Termodinamica applicata: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 8 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Legge dei gas ideali

Legge dei gas ideali: pV = nRT
Costante dei gas: R = 8,314 J/(mol·K)
Legge combinata dei gas: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
Moli: n = m/M
Temperatura: T[K] = T[°C] + 273,15

Bilancio energetico

Calore sensibile: Q = ṁ·c_p·ΔT
Calore latente: Q = ṁ·h_fg
Miscelazione: Σṁc_pT_in = Σṁc_pT_out
Acqua: c_p ≈ 4,18 kJ/(kg·K)

Macchine termiche e frigorifere

Rendimento: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
Rendimento di Carnot: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
COP del frigorifero: COP_R = Q_C/W
COP della pompa di calore: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
Bilancio energetico: Q_H = W + Q_C

Cicli termodinamici a gas

Isoentropica, rapporto dei volumi: T₂/T₁ = r^k−1
Isoentropica, rapporto delle pressioni: T₂/T₁ = r_p^(k−1)/k
Rendimento Otto: η = 1 − 1/r^k−1
Rendimento Diesel: η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k(r_c − 1))
Rendimento Brayton: η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k
Calore fornito: Otto: c_v(T₃ − T₂) Diesel, Brayton: c_p(T₃ − T₂)
Lavoro netto Brayton: w = c_p[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]
Rendimenti isoentropici: w_c = w_c,s/η_c, w_t = η_t·w_t,s
Aria fredda: k = 1,4, c_p = 1,005, c_v = 0,718 kJ/(kg·K)

2Esercizi

1.Legge dei gas idealiMedia

Quale volume V occupano 120 g di CO₂ a 100 kPa e 85 °C? Trattalo come gas ideale.

m = 120 gM = 44,01 g/molP = 100 kPaT = 85 °CR = 8,314 J/(mol·K)

V = L

2.Legge dei gas idealiDifficile

Trova la densità ρ di Ar a 600 kPa e 70 °C, trattandolo come gas ideale.

M = 39,95 g/molP = 600 kPaT = 70 °CR = 8,314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

3.Bilancio energeticoMedia

Il miscela di glicole caldo raffredda acqua in uno scambiatore controcorrente senza perdite di calore. Trova la temperatura di uscita dell’acqua t_out.

ṁ_h = 0,5 kg/sc_p,h = 3,6 kJ/(kg·K)T_h: 130 → 80 °Cṁ_c = 2 kg/sc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)t_in = 30 °C

t_out = °C

4.Bilancio energeticoDifficile

Il miscela di glicole caldo riscalda acqua in uno scambiatore che perde verso l’ambiente il 5% del calore ceduto dalla corrente calda. Trova la portata d’acqua ṁ_c necessaria.

ṁ_h = 2,5 kg/sc_p,h = 3,6 kJ/(kg·K)T_h: 150 → 80 °Ct: 30 → 60 °Cc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)perdita = 5 %

ṁ_c = kg/s

5.Macchine termiche e frigorifereMedia

Una macchina termica riceve calore da una sorgente a 400 °C e cede calore all’ambiente a 30 °C. Il suo rendimento termico effettivo è del 33%. Trova il suo rendimento di secondo principio η_II, il rapporto tra il rendimento effettivo e il rendimento di Carnot.

T_H = 400 °CT_L = 30 °Cη = 33%

η_II = %

6.Macchine termiche e frigorifereDifficile

Due macchine di Carnot lavorano in serie. La macchina A riceve calore da un serbatoio a 1100 °C e cede calore a un serbatoio intermedio alla temperatura T_m. La macchina B assorbe tutto quel calore e cede calore a un serbatoio a 20 °C. Entrambe le macchine producono lo stesso lavoro. Trova T_m in °C.

T_H = 1100 °CT_L = 20 °C

T_m = °C

7.Cicli termodinamici a gasMedia

Un ciclo Diesel ideale ha un rapporto di compressione r = 14 e un rapporto di combustione r_c = v₃/v₂ = 2. All’inizio della compressione l’aria è a 310 K. Usa le ipotesi dell’aria standard fredda: l’aria è un gas ideale con calori specifici costanti, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) e c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Trova il calore fornito q_in per kilogrammo d’aria, in kJ/kg.

r = 14r_c = 2T₁ = 310 Kk = 1,4c_p = 1,005 kJ/(kg·K)

q_in = kJ/kg

8.Cicli termodinamici a gasDifficile

Un impianto con turbina a gas funziona secondo un ciclo Brayton con rapporto di compressione 8. L’aria entra nel compressore a 290 K e nella turbina a 1100 K. Il compressore ha un rendimento isoentropico del 82% e la turbina del 92%. Usa le ipotesi dell’aria standard fredda: l’aria è un gas ideale con calori specifici costanti, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) e c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Trova il lavoro netto prodotto w_net per kilogrammo d’aria, in kJ/kg.

r_p = 8T₁ = 290 KT₃ = 1100 Kη_c = 82%η_t = 92%k = 1,4c_p = 1,005 kJ/(kg·K)

w_net = kJ/kg

3Soluzioni

1.Legge dei gas ideali

Risposta: V = 81,19 L

Legge dei gas ideali: PV = nRT, con n = m/M.

Moli

n = 120/44,01 = 2,727 mol

T = 85 + 273,15 = 358,1 K

Volume

V = nRT/P = 2,727·8,314·358,1/100 = 81,19 L

Risposta

V = 81,19 L

2.Legge dei gas ideali

Risposta: ρ = 8,402 kg/m³

Densità di un gas ideale: ρ = PM/(RT).

Riordina la legge dei gas

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 70 + 273,15 = 343,1 K

Densità

ρ = 600·39,95/(8,314·343,1) = 8,402 kg/m³

Risposta

ρ = 8,402 kg/m³

3.Bilancio energetico

Risposta: t_out = 40,77 °C

Bilancio energetico dello scambiatore: senza perdite, ṁ_hc_p,h(T_h,in − T_h,out) = ṁ_cc_p,c(t_out − t_in).

Calore ceduto dalla corrente calda

Q = 0,5·3,6·(130 − 80) = 90 kW

Calore assorbito dall’acqua

t_out = t_in + Q/(ṁ_cc_p,c) = 30 + 90/(2·4,18) = 40,77 °C

Risposta

t_out = 40,77 °C

4.Bilancio energetico

Risposta: ṁ_c = 4,773 kg/s

Bilancio energetico con perdite: calore ceduto = calore assorbito + calore perso.

Calore ceduto

Q_h = 2,5·3,6·(150 − 80) = 630 kW

Calore che raggiunge l’acqua

Q_c = (1 − 0,05)·630 = 598,5 kW

Portata d’acqua

ṁ_c = Q_c/(c_p,c·Δt) = 598,5/(4,18·30) = 4,773 kg/s

Risposta

ṁ_c = 4,773 kg/s

5.Macchine termiche e frigorifere

Risposta: η_II = 60,04 %

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

Temperature assolute

T_H = 400 + 273,15 = 673,1 K

T_L = 30 + 273,15 = 303,1 K

Rendimento di Carnot

η_Carnot = 1 − 303,1/673,1 = 54,97 %

Rendimento di secondo principio

η_II = η/η_Carnot = 33/54,97 = 60,04 %

Risposta

η_II = 60,04 %

6.Macchine termiche e frigorifere

Risposta: T_m = 560 °C

Temperature assolute

T_H = 1100 + 273,15 = 1373 K

T_L = 20 + 273,15 = 293,1 K

Lavoro uguale

W = Q·(1 − T_low/T_high) e Q/T è lo stesso per ogni serbatoio, quindi W è proporzionale al salto di temperatura.

T_m = (1373 + 293,1)/2 = 833,2 K = 560 °C

Risposta

T_m = 560 °C

7.Cicli termodinamici a gas

Risposta: q_in = 895,3 kJ/kg

Ciclo Diesel (motore ad accensione per compressione): 1→2 compressione isoentropica, 2→3 introduzione di calore a pressione costante, 3→4 espansione isoentropica, 4→1 cessione di calore a volume costante. Con rapporto di compressione r = v₁/v₂ e rapporto di combustione r_c = v₃/v₂: T₂ = T₁·r^k−1, T₃ = r_c·T₂, q_in = c_p·(T₃ − T₂) e η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k·(r_c − 1)).

Temperature

T₂ = 310·14^0,4 = 890,9 K

T₃ = 2·890,9 = 1782 K

Calore fornito a pressione costante

q_in = 1,005·(1782 − 890,9) = 895,3 kJ/kg

Risposta

q_in = 895,3 kJ/kg

8.Cicli termodinamici a gas

Risposta: w_net = 167,2 kJ/kg

Ciclo Brayton (turbina a gas): 1→2 compressione isoentropica, 2→3 introduzione di calore a pressione costante, 3→4 espansione isoentropica in turbina, 4→1 cessione di calore a pressione costante. Con rapporto di compressione r_p = P₂/P₁: T₂ = T₁·r_p^(k−1)/k, T₄ = T₃/r_p^(k−1)/k e η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k. Lavoro netto w = c_p·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]. Con i rendimenti isoentropici, il compressore richiede w_s/η_c e la turbina fornisce η_t·w_s.

Temperature isoentropiche

T_2s = 290·8^0,2857 = 525,3 K

T_4s = 1100/8^0,2857 = 607,2 K

Lavoro del compressore e della turbina

w_c = 1,005·(525,3 − 290)/0,82 = 288,4 kJ/kg

w_t = 0,92·1,005·(1100 − 607,2) = 455,6 kJ/kg

Lavoro netto

w_net = 455,6 − 288,4 = 167,2 kJ/kg

Risposta

w_net = 167,2 kJ/kg

Rapporto dei lavori (back-work ratio): w_c/w_t = 63,3%.

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