Molle e pendoli
- Massa su una molla
- T = 2π·√(m/k)
- Pendolo
- T = 2π·√(L/g)
- Pulsazione
- ω = √(k/m) = 2π/T
- Velocità e accelerazione massime
- vmax = A·ω, amax = A·ω²
- Energia
- E = ½·k·A²
Onde e ottica: pacchetto last-minute
Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 4 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.
1Formule e metodi
Onde, suono e ottica
- Velocità dell’onda
- v = fλ, T = 1/f
- Corda
- v = √(T/μ), μ = m/L
- Livello sonoro
- β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
- Sorgente puntiforme
- I = P/(4πr²)
- Onde stazionarie
- corda o tubo aperto fn = n·v/(2L); tubo chiuso fn = n·v/(4L), n dispari
- Effetto Doppler
- f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
- Indice di rifrazione
- n = c/v, λ = λ0/n
- Legge di Snell
- n1sin θ1 = n2sin θ2
- Angolo critico
- sin θc = n2/n1
- Fibra ottica
- NA = sin θa = √(n1² − n2²)
- Lenti e specchi
- 1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
- Doppia fenditura
- d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
- Reticolo
- d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
- Fenditura singola
- a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a
Metodo
- Individua il tipo di problema: velocità dell’onda, livello sonoro, onda stazionaria, Doppler, rifrazione, lente o specchio, oppure interferenza.
- Scrivi prima la relazione: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) oppure n·v/(4L), f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
- Converti le unità: nm, mm e cm in m, e controlla se gli angoli sono misurati dalla normale.
- Controlla segni e plausibilità: un’immagine virtuale ha dᵢ < 0, una sorgente che si avvicina suona più acuta, un tubo chiuso ha solo armoniche dispari.
2Esercizi
1.Molle e pendoliMedia
Un astronauta su un altro pianeta trova che un pendolo semplice lungo 1,7 m ha un periodo di 1,65 s per piccole oscillazioni. Trova l’accelerazione di gravità g su quel pianeta.
L = 1,7 mT = 1,65 s
g = m/s²
2.Molle e pendoliDifficile
Una massa attaccata a una molla con k = 70 N/m oscilla su una superficie priva di attrito con un’ampiezza di 10 cm. Trova la sua energia cinetica K quando si trova a 5 cm dall’equilibrio.
k = 70 N/mA = 10 cmx = 5 cm
K = J
3.Onde, suono e otticaMedia
Un oggetto si trova a 4 cm davanti a una lente sottile divergente con distanza focale di 30 cm. Trova l’ingrandimento m (negativo per un’immagine capovolta).
do = 4 cmf = −30 cm
m =
4.Onde, suono e otticaDifficile
Luce di lunghezza d’onda 450 nm attraversa una fenditura singola larga 0,2 mm. Trova la larghezza w del massimo luminoso centrale su uno schermo a 1 m (tra le prime frange scure da entrambi i lati).
λ = 450 nma = 0,2 mmL = 1 m
w = mm
3Soluzioni
1.Molle e pendoli
Risposta: g = 24,65 m/s²
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Ricava g
g = 4π²·L/T² = 4π²·1,7/1,65² = 24,65 m/s²
Risposta
g = 24,65 m/s²
2.Molle e pendoli
Risposta: K = 0,2625 J
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Energia totale
E = ½·k·A² = ½·70·0,1² = 0,35 J
Energia della molla in x
U = ½·k·x² = ½·70·0,05² = 0,0875 J
Energia cinetica
K = 0,35 − 0,0875 = 0,2625 J
Risposta
K = 0,2625 J
3.Onde, suono e ottica
Risposta: m = 0,8824
Ottica geometrica: su una superficie di separazione, n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (legge di Snell), con gli angoli misurati dalla normale e n = c/v. Passando in un mezzo più lento il raggio si avvicina alla normale. Da un mezzo più denso (n₁ > n₂) oltre l’angolo critico θc = arcsin(n₂/n₁) tutta la luce viene riflessa: riflessione totale interna. Le lenti sottili e gli specchi sferici obbediscono a 1/f = 1/do + 1/di con l’ingrandimento m = −di/do. Convenzione dei segni: f > 0 per una lente convergente e uno specchio concavo (f = R/2), f < 0 per una lente divergente e uno specchio convesso; di > 0 per un’immagine reale, di < 0 per una virtuale, e m < 0 per un’immagine capovolta.
Equazione delle lenti sottili
1/di = 1/f − 1/do = 1/(−30) − 1/4
di = −3,529 cm
Ingrandimento
m = −di/do = −(−3,529)/4 = 0,8824
Risposta
m = 0,8824
4.Onde, suono e ottica
Risposta: w = 4,5 mm
Interferenza e diffrazione: la luce proveniente da due fenditure a distanza d raggiunge un punto dello schermo con una differenza di cammino d·sin θ. Le frange luminose compaiono dove d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Per uno schermo a distanza L ≫ d, la m-esima frangia luminosa si trova in y = mλL/d e la distanza tra le frange è Δy = λL/d. Un reticolo con N linee per millimetro ha d = 1/N e massimi nitidi in d·sin θ = mλ; poiché sin θ ≤ 1, l’ordine massimo è il più grande intero m ≤ d/λ. Una fenditura singola di larghezza a ha frange scure in a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …
Prima frangia scura
y₁ = λL/a = 450 × 10⁻⁹·1/(0,2 × 10⁻³) = 2,25 mm
Larghezza del massimo centrale
w = 2y₁ = 4,5 mm
Risposta
w = 4,5 mm
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