
- Isoentropica, rapporto delle pressioni
- T2/T1 = rp(k−1)/k
- Rendimento Otto
- η = 1 − 1/rk−1
- Rendimento Diesel
- η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k(rc − 1))
- Rendimento Brayton
- η = 1 − 1/rp(k−1)/k
- Calore fornito
- Otto: cv(T3 − T2) Diesel, Brayton: cp(T3 − T2)
- Lavoro netto Brayton
- w = cp[(T3 − T4) − (T2 − T1)]
- Rendimenti isoentropici
- wc = wc,s/ηc, wt = ηt·wt,s
- Aria fredda
- k = 1,4, cp = 1,005, cv = 0,718 kJ/(kg·K)
2Esercizi
1.Legge dei gas idealiMedia
Un serbatoio di 20 L contiene 310 g di CO₂ a 75 °C. Trattalo come gas ideale e trova la pressione P.
m = 310 gM = 44,01 g/molV = 20 LT = 75 °CR = 8,314 J/(mol·K)
P = kPa
2.Legge dei gas idealiDifficile
Trova la densità ρ di N₂ a 450 kPa e 170 °C, trattandolo come gas ideale.
M = 28,01 g/molP = 450 kPaT = 170 °CR = 8,314 J/(mol·K)
ρ = kg/m³
3.Bilancio energeticoMedia
Il miscela di glicole caldo raffredda acqua in uno scambiatore controcorrente senza perdite di calore. Trova la temperatura di uscita dell’acqua tout.
ṁh = 1 kg/scp,h = 3,6 kJ/(kg·K)Th: 150 → 90 °Cṁc = 2 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)tin = 30 °C
tout = °C
4.Bilancio energeticoDifficile
Il miscela di glicole caldo riscalda acqua in uno scambiatore che perde verso l’ambiente il 15% del calore ceduto dalla corrente calda. Trova la portata d’acqua ṁc necessaria.
ṁh = 2 kg/scp,h = 3,6 kJ/(kg·K)Th: 160 → 60 °Ct: 15 → 35 °Ccp,c = 4,18 kJ/(kg·K)perdita = 15 %
ṁc = kg/s
5.Macchine termiche e frigorifereMedia
Un frigorifero reversibile mantiene una cella frigorifera a -18 °C sottraendo 7,5 kW di calore, e cede calore all’ambiente a 35 °C. Trova la potenza termica Q̇H che cede.
TL = -18 °CTH = 35 °CQ̇L = 7,5 kW
Q̇H = kW
6.Macchine termiche e frigorifereDifficile
Due macchine di Carnot lavorano in serie. La macchina A riceve calore da un serbatoio a 600 °C e cede calore a un serbatoio intermedio alla temperatura Tm. La macchina B assorbe tutto quel calore e cede calore a un serbatoio a 35 °C. Entrambe le macchine producono lo stesso lavoro. Trova Tm in °C.
TH = 600 °CTL = 35 °C
Tm = °C
7.Cicli termodinamici a gasMedia
Un ciclo Diesel ideale ha un rapporto di compressione r = 15 e un rapporto di combustione rc = v₃/v₂ = 2,5. All’inizio della compressione l’aria è a 310 K. Usa le ipotesi dell’aria standard fredda: l’aria è un gas ideale con calori specifici costanti, k = 1,4, cp = 1,005 kJ/(kg·K) e cv = 0,718 kJ/(kg·K). Trova la temperatura T3 alla fine dell’introduzione di calore, in K.
r = 15rc = 2,5T1 = 310 Kk = 1,4
T3 = K
8.Cicli termodinamici a gasDifficile
Un ciclo Brayton ideale funziona con un rapporto di compressione di 15. Usa le ipotesi dell’aria standard fredda: l’aria è un gas ideale con calori specifici costanti, k = 1,4, cp = 1,005 kJ/(kg·K) e cv = 0,718 kJ/(kg·K). Trova il suo rendimento termico η in percentuale.
rp = 15k = 1,4
η = %
3Soluzioni
1.Legge dei gas ideali
Risposta: P = 1019 kPa
Legge dei gas ideali: PV = nRT, con n = m/M.
Moli
n = m/M = 310/44,01 = 7,044 mol
T = 75 + 273,15 = 348,1 K
Pressione
P = nRT/V = 7,044·8,314·348,1/0,02 = 1019 kPa
Risposta
P = 1019 kPa
2.Legge dei gas ideali
Risposta: ρ = 3,421 kg/m³
Densità di un gas ideale: ρ = PM/(RT).
Riordina la legge dei gas
PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)
T = 170 + 273,15 = 443,1 K
Densità
ρ = 450·28,01/(8,314·443,1) = 3,421 kg/m³
Risposta
ρ = 3,421 kg/m³
3.Bilancio energetico
Risposta: tout = 55,84 °C
Bilancio energetico dello scambiatore: senza perdite, ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = ṁccp,c(tout − tin).
Calore ceduto dalla corrente calda
Q = 1·3,6·(150 − 90) = 216 kW
Calore assorbito dall’acqua
tout = tin + Q/(ṁccp,c) = 30 + 216/(2·4,18) = 55,84 °C
Risposta
tout = 55,84 °C
4.Bilancio energetico
Risposta: ṁc = 7,321 kg/s
Bilancio energetico con perdite: calore ceduto = calore assorbito + calore perso.
Calore ceduto
Qh = 2·3,6·(160 − 60) = 720 kW
Calore che raggiunge l’acqua
Qc = (1 − 0,15)·720 = 612 kW
Portata d’acqua
ṁc = Qc/(cp,c·Δt) = 612/(4,18·20) = 7,321 kg/s
Risposta
ṁc = 7,321 kg/s
5.Macchine termiche e frigorifere
Risposta: Q̇H = 9,058 kW
Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures TH and TL can beat the reversible (Carnot) cycle: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) and COPHP,max = TH/(TH − TL). Energy is always conserved: QH = W + QL.
Temperature assolute
TH = 35 + 273,15 = 308,1 K
TL = -18 + 273,15 = 255,1 K
Rapporto dei calori nel ciclo reversibile
Q̇H = Q̇L·TH/TL = 7,5·308,1/255,1 = 9,058 kW
Risposta
Q̇H = 9,058 kW
Potenza assorbita: Ẇ = 1,558 kW.
6.Macchine termiche e frigorifere
Risposta: Tm = 317,5 °C
Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures TH and TL can beat the reversible (Carnot) cycle: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) and COPHP,max = TH/(TH − TL). Energy is always conserved: QH = W + QL.
Temperature assolute
TH = 600 + 273,15 = 873,1 K
TL = 35 + 273,15 = 308,1 K
Lavoro uguale
W = Q·(1 − Tlow/Thigh) e Q/T è lo stesso per ogni serbatoio, quindi W è proporzionale al salto di temperatura.
Tm = (873,1 + 308,1)/2 = 590,6 K = 317,5 °C
Risposta
Tm = 317,5 °C
7.Cicli termodinamici a gas
Risposta: T3 = 2289 K
Ciclo Diesel (motore ad accensione per compressione): 1→2 compressione isoentropica, 2→3 introduzione di calore a pressione costante, 3→4 espansione isoentropica, 4→1 cessione di calore a volume costante. Con rapporto di compressione r = v₁/v₂ e rapporto di combustione rc = v₃/v₂: T₂ = T₁·rk−1, T₃ = rc·T₂, qin = cp·(T₃ − T₂) e η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k·(rc − 1)).
Fine della compressione
T2 = 310·150,4 = 915,8 K
Introduzione di calore a pressione costante
T3 = rc·T2 = 2,5·915,8 = 2289 K
Risposta
T3 = 2289 K
8.Cicli termodinamici a gas
Risposta: η = 53,87 %
Ciclo Brayton (turbina a gas): 1→2 compressione isoentropica, 2→3 introduzione di calore a pressione costante, 3→4 espansione isoentropica in turbina, 4→1 cessione di calore a pressione costante. Con rapporto di compressione rp = P₂/P₁: T₂ = T₁·rp(k−1)/k, T₄ = T₃/rp(k−1)/k e η = 1 − 1/rp(k−1)/k. Lavoro netto w = cp·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]. Con i rendimenti isoentropici, il compressore richiede ws/ηc e la turbina fornisce ηt·ws.
Rendimento termico
η = 1 − 1/150,2857 = 1 − 1/2,168 = 53,87%
Risposta
η = 53,87%
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