Molle e pendoli
- Massa su una molla
- T = 2π·√(m/k)
- Pendolo
- T = 2π·√(L/g)
- Pulsazione
- ω = √(k/m) = 2π/T
- Velocità e accelerazione massime
- vmax = A·ω, amax = A·ω²
- Energia
- E = ½·k·A²
Onde e ottica: pacchetto last-minute
Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 4 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.
1Formule e metodi
Onde, suono e ottica
- Velocità dell’onda
- v = fλ, T = 1/f
- Corda
- v = √(T/μ), μ = m/L
- Livello sonoro
- β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
- Sorgente puntiforme
- I = P/(4πr²)
- Onde stazionarie
- corda o tubo aperto fn = n·v/(2L); tubo chiuso fn = n·v/(4L), n dispari
- Effetto Doppler
- f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
- Indice di rifrazione
- n = c/v, λ = λ0/n
- Legge di Snell
- n1sin θ1 = n2sin θ2
- Angolo critico
- sin θc = n2/n1
- Fibra ottica
- NA = sin θa = √(n1² − n2²)
- Lenti e specchi
- 1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
- Doppia fenditura
- d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
- Reticolo
- d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
- Fenditura singola
- a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a
Metodo
- Individua il tipo di problema: velocità dell’onda, livello sonoro, onda stazionaria, Doppler, rifrazione, lente o specchio, oppure interferenza.
- Scrivi prima la relazione: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) oppure n·v/(4L), f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
- Converti le unità: nm, mm e cm in m, e controlla se gli angoli sono misurati dalla normale.
- Controlla segni e plausibilità: un’immagine virtuale ha dᵢ < 0, una sorgente che si avvicina suona più acuta, un tubo chiuso ha solo armoniche dispari.
2Esercizi
1.Molle e pendoliMedia
Una massa di 2 kg attaccata a una molla con k = 360 N/m viene spostata di 5 cm nel verso positivo e lasciata da ferma a t = 0. Trova la sua velocità v a t = 0,5 s (con segno).
m = 2 kgk = 360 N/mA = 5 cmt = 0,5 s
v = m/s
2.Molle e pendoliDifficile
Un proiettile di 15 g che viaggia a 150 m/s colpisce un blocco di 0,5 kg fermo su una superficie priva di attrito e vi resta conficcato. Il blocco è attaccato a una molla orizzontale con k = 700 N/m. Trova l’ampiezza A dell’oscillazione risultante in cm.
m = 15 gv = 150 m/sM = 0,5 kgk = 700 N/m
A = cm
3.Onde, suono e otticaMedia
Una macchina dà un livello sonoro di 72 dB in un certo punto. Trova il livello β in quel punto quando funzionano contemporaneamente 5 macchine identiche (sorgenti incoerenti).
β1 = 72 dBn = 5
β = dB
4.Onde, suono e otticaDifficile
Due lenti sottili hanno lo stesso asse, a 10 cm di distanza: la lente 1 con f₁ = 5 cm e la lente 2 con f₂ = −10 cm. Un oggetto si trova a 18 cm davanti alla lente 1. Trova la posizione di2 dell’immagine finale misurata dalla lente 2 (positiva oltre la lente 2, convenzione reale = positivo).
f1 = 5 cmf2 = −10 cms = 10 cmdo = 18 cm
di2 = cm
3Soluzioni
1.Molle e pendoli
Risposta: v = −0,2766 m/s
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Pulsazione
ω = √(360/2) = 13,42 rad/s
ω·t = 13,42·0,5 = 6,708 rad
Velocità
v = −A·ω·sin(ω·t) = −0,05·13,42·sin(6,708) = −0,2766 m/s
Risposta
v = −0,2766 m/s
2.Molle e pendoli
Risposta: A = 11,85 cm
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Velocità dopo l’impatto
V = m·v/(m + M) = 0,015·150/0,515 = 4,369 m/s
Pulsazione
ω = √(k/(m + M)) = √(700/0,515) = 36,87 rad/s
Ampiezza
A = V/ω = 4,369/36,87 = 0,1185 m = 11,85 cm
Risposta
A = 11,85 cm
3.Onde, suono e ottica
Risposta: β = 78,99 dB
Onde: un’onda periodica avanza di una lunghezza d’onda in un periodo, quindi v = fλ con T = 1/f. Su una corda tesa v = √(T/μ), con T la tensione e μ = m/L la massa per metro. Il suono nell’aria viaggia a circa 343 m/s a 20 °C, la luce nel vuoto a c = 3,00 × 10⁸ m/s. La sonorità si misura su una scala logaritmica: β = 10·log₁₀(I/I₀) dB con I₀ = 10⁻¹² W/m², quindi un’intensità 10 volte maggiore aggiunge 10 dB. Una sorgente puntiforme distribuisce la sua potenza P su una sfera: I = P/(4πr²).
Intensità totale
I = 5·I₁
Livello
β = 72 + 10·log₁₀(5) = 78,99 dB
Risposta
β = 78,99 dB
4.Onde, suono e ottica
Risposta: di2 = −2,353 cm
Ottica geometrica: su una superficie di separazione, n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (legge di Snell), con gli angoli misurati dalla normale e n = c/v. Passando in un mezzo più lento il raggio si avvicina alla normale. Da un mezzo più denso (n₁ > n₂) oltre l’angolo critico θc = arcsin(n₂/n₁) tutta la luce viene riflessa: riflessione totale interna. Le lenti sottili e gli specchi sferici obbediscono a 1/f = 1/do + 1/di con l’ingrandimento m = −di/do. Convenzione dei segni: f > 0 per una lente convergente e uno specchio concavo (f = R/2), f < 0 per una lente divergente e uno specchio convesso; di > 0 per un’immagine reale, di < 0 per una virtuale, e m < 0 per un’immagine capovolta.
Immagine della lente 1
1/di1 = 1/5 − 1/18 → di1 = 6,923 cm
Oggetto per la lente 2
do2 = 10 − 6,923 = 3,077 cm
Immagine finale
1/di2 = 1/(−10) − 1/3,077 → di2 = −2,353 cm
Risposta
di2 = −2,353 cm
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