Molle e pendoli
- Massa su una molla
- T = 2π·√(m/k)
- Pendolo
- T = 2π·√(L/g)
- Pulsazione
- ω = √(k/m) = 2π/T
- Velocità e accelerazione massime
- vmax = A·ω, amax = A·ω²
- Energia
- E = ½·k·A²
Onde e ottica: pacchetto last-minute
Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 4 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.
1Formule e metodi
Onde, suono e ottica
- Velocità dell’onda
- v = fλ, T = 1/f
- Corda
- v = √(T/μ), μ = m/L
- Livello sonoro
- β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
- Sorgente puntiforme
- I = P/(4πr²)
- Onde stazionarie
- corda o tubo aperto fn = n·v/(2L); tubo chiuso fn = n·v/(4L), n dispari
- Effetto Doppler
- f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
- Indice di rifrazione
- n = c/v, λ = λ0/n
- Legge di Snell
- n1sin θ1 = n2sin θ2
- Angolo critico
- sin θc = n2/n1
- Fibra ottica
- NA = sin θa = √(n1² − n2²)
- Lenti e specchi
- 1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
- Doppia fenditura
- d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
- Reticolo
- d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
- Fenditura singola
- a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a
Metodo
- Individua il tipo di problema: velocità dell’onda, livello sonoro, onda stazionaria, Doppler, rifrazione, lente o specchio, oppure interferenza.
- Scrivi prima la relazione: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) oppure n·v/(4L), f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
- Converti le unità: nm, mm e cm in m, e controlla se gli angoli sono misurati dalla normale.
- Controlla segni e plausibilità: un’immagine virtuale ha dᵢ < 0, una sorgente che si avvicina suona più acuta, un tubo chiuso ha solo armoniche dispari.
2Esercizi
1.Molle e pendoliMedia
Una massa di 2,6 kg attaccata a una molla con k = 230 N/m viene spostata di 5 cm nel verso positivo e lasciata da ferma a t = 0. Trova il suo spostamento x dall’equilibrio a t = 1,45 s (con segno).
m = 2,6 kgk = 230 N/mA = 5 cmt = 1,45 s
x = cm
2.Molle e pendoliDifficile
Un proiettile di 15 g che viaggia a 400 m/s colpisce un blocco di 1,5 kg fermo su una superficie priva di attrito e vi resta conficcato. Il blocco è attaccato a una molla orizzontale con k = 900 N/m. Trova l’ampiezza A dell’oscillazione risultante in cm.
m = 15 gv = 400 m/sM = 1,5 kgk = 900 N/m
A = cm
3.Onde, suono e otticaMedia
Una piccola sorgente emette suono in modo uguale in tutte le direzioni. Il livello è 95 dB a 10 m da essa. Trova il livello β2 a 50 m, trascurando assorbimento e riflessioni.
β1 = 95 dBr1 = 10 mr2 = 50 m
β2 = dB
4.Onde, suono e otticaDifficile
Un sensore fermo invia ultrasuoni di 40 kHz verso un’auto che si avvicina a 10 m/s e miscela l’eco con il segnale emesso. Trova la frequenza di battimento fb (velocità del suono 343 m/s).
f = 40 kHzu = 10 m/sv = 343 m/s
fb = Hz
3Soluzioni
1.Molle e pendoli
Risposta: x = 2,394 cm
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Pulsazione
ω = √(230/2,6) = 9,405 rad/s
ω·t = 9,405·1,45 = 13,64 rad
Spostamento
x = A·cos(ω·t) = 5·cos(13,64) = 2,394 cm
Risposta
x = 2,394 cm
2.Molle e pendoli
Risposta: A = 16,25 cm
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Velocità dopo l’impatto
V = m·v/(m + M) = 0,015·400/1,515 = 3,96 m/s
Pulsazione
ω = √(k/(m + M)) = √(900/1,515) = 24,37 rad/s
Ampiezza
A = V/ω = 3,96/24,37 = 0,1625 m = 16,25 cm
Risposta
A = 16,25 cm
3.Onde, suono e ottica
Risposta: β2 = 81,02 dB
Onde: un’onda periodica avanza di una lunghezza d’onda in un periodo, quindi v = fλ con T = 1/f. Su una corda tesa v = √(T/μ), con T la tensione e μ = m/L la massa per metro. Il suono nell’aria viaggia a circa 343 m/s a 20 °C, la luce nel vuoto a c = 3,00 × 10⁸ m/s. La sonorità si misura su una scala logaritmica: β = 10·log₁₀(I/I₀) dB con I₀ = 10⁻¹² W/m², quindi un’intensità 10 volte maggiore aggiunge 10 dB. Una sorgente puntiforme distribuisce la sua potenza P su una sfera: I = P/(4πr²).
Rapporto delle intensità
I₂/I₁ = (10/50)² = 0,04
Nuovo livello
β₂ = 95 + 10·log₁₀(0,04) = 81,02 dB
Risposta
β2 = 81,02 dB
Ogni raddoppio della distanza abbassa il livello di circa 6 dB.
4.Onde, suono e ottica
Risposta: fb = 2402 Hz
Onde stazionarie ed effetto Doppler: una corda fissata a entrambe le estremità, o un tubo aperto a entrambe le estremità, contiene un numero intero di semilunghezze d’onda: L = nλ/2, fn = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … Un tubo chiuso a un’estremità ha un nodo all’estremità chiusa e un ventre a quella aperta: L = nλ/4 con n solo dispari, fn = n·v/(4L). Quando sorgente o osservatore si muovono lungo la retta che li unisce, f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs): usa i segni superiori per il moto di avvicinamento. Due onde di frequenza quasi uguale producono battimenti alla frequenza |f₁ − f₂|.
Frequenza all’auto
f′ = 40000·(343 + 10)/343 = 41166 Hz
Frequenza dell’eco
f″ = f′·343/(343 − 10) = 42402 Hz
Frequenza di battimento
fb = |f″ − f| = 2402 Hz
Risposta
fb = 2402 Hz
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