Termodinamica applicata: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 8 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Legge dei gas ideali

Legge dei gas ideali: pV = nRT
Costante dei gas: R = 8,314 J/(mol·K)
Legge combinata dei gas: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
Moli: n = m/M
Temperatura: T[K] = T[°C] + 273,15

Bilancio energetico

Calore sensibile: Q = ṁ·c_p·ΔT
Calore latente: Q = ṁ·h_fg
Miscelazione: Σṁc_pT_in = Σṁc_pT_out
Acqua: c_p ≈ 4,18 kJ/(kg·K)

Macchine termiche e frigorifere

Rendimento: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
Rendimento di Carnot: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
COP del frigorifero: COP_R = Q_C/W
COP della pompa di calore: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
Bilancio energetico: Q_H = W + Q_C

Cicli termodinamici a gas

Isoentropica, rapporto dei volumi: T₂/T₁ = r^k−1
Isoentropica, rapporto delle pressioni: T₂/T₁ = r_p^(k−1)/k
Rendimento Otto: η = 1 − 1/r^k−1
Rendimento Diesel: η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k(r_c − 1))
Rendimento Brayton: η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k
Calore fornito: Otto: c_v(T₃ − T₂) Diesel, Brayton: c_p(T₃ − T₂)
Lavoro netto Brayton: w = c_p[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]
Rendimenti isoentropici: w_c = w_c,s/η_c, w_t = η_t·w_t,s
Aria fredda: k = 1,4, c_p = 1,005, c_v = 0,718 kJ/(kg·K)

2Esercizi

1.Legge dei gas idealiMedia

Quale volume V occupano 440 g di He a 100 kPa e 60 °C? Trattalo come gas ideale.

m = 440 gM = 4,003 g/molP = 100 kPaT = 60 °CR = 8,314 J/(mol·K)

V = L

2.Legge dei gas idealiDifficile

Una quantità fissa di CO₂ passa da 100 kPa, 5 L, 25 °C a 550 kPa e 150 °C. Trova il nuovo volume V₂.

P₁ = 100 kPaV₁ = 5 LT₁ = 25 °CP₂ = 550 kPaT₂ = 150 °C

V₂ = L

3.Bilancio energeticoMedia

Il etanolo caldo raffredda acqua in uno scambiatore controcorrente senza perdite di calore. Trova la temperatura di uscita dell’acqua t_out.

ṁ_h = 2,5 kg/sc_p,h = 2,44 kJ/(kg·K)T_h: 120 → 70 °Cṁ_c = 1 kg/sc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)t_in = 25 °C

t_out = °C

4.Bilancio energeticoDifficile

Il miscela di glicole caldo riscalda acqua in uno scambiatore che perde verso l’ambiente il 15% del calore ceduto dalla corrente calda. Trova la portata d’acqua ṁ_c necessaria.

ṁ_h = 1 kg/sc_p,h = 3,6 kJ/(kg·K)T_h: 140 → 110 °Ct: 25 → 55 °Cc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)perdita = 15 %

ṁ_c = kg/s

5.Macchine termiche e frigorifereMedia

Una macchina termica reversibile (di Carnot) assorbe 3600 kJ di calore da un serbatoio a 450 °C e ne cede 1410 kJ per ciclo. Trova la temperatura T_L del serbatoio freddo in °C.

T_H = 450 °CQ_H = 3600 kJQ_L = 1410 kJ

T_L = °C

6.Macchine termiche e frigorifereDifficile

Un frigorifero mantiene il vano freddo a -25 °C in una cucina a 35 °C, sottraendo calore dal vano freddo a 1 kW. Trova la potenza minima in ingresso Ẇ_min.

T_H = 35 °CT_L = -25 °CQ̇_L = 1 kW

Ẇ_min = kW

7.Cicli termodinamici a gasMedia

Un ciclo Diesel ideale ha un rapporto di compressione r = 18 e un rapporto di combustione r_c = v₃/v₂ = 2. All’inizio della compressione l’aria è a 310 K. Usa le ipotesi dell’aria standard fredda: l’aria è un gas ideale con calori specifici costanti, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) e c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Trova la temperatura T₃ alla fine dell’introduzione di calore, in K.

r = 18r_c = 2T₁ = 310 Kk = 1,4

T₃ = K

8.Cicli termodinamici a gasDifficile

Un impianto con turbina a gas funziona secondo un ciclo Brayton con rapporto di compressione 6. L’aria entra nel compressore a 290 K e nella turbina a 1100 K. Il compressore ha un rendimento isoentropico del 82% e la turbina del 88%. Usa le ipotesi dell’aria standard fredda: l’aria è un gas ideale con calori specifici costanti, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) e c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Trova il lavoro netto prodotto w_net per kilogrammo d’aria, in kJ/kg.

r_p = 6T₁ = 290 KT₃ = 1100 Kη_c = 82%η_t = 88%k = 1,4c_p = 1,005 kJ/(kg·K)

w_net = kJ/kg

3Soluzioni

1.Legge dei gas ideali

Risposta: V = 3045 L

Legge dei gas ideali: PV = nRT, con n = m/M.

Moli

n = 440/4,003 = 109,9 mol

T = 60 + 273,15 = 333,1 K

Volume

V = nRT/P = 109,9·8,314·333,1/100 = 3045 L

Risposta

V = 3045 L

2.Legge dei gas ideali

Risposta: V₂ = 1,29 L

Legge combinata dei gas: per una quantità fissa di gas ideale, P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂.

Temperature assolute

T₁ = 298,1 K, T₂ = 423,1 K

Legge combinata dei gas

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 5·(100/550)·(423,1/298,1) = 1,29 L

Risposta

V₂ = 1,29 L

3.Bilancio energetico

Risposta: t_out = 97,97 °C

Bilancio energetico dello scambiatore: senza perdite, ṁ_hc_p,h(T_h,in − T_h,out) = ṁ_cc_p,c(t_out − t_in).

Calore ceduto dalla corrente calda

Q = 2,5·2,44·(120 − 70) = 305 kW

Calore assorbito dall’acqua

t_out = t_in + Q/(ṁ_cc_p,c) = 25 + 305/(1·4,18) = 97,97 °C

Risposta

t_out = 97,97 °C

4.Bilancio energetico

Risposta: ṁ_c = 0,7321 kg/s

Bilancio energetico con perdite: calore ceduto = calore assorbito + calore perso.

Calore ceduto

Q_h = 1·3,6·(140 − 110) = 108 kW

Calore che raggiunge l’acqua

Q_c = (1 − 0,15)·108 = 91,8 kW

Portata d’acqua

ṁ_c = Q_c/(c_p,c·Δt) = 91,8/(4,18·30) = 0,7321 kg/s

Risposta

ṁ_c = 0,7321 kg/s

5.Macchine termiche e frigorifere

Risposta: T_L = 10,08 °C

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

Temperatura assoluta della sorgente

T_H = 450 + 273,15 = 723,1 K

Rapporto dei calori nel ciclo reversibile

T_L = T_H·Q_L/Q_H = 723,1·1410/3600 = 283,2 K = 10,08 °C

Risposta

T_L = 10,08 °C

6.Macchine termiche e frigorifere

Risposta: Ẇ_min = 0,2418 kW

Limiti del secondo principio: nessun ciclo che lavora tra serbatoi alle temperature assolute T_H e T_L può superare il ciclo reversibile (di Carnot): η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) e COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). L’energia si conserva sempre: Q_H = W + Q_L.

Temperature assolute

T_H = 35 + 273,15 = 308,1 K

T_L = -25 + 273,15 = 248,1 K

Miglior COP possibile

COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) = 248,1/(308,1 − 248,1) = 4,136

Potenza minima

Il lavoro minimo serve a una macchina reversibile, che ha il COP più alto.

Ẇ_min = Q̇_L/COP = 1/4,136 = 0,2418 kW

Risposta

Ẇ_min = 0,2418 kW

7.Cicli termodinamici a gas

Risposta: T₃ = 1970 K

Ciclo Diesel (motore ad accensione per compressione): 1→2 compressione isoentropica, 2→3 introduzione di calore a pressione costante, 3→4 espansione isoentropica, 4→1 cessione di calore a volume costante. Con rapporto di compressione r = v₁/v₂ e rapporto di combustione r_c = v₃/v₂: T₂ = T₁·r^k−1, T₃ = r_c·T₂, q_in = c_p·(T₃ − T₂) e η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k·(r_c − 1)).

Fine della compressione

T₂ = 310·18^0,4 = 985,1 K

Introduzione di calore a pressione costante

T₃ = r_c·T₂ = 2·985,1 = 1970 K

Risposta

T₃ = 1970 K

8.Cicli termodinamici a gas

Risposta: w_net = 152,2 kJ/kg

Ciclo Brayton (turbina a gas): 1→2 compressione isoentropica, 2→3 introduzione di calore a pressione costante, 3→4 espansione isoentropica in turbina, 4→1 cessione di calore a pressione costante. Con rapporto di compressione r_p = P₂/P₁: T₂ = T₁·r_p^(k−1)/k, T₄ = T₃/r_p^(k−1)/k e η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k. Lavoro netto w = c_p·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]. Con i rendimenti isoentropici, il compressore richiede w_s/η_c e la turbina fornisce η_t·w_s.

Temperature isoentropiche

T_2s = 290·6^0,2857 = 483,9 K

T_4s = 1100/6^0,2857 = 659,3 K

Lavoro del compressore e della turbina

w_c = 1,005·(483,9 − 290)/0,82 = 237,6 kJ/kg

w_t = 0,88·1,005·(1100 − 659,3) = 389,8 kJ/kg

Lavoro netto

w_net = 389,8 − 237,6 = 152,2 kJ/kg

Risposta

w_net = 152,2 kJ/kg

Rapporto dei lavori (back-work ratio): w_c/w_t = 60,96%.

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