Molle e pendoli
- Massa su una molla
- T = 2π·√(m/k)
- Pendolo
- T = 2π·√(L/g)
- Pulsazione
- ω = √(k/m) = 2π/T
- Velocità e accelerazione massime
- vmax = A·ω, amax = A·ω²
- Energia
- E = ½·k·A²
Onde e ottica: pacchetto last-minute
Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 4 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.
1Formule e metodi
Onde, suono e ottica
- Velocità dell’onda
- v = fλ, T = 1/f
- Corda
- v = √(T/μ), μ = m/L
- Livello sonoro
- β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
- Sorgente puntiforme
- I = P/(4πr²)
- Onde stazionarie
- corda o tubo aperto fn = n·v/(2L); tubo chiuso fn = n·v/(4L), n dispari
- Effetto Doppler
- f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
- Indice di rifrazione
- n = c/v, λ = λ0/n
- Legge di Snell
- n1sin θ1 = n2sin θ2
- Angolo critico
- sin θc = n2/n1
- Fibra ottica
- NA = sin θa = √(n1² − n2²)
- Lenti e specchi
- 1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
- Doppia fenditura
- d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
- Reticolo
- d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
- Fenditura singola
- a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a
Metodo
- Individua il tipo di problema: velocità dell’onda, livello sonoro, onda stazionaria, Doppler, rifrazione, lente o specchio, oppure interferenza.
- Scrivi prima la relazione: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) oppure n·v/(4L), f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
- Converti le unità: nm, mm e cm in m, e controlla se gli angoli sono misurati dalla normale.
- Controlla segni e plausibilità: un’immagine virtuale ha dᵢ < 0, una sorgente che si avvicina suona più acuta, un tubo chiuso ha solo armoniche dispari.
2Esercizi
1.Molle e pendoliMedia
Una massa di 3,5 kg attaccata a una molla con k = 220 N/m oscilla su una superficie priva di attrito con un’ampiezza di 20 cm. Trova la sua velocità v quando si trova a 10 cm dall’equilibrio.
m = 3,5 kgk = 220 N/mA = 20 cmx = 10 cm
v = m/s
2.Molle e pendoliDifficile
Una massa di 0,7 kg viene attaccata all’estremità inferiore di una molla verticale non allungata con k = 290 N/m e lasciata da ferma. Usa g = 9,81 m/s². Trova la velocità massima vmax della massa.
m = 0,7 kgk = 290 N/mg = 9,81 m/s²
vmax = m/s
3.Onde, suono e otticaMedia
Un oggetto si trova a 25 cm davanti a una lente sottile convergente con distanza focale di 8 cm. Trova la distanza dell’immagine di. Usa la convenzione dei segni 1/f = 1/do + 1/di (f < 0 per una lente divergente, di < 0 per un’immagine virtuale).
do = 25 cmf = 8 cm
di = cm
4.Onde, suono e otticaDifficile
Due fenditure distanti 0,15 mm sono illuminate con luce monocromatica. Su uno schermo a 1,5 m, la frangia luminosa numero 1 si trova a 5,5 mm dalla frangia centrale. Trova la lunghezza d’onda λ.
d = 0,15 mmL = 1,5 my1 = 5,5 mmm = 1
λ = nm
3Soluzioni
1.Molle e pendoli
Risposta: v = 1,373 m/s
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Pulsazione
ω = √(220/3,5) = 7,928 rad/s
Velocità in x
v = ω·√(A² − x²) = 7,928·√(0,2² − 0,1²) = 1,373 m/s
Risposta
v = 1,373 m/s
2.Molle e pendoli
Risposta: vmax = 0,482 m/s
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Equilibrio e ampiezza
x₀ = m·g/k = 0,7·9,81/290 = 0,02368 m = A
Velocità massima
La velocità è massima nella posizione di equilibrio.
ω = √(290/0,7) = 20,35 rad/s
vmax = A·ω = 0,02368·20,35 = 0,482 m/s
Risposta
vmax = 0,482 m/s
3.Onde, suono e ottica
Risposta: di = 11,76 cm
Ottica geometrica: su una superficie di separazione, n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (legge di Snell), con gli angoli misurati dalla normale e n = c/v. Passando in un mezzo più lento il raggio si avvicina alla normale. Da un mezzo più denso (n₁ > n₂) oltre l’angolo critico θc = arcsin(n₂/n₁) tutta la luce viene riflessa: riflessione totale interna. Le lenti sottili e gli specchi sferici obbediscono a 1/f = 1/do + 1/di con l’ingrandimento m = −di/do. Convenzione dei segni: f > 0 per una lente convergente e uno specchio concavo (f = R/2), f < 0 per una lente divergente e uno specchio convesso; di > 0 per un’immagine reale, di < 0 per una virtuale, e m < 0 per un’immagine capovolta.
Equazione delle lenti sottili
1/di = 1/f − 1/do = 1/8 − 1/25
di = 11,76 cm
Diagramma dei raggi
reale, dal lato opposto della lente
Risposta
di = 11,76 cm
4.Onde, suono e ottica
Risposta: λ = 550 nm
Interferenza e diffrazione: la luce proveniente da due fenditure a distanza d raggiunge un punto dello schermo con una differenza di cammino d·sin θ. Le frange luminose compaiono dove d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Per uno schermo a distanza L ≫ d, la m-esima frangia luminosa si trova in y = mλL/d e la distanza tra le frange è Δy = λL/d. Un reticolo con N linee per millimetro ha d = 1/N e massimi nitidi in d·sin θ = mλ; poiché sin θ ≤ 1, l’ordine massimo è il più grande intero m ≤ d/λ. Una fenditura singola di larghezza a ha frange scure in a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …
Lunghezza d’onda
λ = y·d/(mL) = 0,0055·0,00015/(1·1,5) = 5,5 × 10⁻⁷ m = 550 nm
Risposta
λ = 550 nm
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