Molle e pendoli
- Massa su una molla
- T = 2π·√(m/k)
- Pendolo
- T = 2π·√(L/g)
- Pulsazione
- ω = √(k/m) = 2π/T
- Velocità e accelerazione massime
- vmax = A·ω, amax = A·ω²
- Energia
- E = ½·k·A²
Onde e ottica: pacchetto last-minute
Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 4 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.
1Formule e metodi
Onde, suono e ottica
- Velocità dell’onda
- v = fλ, T = 1/f
- Corda
- v = √(T/μ), μ = m/L
- Livello sonoro
- β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
- Sorgente puntiforme
- I = P/(4πr²)
- Onde stazionarie
- corda o tubo aperto fn = n·v/(2L); tubo chiuso fn = n·v/(4L), n dispari
- Effetto Doppler
- f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
- Indice di rifrazione
- n = c/v, λ = λ0/n
- Legge di Snell
- n1sin θ1 = n2sin θ2
- Angolo critico
- sin θc = n2/n1
- Fibra ottica
- NA = sin θa = √(n1² − n2²)
- Lenti e specchi
- 1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
- Doppia fenditura
- d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
- Reticolo
- d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
- Fenditura singola
- a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a
Metodo
- Individua il tipo di problema: velocità dell’onda, livello sonoro, onda stazionaria, Doppler, rifrazione, lente o specchio, oppure interferenza.
- Scrivi prima la relazione: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) oppure n·v/(4L), f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
- Converti le unità: nm, mm e cm in m, e controlla se gli angoli sono misurati dalla normale.
- Controlla segni e plausibilità: un’immagine virtuale ha dᵢ < 0, una sorgente che si avvicina suona più acuta, un tubo chiuso ha solo armoniche dispari.
2Esercizi
1.Molle e pendoliMedia
Quanto deve essere lungo un pendolo semplice per avere un periodo di 2,6 s? Usa g = 9,81 m/s². Trova L.
T = 2,6 sg = 9,81 m/s²
L = m
2.Molle e pendoliDifficile
Una massa di 2,9 kg viene attaccata all’estremità inferiore di una molla verticale non allungata con k = 440 N/m e lasciata da ferma. Usa g = 9,81 m/s². Trova la velocità massima vmax della massa.
m = 2,9 kgk = 440 N/mg = 9,81 m/s²
vmax = m/s
3.Onde, suono e otticaMedia
Una corda fissata a entrambe le estremità ha una lunghezza di 0,75 m; le onde si propagano su di essa a 200 m/s. Trova la frequenza f5 della sua armonica numero 5.
v = 200 m/sn = 5L = 0,75 m
f5 = Hz
4.Onde, suono e otticaDifficile
Luce di lunghezza d’onda 405 nm incide ad angolo retto su un reticolo con 800 linee per millimetro. Trova l’angolo θ2 del massimo di ordine 2.
N = 800 mm⁻¹λ = 405 nmm = 2
θ2 = °
3Soluzioni
1.Molle e pendoli
Risposta: L = 1,68 m
Moto armonico semplice: una massa m su una molla di costante elastica k oscilla con pulsazione ω = √(k/m) e periodo T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Un pendolo semplice di lunghezza L ha T = 2π·√(L/g). Con ampiezza A, la velocità massima è A·ω, l’accelerazione massima A·ω² e l’energia ½·k·A².
Ricava la lunghezza
L = g·(T/2π)² = 9,81·(2,6/2π)² = 1,68 m
Risposta
L = 1,68 m
2.Molle e pendoli
Risposta: vmax = 0,7964 m/s
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Equilibrio e ampiezza
x₀ = m·g/k = 2,9·9,81/440 = 0,06466 m = A
Velocità massima
La velocità è massima nella posizione di equilibrio.
ω = √(440/2,9) = 12,32 rad/s
vmax = A·ω = 0,06466·12,32 = 0,7964 m/s
Risposta
vmax = 0,7964 m/s
3.Onde, suono e ottica
Risposta: f5 = 666,7 Hz
Onde stazionarie ed effetto Doppler: una corda fissata a entrambe le estremità, o un tubo aperto a entrambe le estremità, contiene un numero intero di semilunghezze d’onda: L = nλ/2, fn = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … Un tubo chiuso a un’estremità ha un nodo all’estremità chiusa e un ventre a quella aperta: L = nλ/4 con n solo dispari, fn = n·v/(4L). Quando sorgente o osservatore si muovono lungo la retta che li unisce, f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs): usa i segni superiori per il moto di avvicinamento. Due onde di frequenza quasi uguale producono battimenti alla frequenza |f₁ − f₂|.
Lunghezza d’onda di questo modo
λ = 2L/n = 2·0,75/5 = 0,3 m
Frequenza
f = v/λ = 200/0,3 = 666,7 Hz
Risposta
f5 = 666,7 Hz
4.Onde, suono e ottica
Risposta: θ2 = 40,39 °
Interferenza e diffrazione: la luce proveniente da due fenditure a distanza d raggiunge un punto dello schermo con una differenza di cammino d·sin θ. Le frange luminose compaiono dove d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Per uno schermo a distanza L ≫ d, la m-esima frangia luminosa si trova in y = mλL/d e la distanza tra le frange è Δy = λL/d. Un reticolo con N linee per millimetro ha d = 1/N e massimi nitidi in d·sin θ = mλ; poiché sin θ ≤ 1, l’ordine massimo è il più grande intero m ≤ d/λ. Una fenditura singola di larghezza a ha frange scure in a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …
Distanza tra le linee
d = 1/800 mm = 1,25 × 10⁻⁶ m
Equazione del reticolo
sin θ = mλ/d = 2·405 × 10⁻⁹/(1,25 × 10⁻⁶) = 0,648
θ = 40,39°
Risposta
θ2 = 40,39°
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