Molle e pendoli
- Massa su una molla
- T = 2π·√(m/k)
- Pendolo
- T = 2π·√(L/g)
- Pulsazione
- ω = √(k/m) = 2π/T
- Velocità e accelerazione massime
- vmax = A·ω, amax = A·ω²
- Energia
- E = ½·k·A²
Onde e ottica: pacchetto last-minute
Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 4 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.
1Formule e metodi
Onde, suono e ottica
- Velocità dell’onda
- v = fλ, T = 1/f
- Corda
- v = √(T/μ), μ = m/L
- Livello sonoro
- β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
- Sorgente puntiforme
- I = P/(4πr²)
- Onde stazionarie
- corda o tubo aperto fn = n·v/(2L); tubo chiuso fn = n·v/(4L), n dispari
- Effetto Doppler
- f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
- Indice di rifrazione
- n = c/v, λ = λ0/n
- Legge di Snell
- n1sin θ1 = n2sin θ2
- Angolo critico
- sin θc = n2/n1
- Fibra ottica
- NA = sin θa = √(n1² − n2²)
- Lenti e specchi
- 1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
- Doppia fenditura
- d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
- Reticolo
- d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
- Fenditura singola
- a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a
Metodo
- Individua il tipo di problema: velocità dell’onda, livello sonoro, onda stazionaria, Doppler, rifrazione, lente o specchio, oppure interferenza.
- Scrivi prima la relazione: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) oppure n·v/(4L), f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
- Converti le unità: nm, mm e cm in m, e controlla se gli angoli sono misurati dalla normale.
- Controlla segni e plausibilità: un’immagine virtuale ha dᵢ < 0, una sorgente che si avvicina suona più acuta, un tubo chiuso ha solo armoniche dispari.
2Esercizi
1.Molle e pendoliMedia
Un astronauta su un altro pianeta trova che un pendolo semplice lungo 1,3 m ha un periodo di 3,72 s per piccole oscillazioni. Trova l’accelerazione di gravità g su quel pianeta.
L = 1,3 mT = 3,72 s
g = m/s²
2.Molle e pendoliDifficile
Una massa attaccata a una molla con k = 370 N/m oscilla su una superficie priva di attrito con un’ampiezza di 9 cm. Trova la sua energia cinetica K quando si trova a 8 cm dall’equilibrio.
k = 370 N/mA = 9 cmx = 8 cm
K = J
3.Onde, suono e otticaMedia
Un osservatore si muove a 20 m/s verso una sorgente ferma di 600 Hz. La velocità del suono è 343 m/s. Trova la frequenza f′ percepita dall’osservatore.
f = 600 Hzv = 343 m/svo = 20 m/s
f′ = Hz
4.Onde, suono e otticaDifficile
Una fibra ottica ha un nucleo con n₁ = 1,48 e un mantello con n₂ = 1,47. Trova il massimo angolo θa rispetto all’asse della fibra con cui la luce proveniente dall’aria può entrare nell’estremità della fibra ed essere ancora guidata dalla riflessione totale interna.
n1 = 1,48n2 = 1,47n0 = 1,00
θa = °
3Soluzioni
1.Molle e pendoli
Risposta: g = 3,709 m/s²
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Ricava g
g = 4π²·L/T² = 4π²·1,3/3,72² = 3,709 m/s²
Risposta
g = 3,709 m/s²
2.Molle e pendoli
Risposta: K = 0,3145 J
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Energia totale
E = ½·k·A² = ½·370·0,09² = 1,498 J
Energia della molla in x
U = ½·k·x² = ½·370·0,08² = 1,184 J
Energia cinetica
K = 1,498 − 1,184 = 0,3145 J
Risposta
K = 0,3145 J
3.Onde, suono e ottica
Risposta: f′ = 635 Hz
Onde stazionarie ed effetto Doppler: una corda fissata a entrambe le estremità, o un tubo aperto a entrambe le estremità, contiene un numero intero di semilunghezze d’onda: L = nλ/2, fn = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … Un tubo chiuso a un’estremità ha un nodo all’estremità chiusa e un ventre a quella aperta: L = nλ/4 con n solo dispari, fn = n·v/(4L). Quando sorgente o osservatore si muovono lungo la retta che li unisce, f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs): usa i segni superiori per il moto di avvicinamento. Due onde di frequenza quasi uguale producono battimenti alla frequenza |f₁ − f₂|.
Formula dell’effetto Doppler
f′ = f·(v + vo)/(v − vs) = 600·(343 + 20)/(343 − 0)
f′ = 635 Hz
Risposta
f′ = 635 Hz
4.Onde, suono e ottica
Risposta: θa = 9,89 °
Ottica geometrica: su una superficie di separazione, n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (legge di Snell), con gli angoli misurati dalla normale e n = c/v. Passando in un mezzo più lento il raggio si avvicina alla normale. Da un mezzo più denso (n₁ > n₂) oltre l’angolo critico θc = arcsin(n₂/n₁) tutta la luce viene riflessa: riflessione totale interna. Le lenti sottili e gli specchi sferici obbediscono a 1/f = 1/do + 1/di con l’ingrandimento m = −di/do. Convenzione dei segni: f > 0 per una lente convergente e uno specchio concavo (f = R/2), f < 0 per una lente divergente e uno specchio convesso; di > 0 per un’immagine reale, di < 0 per una virtuale, e m < 0 per un’immagine capovolta.
Angolo critico sul mantello
sin θc = 1,47/1,48 = 0,9932 → θc = 83,34°
Apertura numerica
NA = √(1,48² − 1,47²) = 0,1718
Angolo di accettazione
θa = arcsin(0,1718) = 9,89°
Risposta
θa = 9,89°
ExamProblems · examproblems.com/courses/waves-and-optics