Molle e pendoli
- Massa su una molla
- T = 2π·√(m/k)
- Pendolo
- T = 2π·√(L/g)
- Pulsazione
- ω = √(k/m) = 2π/T
- Velocità e accelerazione massime
- vmax = A·ω, amax = A·ω²
- Energia
- E = ½·k·A²
Onde e ottica: pacchetto last-minute
Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 4 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.
1Formule e metodi
Onde, suono e ottica
- Velocità dell’onda
- v = fλ, T = 1/f
- Corda
- v = √(T/μ), μ = m/L
- Livello sonoro
- β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
- Sorgente puntiforme
- I = P/(4πr²)
- Onde stazionarie
- corda o tubo aperto fn = n·v/(2L); tubo chiuso fn = n·v/(4L), n dispari
- Effetto Doppler
- f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
- Indice di rifrazione
- n = c/v, λ = λ0/n
- Legge di Snell
- n1sin θ1 = n2sin θ2
- Angolo critico
- sin θc = n2/n1
- Fibra ottica
- NA = sin θa = √(n1² − n2²)
- Lenti e specchi
- 1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
- Doppia fenditura
- d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
- Reticolo
- d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
- Fenditura singola
- a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a
Metodo
- Individua il tipo di problema: velocità dell’onda, livello sonoro, onda stazionaria, Doppler, rifrazione, lente o specchio, oppure interferenza.
- Scrivi prima la relazione: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) oppure n·v/(4L), f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
- Converti le unità: nm, mm e cm in m, e controlla se gli angoli sono misurati dalla normale.
- Controlla segni e plausibilità: un’immagine virtuale ha dᵢ < 0, una sorgente che si avvicina suona più acuta, un tubo chiuso ha solo armoniche dispari.
2Esercizi
1.Molle e pendoliMedia
Una massa di 1,8 kg attaccata a una molla con k = 330 N/m viene spostata di 13 cm nel verso positivo e lasciata da ferma a t = 0. Trova il suo spostamento x dall’equilibrio a t = 1,15 s (con segno).
m = 1,8 kgk = 330 N/mA = 13 cmt = 1,15 s
x = cm
2.Molle e pendoliDifficile
Una massa di 3 kg viene attaccata all’estremità inferiore di una molla verticale non allungata con k = 450 N/m e lasciata da ferma. Usa g = 9,81 m/s². Trova l’allungamento massimo xmax della molla in cm.
m = 3 kgk = 450 N/mg = 9,81 m/s²
xmax = cm
3.Onde, suono e otticaMedia
Una sorgente di 500 Hz che si muove a 30 m/s e un osservatore che si muove a 20 m/s si allontanano l’uno dall’altra. La velocità del suono è 343 m/s. Trova la frequenza f′ percepita dall’osservatore.
f = 500 Hzv = 343 m/svs = 30 m/svo = 20 m/s
f′ = Hz
4.Onde, suono e otticaDifficile
Un reticolo con 800 linee per millimetro mostra il massimo di ordine 2 di una riga spettrale a 70,5° dalla direzione di passaggio diretto. Trova la lunghezza d’onda λ della riga.
N = 800 mm⁻¹θ2 = 70,5°m = 2
λ = nm
3Soluzioni
1.Molle e pendoli
Risposta: x = −12,88 cm
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Pulsazione
ω = √(330/1,8) = 13,54 rad/s
ω·t = 13,54·1,15 = 15,57 rad
Spostamento
x = A·cos(ω·t) = 13·cos(15,57) = −12,88 cm
Risposta
x = −12,88 cm
2.Molle e pendoli
Risposta: xmax = 13,08 cm
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Equilibrio e ampiezza
x₀ = m·g/k = 3·9,81/450 = 0,0654 m = A
Punto più basso
xmax = 2A = 0,1308 m = 13,08 cm
Risposta
xmax = 13,08 cm
3.Onde, suono e ottica
Risposta: f′ = 433 Hz
Onde stazionarie ed effetto Doppler: una corda fissata a entrambe le estremità, o un tubo aperto a entrambe le estremità, contiene un numero intero di semilunghezze d’onda: L = nλ/2, fn = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … Un tubo chiuso a un’estremità ha un nodo all’estremità chiusa e un ventre a quella aperta: L = nλ/4 con n solo dispari, fn = n·v/(4L). Quando sorgente o osservatore si muovono lungo la retta che li unisce, f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs): usa i segni superiori per il moto di avvicinamento. Due onde di frequenza quasi uguale producono battimenti alla frequenza |f₁ − f₂|.
Formula dell’effetto Doppler
f′ = f·(v − vo)/(v + vs) = 500·(343 − 20)/(343 + 30)
f′ = 433 Hz
Risposta
f′ = 433 Hz
4.Onde, suono e ottica
Risposta: λ = 589,2 nm
Interferenza e diffrazione: la luce proveniente da due fenditure a distanza d raggiunge un punto dello schermo con una differenza di cammino d·sin θ. Le frange luminose compaiono dove d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Per uno schermo a distanza L ≫ d, la m-esima frangia luminosa si trova in y = mλL/d e la distanza tra le frange è Δy = λL/d. Un reticolo con N linee per millimetro ha d = 1/N e massimi nitidi in d·sin θ = mλ; poiché sin θ ≤ 1, l’ordine massimo è il più grande intero m ≤ d/λ. Una fenditura singola di larghezza a ha frange scure in a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …
Lunghezza d’onda
λ = d·sin θ/m = 1,25 × 10⁻⁶·sin 70,5°/2 = 589,2 nm
Risposta
λ = 589,2 nm
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