Termodinamica applicata: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 8 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Legge dei gas ideali

Legge dei gas ideali: pV = nRT
Costante dei gas: R = 8,314 J/(mol·K)
Legge combinata dei gas: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
Moli: n = m/M
Temperatura: T[K] = T[°C] + 273,15

Bilancio energetico

Calore sensibile: Q = ṁ·c_p·ΔT
Calore latente: Q = ṁ·h_fg
Miscelazione: Σṁc_pT_in = Σṁc_pT_out
Acqua: c_p ≈ 4,18 kJ/(kg·K)

Macchine termiche e frigorifere

Rendimento: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
Rendimento di Carnot: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
COP del frigorifero: COP_R = Q_C/W
COP della pompa di calore: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
Bilancio energetico: Q_H = W + Q_C

Cicli termodinamici a gas

Isoentropica, rapporto dei volumi: T₂/T₁ = r^k−1
Isoentropica, rapporto delle pressioni: T₂/T₁ = r_p^(k−1)/k
Rendimento Otto: η = 1 − 1/r^k−1
Rendimento Diesel: η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k(r_c − 1))
Rendimento Brayton: η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k
Calore fornito: Otto: c_v(T₃ − T₂) Diesel, Brayton: c_p(T₃ − T₂)
Lavoro netto Brayton: w = c_p[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]
Rendimenti isoentropici: w_c = w_c,s/η_c, w_t = η_t·w_t,s
Aria fredda: k = 1,4, c_p = 1,005, c_v = 0,718 kJ/(kg·K)

2Esercizi

1.Legge dei gas idealiMedia

Un serbatoio di 50 L contiene 490 g di Ar a 5 °C. Trattalo come gas ideale e trova la pressione P.

m = 490 gM = 39,95 g/molV = 50 LT = 5 °CR = 8,314 J/(mol·K)

P = kPa

2.Legge dei gas idealiDifficile

Una quantità fissa di Ar passa da 200 kPa, 5 L, 15 °C a 300 kPa e 100 °C. Trova il nuovo volume V₂.

P₁ = 200 kPaV₁ = 5 LT₁ = 15 °CP₂ = 300 kPaT₂ = 100 °C

V₂ = L

3.Bilancio energeticoMedia

Il olio leggero caldo raffredda acqua in uno scambiatore controcorrente senza perdite di calore. Trova la temperatura di uscita dell’acqua t_out.

ṁ_h = 2,5 kg/sc_p,h = 2,1 kJ/(kg·K)T_h: 140 → 110 °Cṁ_c = 1 kg/sc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)t_in = 25 °C

t_out = °C

4.Bilancio energeticoDifficile

Il etanolo caldo riscalda acqua in uno scambiatore che perde verso l’ambiente il 10% del calore ceduto dalla corrente calda. Trova la portata d’acqua ṁ_c necessaria.

ṁ_h = 2,5 kg/sc_p,h = 2,44 kJ/(kg·K)T_h: 130 → 80 °Ct: 30 → 80 °Cc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)perdita = 10 %

ṁ_c = kg/s

5.Macchine termiche e frigorifereMedia

Una macchina termica reversibile (di Carnot) assorbe 3100 kJ di calore da un serbatoio a 525 °C e ne cede 1119 kJ per ciclo. Trova la temperatura T_L del serbatoio freddo in °C.

T_H = 525 °CQ_H = 3100 kJQ_L = 1119 kJ

T_L = °C

6.Macchine termiche e frigorifereDifficile

Una macchina termica assorbe 3600 kJ di calore da un serbatoio a 500 °C, produce 1080 kJ di lavoro e cede il resto a un serbatoio a 40 °C, per ciclo. Trova l’entropia totale generata S_gen per ciclo.

T_H = 500 °CT_L = 40 °CQ_H = 3600 kJW = 1080 kJ

S_gen = kJ/K

7.Cicli termodinamici a gasMedia

Un ciclo Diesel ideale ha un rapporto di compressione r = 14 e un rapporto di combustione r_c = v₃/v₂ = 3. All’inizio della compressione l’aria è a 300 K. Usa le ipotesi dell’aria standard fredda: l’aria è un gas ideale con calori specifici costanti, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) e c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Trova il calore fornito q_in per kilogrammo d’aria, in kJ/kg.

r = 14r_c = 3T₁ = 300 Kk = 1,4c_p = 1,005 kJ/(kg·K)

q_in = kJ/kg

8.Cicli termodinamici a gasDifficile

Un ciclo Brayton ideale funziona con un rapporto di compressione di 20. Usa le ipotesi dell’aria standard fredda: l’aria è un gas ideale con calori specifici costanti, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) e c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Trova il suo rendimento termico η in percentuale.

r_p = 20k = 1,4

η = %

3Soluzioni

1.Legge dei gas ideali

Risposta: P = 567,3 kPa

Legge dei gas ideali: PV = nRT, con n = m/M.

Moli

n = m/M = 490/39,95 = 12,27 mol

T = 5 + 273,15 = 278,1 K

Pressione

P = nRT/V = 12,27·8,314·278,1/0,05 = 567,3 kPa

Risposta

P = 567,3 kPa

2.Legge dei gas ideali

Risposta: V₂ = 4,317 L

Legge combinata dei gas: per una quantità fissa di gas ideale, P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂.

Temperature assolute

T₁ = 288,1 K, T₂ = 373,1 K

Legge combinata dei gas

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 5·(200/300)·(373,1/288,1) = 4,317 L

Risposta

V₂ = 4,317 L

3.Bilancio energetico

Risposta: t_out = 62,68 °C

Bilancio energetico dello scambiatore: senza perdite, ṁ_hc_p,h(T_h,in − T_h,out) = ṁ_cc_p,c(t_out − t_in).

Calore ceduto dalla corrente calda

Q = 2,5·2,1·(140 − 110) = 157,5 kW

Calore assorbito dall’acqua

t_out = t_in + Q/(ṁ_cc_p,c) = 25 + 157,5/(1·4,18) = 62,68 °C

Risposta

t_out = 62,68 °C

4.Bilancio energetico

Risposta: ṁ_c = 1,313 kg/s

Bilancio energetico con perdite: calore ceduto = calore assorbito + calore perso.

Calore ceduto

Q_h = 2,5·2,44·(130 − 80) = 305 kW

Calore che raggiunge l’acqua

Q_c = (1 − 0,1)·305 = 274,5 kW

Portata d’acqua

ṁ_c = Q_c/(c_p,c·Δt) = 274,5/(4,18·50) = 1,313 kg/s

Risposta

ṁ_c = 1,313 kg/s

5.Macchine termiche e frigorifere

Risposta: T_L = 14,96 °C

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

Temperatura assoluta della sorgente

T_H = 525 + 273,15 = 798,1 K

Rapporto dei calori nel ciclo reversibile

T_L = T_H·Q_L/Q_H = 798,1·1119/3100 = 288,1 K = 14,96 °C

Risposta

T_L = 14,96 °C

6.Macchine termiche e frigorifere

Risposta: S_gen = 3,391 kJ/K

Generazione di entropia: su un ciclo completo il fluido di lavoro non ha variazione netta di entropia. Il serbatoio caldo perde Q_H/T_H e quello freddo guadagna Q_L/T_L. La loro somma è l’entropia generata, che è nulla per un ciclo reversibile e positiva per ogni ciclo reale.

Calore ceduto

Q_L = Q_H − W = 3600 − 1080 = 2520 kJ

Temperature assolute

T_H = 500 + 273,15 = 773,1 K

T_L = 40 + 273,15 = 313,1 K

Variazioni di entropia dei serbatoi

ΔS_H = −3600/773,1 = −4,656 kJ/K

ΔS_L = 2520/313,1 = 8,047 kJ/K

S_gen = 8,047 − 4,656 = 3,391 kJ/K

Risposta

S_gen = 3,391 kJ/K

S_gen > 0, quindi la macchina è possibile ma irreversibile.

7.Cicli termodinamici a gas

Risposta: q_in = 1733 kJ/kg

Ciclo Diesel (motore ad accensione per compressione): 1→2 compressione isoentropica, 2→3 introduzione di calore a pressione costante, 3→4 espansione isoentropica, 4→1 cessione di calore a volume costante. Con rapporto di compressione r = v₁/v₂ e rapporto di combustione r_c = v₃/v₂: T₂ = T₁·r^k−1, T₃ = r_c·T₂, q_in = c_p·(T₃ − T₂) e η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k·(r_c − 1)).

Temperature

T₂ = 300·14^0,4 = 862,1 K

T₃ = 3·862,1 = 2586 K

Calore fornito a pressione costante

q_in = 1,005·(2586 − 862,1) = 1733 kJ/kg

Risposta

q_in = 1733 kJ/kg

8.Cicli termodinamici a gas

Risposta: η = 57,51 %

Ciclo Brayton (turbina a gas): 1→2 compressione isoentropica, 2→3 introduzione di calore a pressione costante, 3→4 espansione isoentropica in turbina, 4→1 cessione di calore a pressione costante. Con rapporto di compressione r_p = P₂/P₁: T₂ = T₁·r_p^(k−1)/k, T₄ = T₃/r_p^(k−1)/k e η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k. Lavoro netto w = c_p·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]. Con i rendimenti isoentropici, il compressore richiede w_s/η_c e la turbina fornisce η_t·w_s.

Rendimento termico

η = 1 − 1/20^0,2857 = 1 − 1/2,354 = 57,51%

Risposta

η = 57,51%

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