Termodinamica applicata: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 8 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Legge dei gas ideali

Legge dei gas ideali: pV = nRT
Costante dei gas: R = 8,314 J/(mol·K)
Legge combinata dei gas: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
Moli: n = m/M
Temperatura: T[K] = T[°C] + 273,15

Bilancio energetico

Calore sensibile: Q = ṁ·c_p·ΔT
Calore latente: Q = ṁ·h_fg
Miscelazione: Σṁc_pT_in = Σṁc_pT_out
Acqua: c_p ≈ 4,18 kJ/(kg·K)

Macchine termiche e frigorifere

Rendimento: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
Rendimento di Carnot: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
COP del frigorifero: COP_R = Q_C/W
COP della pompa di calore: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
Bilancio energetico: Q_H = W + Q_C

Cicli termodinamici a gas

Isoentropica, rapporto dei volumi: T₂/T₁ = r^k−1
Isoentropica, rapporto delle pressioni: T₂/T₁ = r_p^(k−1)/k
Rendimento Otto: η = 1 − 1/r^k−1
Rendimento Diesel: η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k(r_c − 1))
Rendimento Brayton: η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k
Calore fornito: Otto: c_v(T₃ − T₂) Diesel, Brayton: c_p(T₃ − T₂)
Lavoro netto Brayton: w = c_p[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]
Rendimenti isoentropici: w_c = w_c,s/η_c, w_t = η_t·w_t,s
Aria fredda: k = 1,4, c_p = 1,005, c_v = 0,718 kJ/(kg·K)

2Esercizi

1.Legge dei gas idealiMedia

Un serbatoio di 10 L contiene 410 g di He a 70 °C. Trattalo come gas ideale e trova la pressione P.

m = 410 gM = 4,003 g/molV = 10 LT = 70 °CR = 8,314 J/(mol·K)

P = kPa

2.Legge dei gas idealiDifficile

Una quantità fissa di N₂ passa da 300 kPa, 2 L, 10 °C a 400 kPa e 230 °C. Trova il nuovo volume V₂.

P₁ = 300 kPaV₁ = 2 LT₁ = 10 °CP₂ = 400 kPaT₂ = 230 °C

V₂ = L

3.Bilancio energeticoMedia

Il olio leggero caldo raffredda acqua in uno scambiatore controcorrente senza perdite di calore. Trova la temperatura di uscita dell’acqua t_out.

ṁ_h = 2,5 kg/sc_p,h = 2,1 kJ/(kg·K)T_h: 120 → 90 °Cṁ_c = 1,5 kg/sc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)t_in = 25 °C

t_out = °C

4.Bilancio energeticoDifficile

Il etanolo caldo riscalda acqua in uno scambiatore che perde verso l’ambiente il 15% del calore ceduto dalla corrente calda. Trova la portata d’acqua ṁ_c necessaria.

ṁ_h = 3 kg/sc_p,h = 2,44 kJ/(kg·K)T_h: 120 → 80 °Ct: 15 → 40 °Cc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)perdita = 15 %

ṁ_c = kg/s

5.Macchine termiche e frigorifereMedia

Una macchina termica lavora tra un serbatoio caldo a 500 °C e un serbatoio freddo a 35 °C. Trova il massimo rendimento termico possibile η_max.

T_H = 500 °CT_L = 35 °C

η_max = %

6.Macchine termiche e frigorifereDifficile

Una macchina termica di Carnot riceve 30 kW di calore da una sorgente a 500 °C e cede calore all’ambiente a 30 °C. Tutto il suo lavoro aziona un frigorifero di Carnot che sottrae calore a un congelatore a -20 °C e cede anch’esso calore all’ambiente a 30 °C. Trova la potenza termica Q̇_L sottratta al congelatore.

T_H = 500 °CT₀ = 30 °CT_L = -20 °CQ̇_H = 30 kW

Q̇_L = kW

7.Cicli termodinamici a gasMedia

Un ciclo Diesel ideale ha un rapporto di compressione r = 16 e un rapporto di combustione r_c = v₃/v₂ = 2,2. All’inizio della compressione l’aria è a 290 K. Usa le ipotesi dell’aria standard fredda: l’aria è un gas ideale con calori specifici costanti, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) e c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Trova il calore fornito q_in per kilogrammo d’aria, in kJ/kg.

r = 16r_c = 2,2T₁ = 290 Kk = 1,4c_p = 1,005 kJ/(kg·K)

q_in = kJ/kg

8.Cicli termodinamici a gasDifficile

Un impianto con turbina a gas funziona secondo un ciclo Brayton con rapporto di compressione 15. L’aria entra nel compressore a 300 K e nella turbina a 1100 K. Il compressore ha un rendimento isoentropico del 88% e la turbina del 92%. Usa le ipotesi dell’aria standard fredda: l’aria è un gas ideale con calori specifici costanti, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) e c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Trova il lavoro netto prodotto w_net per kilogrammo d’aria, in kJ/kg.

r_p = 15T₁ = 300 KT₃ = 1100 Kη_c = 88%η_t = 92%k = 1,4c_p = 1,005 kJ/(kg·K)

w_net = kJ/kg

3Soluzioni

1.Legge dei gas ideali

Risposta: P = 29221 kPa

Legge dei gas ideali: PV = nRT, con n = m/M.

Moli

n = m/M = 410/4,003 = 102,4 mol

T = 70 + 273,15 = 343,1 K

Pressione

P = nRT/V = 102,4·8,314·343,1/0,01 = 29221 kPa

Risposta

P = 29221 kPa

2.Legge dei gas ideali

Risposta: V₂ = 2,665 L

Legge combinata dei gas: per una quantità fissa di gas ideale, P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂.

Temperature assolute

T₁ = 283,1 K, T₂ = 503,1 K

Legge combinata dei gas

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 2·(300/400)·(503,1/283,1) = 2,665 L

Risposta

V₂ = 2,665 L

3.Bilancio energetico

Risposta: t_out = 50,12 °C

Bilancio energetico dello scambiatore: senza perdite, ṁ_hc_p,h(T_h,in − T_h,out) = ṁ_cc_p,c(t_out − t_in).

Calore ceduto dalla corrente calda

Q = 2,5·2,1·(120 − 90) = 157,5 kW

Calore assorbito dall’acqua

t_out = t_in + Q/(ṁ_cc_p,c) = 25 + 157,5/(1,5·4,18) = 50,12 °C

Risposta

t_out = 50,12 °C

4.Bilancio energetico

Risposta: ṁ_c = 2,382 kg/s

Bilancio energetico con perdite: calore ceduto = calore assorbito + calore perso.

Calore ceduto

Q_h = 3·2,44·(120 − 80) = 292,8 kW

Calore che raggiunge l’acqua

Q_c = (1 − 0,15)·292,8 = 248,9 kW

Portata d’acqua

ṁ_c = Q_c/(c_p,c·Δt) = 248,9/(4,18·25) = 2,382 kg/s

Risposta

ṁ_c = 2,382 kg/s

5.Macchine termiche e frigorifere

Risposta: η_max = 60,14 %

Limiti del secondo principio: nessun ciclo che lavora tra serbatoi alle temperature assolute T_H e T_L può superare il ciclo reversibile (di Carnot): η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) e COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). L’energia si conserva sempre: Q_H = W + Q_L.

Temperature assolute

T_H = 500 + 273,15 = 773,1 K

T_L = 35 + 273,15 = 308,1 K

Rendimento di Carnot

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 308,1/773,1 = 60,14 %

Risposta

η_max = 60,14 %

6.Macchine termiche e frigorifere

Risposta: Q̇_L = 92,33 kW

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

Temperature assolute

T_H = 500 + 273,15 = 773,1 K

T₀ = 30 + 273,15 = 303,1 K

T_L = -20 + 273,15 = 253,1 K

Lavoro della macchina

η = 1 − 303,1/773,1 = 0,6079

Ẇ = 0,6079·30 = 18,24 kW

Calore sottratto dal frigorifero

COP_R = 253,1/(303,1 − 253,1) = 5,063

Q̇_L = 5,063·18,24 = 92,33 kW

Risposta

Q̇_L = 92,33 kW

7.Cicli termodinamici a gas

Risposta: q_in = 1060 kJ/kg

Ciclo Diesel (motore ad accensione per compressione): 1→2 compressione isoentropica, 2→3 introduzione di calore a pressione costante, 3→4 espansione isoentropica, 4→1 cessione di calore a volume costante. Con rapporto di compressione r = v₁/v₂ e rapporto di combustione r_c = v₃/v₂: T₂ = T₁·r^k−1, T₃ = r_c·T₂, q_in = c_p·(T₃ − T₂) e η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k·(r_c − 1)).

Temperature

T₂ = 290·16^0,4 = 879,1 K

T₃ = 2,2·879,1 = 1934 K

Calore fornito a pressione costante

q_in = 1,005·(1934 − 879,1) = 1060 kJ/kg

Risposta

q_in = 1060 kJ/kg

8.Cicli termodinamici a gas

Risposta: w_net = 147,8 kJ/kg

Ciclo Brayton (turbina a gas): 1→2 compressione isoentropica, 2→3 introduzione di calore a pressione costante, 3→4 espansione isoentropica in turbina, 4→1 cessione di calore a pressione costante. Con rapporto di compressione r_p = P₂/P₁: T₂ = T₁·r_p^(k−1)/k, T₄ = T₃/r_p^(k−1)/k e η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k. Lavoro netto w = c_p·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]. Con i rendimenti isoentropici, il compressore richiede w_s/η_c e la turbina fornisce η_t·w_s.

Temperature isoentropiche

T_2s = 300·15^0,2857 = 650,4 K

T_4s = 1100/15^0,2857 = 507,4 K

Lavoro del compressore e della turbina

w_c = 1,005·(650,4 − 300)/0,88 = 400,1 kJ/kg

w_t = 0,92·1,005·(1100 − 507,4) = 547,9 kJ/kg

Lavoro netto

w_net = 547,9 − 400,1 = 147,8 kJ/kg

Risposta

w_net = 147,8 kJ/kg

Rapporto dei lavori (back-work ratio): w_c/w_t = 73,03%.

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