Molle e pendoli
- Massa su una molla
- T = 2π·√(m/k)
- Pendolo
- T = 2π·√(L/g)
- Pulsazione
- ω = √(k/m) = 2π/T
- Velocità e accelerazione massime
- vmax = A·ω, amax = A·ω²
- Energia
- E = ½·k·A²
Onde e ottica: pacchetto last-minute
Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 4 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.
1Formule e metodi
Onde, suono e ottica
- Velocità dell’onda
- v = fλ, T = 1/f
- Corda
- v = √(T/μ), μ = m/L
- Livello sonoro
- β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
- Sorgente puntiforme
- I = P/(4πr²)
- Onde stazionarie
- corda o tubo aperto fn = n·v/(2L); tubo chiuso fn = n·v/(4L), n dispari
- Effetto Doppler
- f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
- Indice di rifrazione
- n = c/v, λ = λ0/n
- Legge di Snell
- n1sin θ1 = n2sin θ2
- Angolo critico
- sin θc = n2/n1
- Fibra ottica
- NA = sin θa = √(n1² − n2²)
- Lenti e specchi
- 1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
- Doppia fenditura
- d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
- Reticolo
- d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
- Fenditura singola
- a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a
Metodo
- Individua il tipo di problema: velocità dell’onda, livello sonoro, onda stazionaria, Doppler, rifrazione, lente o specchio, oppure interferenza.
- Scrivi prima la relazione: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) oppure n·v/(4L), f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
- Converti le unità: nm, mm e cm in m, e controlla se gli angoli sono misurati dalla normale.
- Controlla segni e plausibilità: un’immagine virtuale ha dᵢ < 0, una sorgente che si avvicina suona più acuta, un tubo chiuso ha solo armoniche dispari.
2Esercizi
1.Molle e pendoliMedia
Un pendolo semplice ha una lunghezza di 1,7 m. Usa g = 9,81 m/s². Trova il suo periodo T per piccole oscillazioni.
L = 1,7 mg = 9,81 m/s²
T = s
2.Molle e pendoliDifficile
Una massa di 1,4 kg viene attaccata all’estremità inferiore di una molla verticale non allungata con k = 120 N/m e lasciata da ferma. Usa g = 9,81 m/s². Trova l’allungamento massimo xmax della molla in cm.
m = 1,4 kgk = 120 N/mg = 9,81 m/s²
xmax = cm
3.Onde, suono e otticaMedia
Una piccola sorgente emette suono in modo uguale in tutte le direzioni. Il livello è 80 dB a 5 m da essa. Trova il livello β2 a 50 m, trascurando assorbimento e riflessioni.
β1 = 80 dBr1 = 5 mr2 = 50 m
β2 = dB
4.Onde, suono e otticaDifficile
Un reticolo con 800 linee per millimetro mostra il massimo di ordine 1 di una riga spettrale a 26,1° dalla direzione di passaggio diretto. Trova la lunghezza d’onda λ della riga.
N = 800 mm⁻¹θ1 = 26,1°m = 1
λ = nm
3Soluzioni
1.Molle e pendoli
Risposta: T = 2,616 s
Moto armonico semplice: una massa m su una molla di costante elastica k oscilla con pulsazione ω = √(k/m) e periodo T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Un pendolo semplice di lunghezza L ha T = 2π·√(L/g). Con ampiezza A, la velocità massima è A·ω, l’accelerazione massima A·ω² e l’energia ½·k·A².
Periodo del pendolo
T = 2π·√(1,7/9,81) = 2,616 s
Risposta
T = 2,616 s
2.Molle e pendoli
Risposta: xmax = 22,89 cm
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Equilibrio e ampiezza
x₀ = m·g/k = 1,4·9,81/120 = 0,1144 m = A
Punto più basso
xmax = 2A = 0,2289 m = 22,89 cm
Risposta
xmax = 22,89 cm
3.Onde, suono e ottica
Risposta: β2 = 60 dB
Onde: un’onda periodica avanza di una lunghezza d’onda in un periodo, quindi v = fλ con T = 1/f. Su una corda tesa v = √(T/μ), con T la tensione e μ = m/L la massa per metro. Il suono nell’aria viaggia a circa 343 m/s a 20 °C, la luce nel vuoto a c = 3,00 × 10⁸ m/s. La sonorità si misura su una scala logaritmica: β = 10·log₁₀(I/I₀) dB con I₀ = 10⁻¹² W/m², quindi un’intensità 10 volte maggiore aggiunge 10 dB. Una sorgente puntiforme distribuisce la sua potenza P su una sfera: I = P/(4πr²).
Rapporto delle intensità
I₂/I₁ = (5/50)² = 0,01
Nuovo livello
β₂ = 80 + 10·log₁₀(0,01) = 60 dB
Risposta
β2 = 60 dB
Ogni raddoppio della distanza abbassa il livello di circa 6 dB.
4.Onde, suono e ottica
Risposta: λ = 549,9 nm
Interferenza e diffrazione: la luce proveniente da due fenditure a distanza d raggiunge un punto dello schermo con una differenza di cammino d·sin θ. Le frange luminose compaiono dove d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Per uno schermo a distanza L ≫ d, la m-esima frangia luminosa si trova in y = mλL/d e la distanza tra le frange è Δy = λL/d. Un reticolo con N linee per millimetro ha d = 1/N e massimi nitidi in d·sin θ = mλ; poiché sin θ ≤ 1, l’ordine massimo è il più grande intero m ≤ d/λ. Una fenditura singola di larghezza a ha frange scure in a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …
Lunghezza d’onda
λ = d·sin θ/m = 1,25 × 10⁻⁶·sin 26,1°/1 = 549,9 nm
Risposta
λ = 549,9 nm
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