Onde e ottica: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 4 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Molle e pendoli

Massa su una molla: T = 2π·√(m/k)
Pendolo: T = 2π·√(L/g)
Pulsazione: ω = √(k/m) = 2π/T
Velocità e accelerazione massime: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Energia: E = ½·k·A²

Onde, suono e ottica

Velocità dell’onda: v = fλ, T = 1/f
Corda: v = √(T/μ), μ = m/L
Livello sonoro: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Sorgente puntiforme: I = P/(4πr²)
Onde stazionarie: corda o tubo aperto f_n = n·v/(2L); tubo chiuso f_n = n·v/(4L), n dispari
Effetto Doppler: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Indice di rifrazione: n = c/v, λ = λ₀/n
Legge di Snell: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Angolo critico: sin θ_c = n₂/n₁
Fibra ottica: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Lenti e specchi: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Doppia fenditura: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Reticolo: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Fenditura singola: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Metodo

Individua il tipo di problema: velocità dell’onda, livello sonoro, onda stazionaria, Doppler, rifrazione, lente o specchio, oppure interferenza.
Scrivi prima la relazione: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) oppure n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Converti le unità: nm, mm e cm in m, e controlla se gli angoli sono misurati dalla normale.
Controlla segni e plausibilità: un’immagine virtuale ha dᵢ < 0, una sorgente che si avvicina suona più acuta, un tubo chiuso ha solo armoniche dispari.

2Esercizi

1.Molle e pendoliMedia

Un astronauta su un altro pianeta trova che un pendolo semplice lungo 1 m ha un periodo di 4,94 s per piccole oscillazioni. Trova l’accelerazione di gravità g su quel pianeta.

L = 1 mT = 4,94 s

g = m/s²

2.Molle e pendoliDifficile

Una massa di 2,1 kg attaccata a una molla con k = 210 N/m viene spostata di 17 cm dalla posizione di equilibrio e lasciata andare. Trova la sua velocità massima v_max.

m = 2,1 kgk = 210 N/mA = 17 cm

v_max = m/s

3.Onde, suono e otticaMedia

Una macchina dà un livello sonoro di 85 dB in un certo punto. Trova il livello β in quel punto quando funzionano contemporaneamente 5 macchine identiche (sorgenti incoerenti).

β₁ = 85 dBn = 5

β = dB

4.Onde, suono e otticaDifficile

Un sensore di parcheggio fermo invia ultrasuoni di 20 kHz verso un’auto che si allontana a 30 m/s. Trova la frequenza f″ dell’eco che torna al sensore (velocità del suono 343 m/s).

f = 20 kHzu = 30 m/sv = 343 m/s

f″ = Hz

3Soluzioni

1.Molle e pendoli

Risposta: g = 1,618 m/s²

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Ricava g

g = 4π²·L/T² = 4π²·1/4,94² = 1,618 m/s²

Risposta

g = 1,618 m/s²

2.Molle e pendoli

Risposta: v_max = 1,7 m/s

Moto armonico semplice: una massa m su una molla di costante elastica k oscilla con pulsazione ω = √(k/m) e periodo T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Un pendolo semplice di lunghezza L ha T = 2π·√(L/g). Con ampiezza A, la velocità massima è A·ω, l’accelerazione massima A·ω² e l’energia ½·k·A².

Pulsazione

ω = √(210/2,1) = 10 rad/s

Velocità massima

v_max = A·ω = 0,17·10 = 1,7 m/s

Risposta

v_max = 1,7 m/s

3.Onde, suono e ottica

Risposta: β = 91,99 dB

Onde: un’onda periodica avanza di una lunghezza d’onda in un periodo, quindi v = fλ con T = 1/f. Su una corda tesa v = √(T/μ), con T la tensione e μ = m/L la massa per metro. Il suono nell’aria viaggia a circa 343 m/s a 20 °C, la luce nel vuoto a c = 3,00 × 10⁸ m/s. La sonorità si misura su una scala logaritmica: β = 10·log₁₀(I/I₀) dB con I₀ = 10⁻¹² W/m², quindi un’intensità 10 volte maggiore aggiunge 10 dB. Una sorgente puntiforme distribuisce la sua potenza P su una sfera: I = P/(4πr²).

Intensità totale

I = 5·I₁

Livello

β = 85 + 10·log₁₀(5) = 91,99 dB

Risposta

β = 91,99 dB

4.Onde, suono e ottica

Risposta: f″ = 16783 Hz

Onde stazionarie ed effetto Doppler: una corda fissata a entrambe le estremità, o un tubo aperto a entrambe le estremità, contiene un numero intero di semilunghezze d’onda: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … Un tubo chiuso a un’estremità ha un nodo all’estremità chiusa e un ventre a quella aperta: L = nλ/4 con n solo dispari, f_n = n·v/(4L). Quando sorgente o osservatore si muovono lungo la retta che li unisce, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): usa i segni superiori per il moto di avvicinamento. Due onde di frequenza quasi uguale producono battimenti alla frequenza |f₁ − f₂|.

Frequenza all’auto

f′ = 20000·(343 − 30)/343 = 18251 Hz

Frequenza dell’eco

f″ = f′·343/(343 + 30) = 16783 Hz

Risposta

f″ = 16783 Hz

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