Molle e pendoli
- Massa su una molla
- T = 2π·√(m/k)
- Pendolo
- T = 2π·√(L/g)
- Pulsazione
- ω = √(k/m) = 2π/T
- Velocità e accelerazione massime
- vmax = A·ω, amax = A·ω²
- Energia
- E = ½·k·A²
Onde e ottica: pacchetto last-minute
Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 4 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.
1Formule e metodi
Onde, suono e ottica
- Velocità dell’onda
- v = fλ, T = 1/f
- Corda
- v = √(T/μ), μ = m/L
- Livello sonoro
- β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
- Sorgente puntiforme
- I = P/(4πr²)
- Onde stazionarie
- corda o tubo aperto fn = n·v/(2L); tubo chiuso fn = n·v/(4L), n dispari
- Effetto Doppler
- f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
- Indice di rifrazione
- n = c/v, λ = λ0/n
- Legge di Snell
- n1sin θ1 = n2sin θ2
- Angolo critico
- sin θc = n2/n1
- Fibra ottica
- NA = sin θa = √(n1² − n2²)
- Lenti e specchi
- 1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
- Doppia fenditura
- d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
- Reticolo
- d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
- Fenditura singola
- a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a
Metodo
- Individua il tipo di problema: velocità dell’onda, livello sonoro, onda stazionaria, Doppler, rifrazione, lente o specchio, oppure interferenza.
- Scrivi prima la relazione: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) oppure n·v/(4L), f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
- Converti le unità: nm, mm e cm in m, e controlla se gli angoli sono misurati dalla normale.
- Controlla segni e plausibilità: un’immagine virtuale ha dᵢ < 0, una sorgente che si avvicina suona più acuta, un tubo chiuso ha solo armoniche dispari.
2Esercizi
1.Molle e pendoliMedia
Una massa di 1,9 kg attaccata a una molla con k = 330 N/m viene spostata di 14 cm nel verso positivo e lasciata da ferma a t = 0. Trova la sua velocità v a t = 1,2 s (con segno).
m = 1,9 kgk = 330 N/mA = 14 cmt = 1,2 s
v = m/s
2.Molle e pendoliDifficile
Un corpo oscilla di moto armonico semplice con periodo 0,5 s e ampiezza 8 cm. Qual è il tempo minimo t che gli serve per passare dall’equilibrio a uno spostamento di 6 cm?
T = 0,5 sA = 8 cmx = 6 cm
t = s
3.Onde, suono e otticaMedia
Un oggetto si trova a 12 cm davanti a una lente sottile divergente con distanza focale di 20 cm. Trova l’ingrandimento m (negativo per un’immagine capovolta).
do = 12 cmf = −20 cm
m =
4.Onde, suono e otticaDifficile
Una fibra ottica ha un nucleo con n₁ = 1,48 e un mantello con n₂ = 1,43. Trova il massimo angolo θa rispetto all’asse della fibra con cui la luce proveniente dall’aria può entrare nell’estremità della fibra ed essere ancora guidata dalla riflessione totale interna.
n1 = 1,48n2 = 1,43n0 = 1,00
θa = °
3Soluzioni
1.Molle e pendoli
Risposta: v = 0,1966 m/s
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Pulsazione
ω = √(330/1,9) = 13,18 rad/s
ω·t = 13,18·1,2 = 15,81 rad
Velocità
v = −A·ω·sin(ω·t) = −0,14·13,18·sin(15,81) = 0,1966 m/s
Risposta
v = 0,1966 m/s
2.Molle e pendoli
Risposta: t = 0,06749 s
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Pulsazione
ω = 2π/T = 2π/0,5 = 12,57 rad/s
Risolvi per il tempo
0,75 = sin(ω·t) → ω·t = arcsin(0,75) = 0,8481 rad
t = 0,8481/12,57 = 0,06749 s
Risposta
t = 0,06749 s
3.Onde, suono e ottica
Risposta: m = 0,625
Ottica geometrica: su una superficie di separazione, n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (legge di Snell), con gli angoli misurati dalla normale e n = c/v. Passando in un mezzo più lento il raggio si avvicina alla normale. Da un mezzo più denso (n₁ > n₂) oltre l’angolo critico θc = arcsin(n₂/n₁) tutta la luce viene riflessa: riflessione totale interna. Le lenti sottili e gli specchi sferici obbediscono a 1/f = 1/do + 1/di con l’ingrandimento m = −di/do. Convenzione dei segni: f > 0 per una lente convergente e uno specchio concavo (f = R/2), f < 0 per una lente divergente e uno specchio convesso; di > 0 per un’immagine reale, di < 0 per una virtuale, e m < 0 per un’immagine capovolta.
Equazione delle lenti sottili
1/di = 1/f − 1/do = 1/(−20) − 1/12
di = −7,5 cm
Ingrandimento
m = −di/do = −(−7,5)/12 = 0,625
Risposta
m = 0,625
4.Onde, suono e ottica
Risposta: θa = 22,42 °
Ottica geometrica: su una superficie di separazione, n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (legge di Snell), con gli angoli misurati dalla normale e n = c/v. Passando in un mezzo più lento il raggio si avvicina alla normale. Da un mezzo più denso (n₁ > n₂) oltre l’angolo critico θc = arcsin(n₂/n₁) tutta la luce viene riflessa: riflessione totale interna. Le lenti sottili e gli specchi sferici obbediscono a 1/f = 1/do + 1/di con l’ingrandimento m = −di/do. Convenzione dei segni: f > 0 per una lente convergente e uno specchio concavo (f = R/2), f < 0 per una lente divergente e uno specchio convesso; di > 0 per un’immagine reale, di < 0 per una virtuale, e m < 0 per un’immagine capovolta.
Angolo critico sul mantello
sin θc = 1,43/1,48 = 0,9662 → θc = 75,06°
Apertura numerica
NA = √(1,48² − 1,43²) = 0,3814
Angolo di accettazione
θa = arcsin(0,3814) = 22,42°
Risposta
θa = 22,42°
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