Onde e ottica: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 4 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Molle e pendoli

Massa su una molla: T = 2π·√(m/k)
Pendolo: T = 2π·√(L/g)
Pulsazione: ω = √(k/m) = 2π/T
Velocità e accelerazione massime: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Energia: E = ½·k·A²

Onde, suono e ottica

Velocità dell’onda: v = fλ, T = 1/f
Corda: v = √(T/μ), μ = m/L
Livello sonoro: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Sorgente puntiforme: I = P/(4πr²)
Onde stazionarie: corda o tubo aperto f_n = n·v/(2L); tubo chiuso f_n = n·v/(4L), n dispari
Effetto Doppler: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Indice di rifrazione: n = c/v, λ = λ₀/n
Legge di Snell: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Angolo critico: sin θ_c = n₂/n₁
Fibra ottica: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Lenti e specchi: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Doppia fenditura: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Reticolo: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Fenditura singola: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Metodo

Individua il tipo di problema: velocità dell’onda, livello sonoro, onda stazionaria, Doppler, rifrazione, lente o specchio, oppure interferenza.
Scrivi prima la relazione: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) oppure n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Converti le unità: nm, mm e cm in m, e controlla se gli angoli sono misurati dalla normale.
Controlla segni e plausibilità: un’immagine virtuale ha dᵢ < 0, una sorgente che si avvicina suona più acuta, un tubo chiuso ha solo armoniche dispari.

2Esercizi

1.Molle e pendoliMedia

Una massa di 1,7 kg attaccata a una molla con k = 490 N/m oscilla su una superficie priva di attrito con un’ampiezza di 6 cm. Trova la sua velocità v quando si trova a 3 cm dall’equilibrio.

m = 1,7 kgk = 490 N/mA = 6 cmx = 3 cm

v = m/s

2.Molle e pendoliDifficile

Un corpo oscilla di moto armonico semplice con periodo 2,6 s e ampiezza 17 cm. Qual è il tempo minimo t che gli serve per passare dal suo spostamento massimo di 17 cm a uno spostamento di 12,75 cm?

T = 2,6 sA = 17 cmx = 12,75 cm

t = s

3.Onde, suono e otticaMedia

Un oggetto alto 2 cm si trova a 8 cm davanti a una lente sottile convergente con distanza focale di 12 cm. Trova l’altezza dell’immagine h_i (negativa per un’immagine capovolta).

h_o = 2 cmd_o = 8 cmf = 12 cm

h_i = cm

4.Onde, suono e otticaDifficile

Luce di lunghezza d’onda 589 nm incide su due fenditure distanti 0,4 mm. Lo schermo è a 1 m. Trova la distanza Δy tra frange luminose vicine.

λ = 589 nmd = 0,4 mmL = 1 m

Δy = mm

3Soluzioni

1.Molle e pendoli

Risposta: v = 0,8822 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Pulsazione

ω = √(490/1,7) = 16,98 rad/s

Velocità in x

v = ω·√(A² − x²) = 16,98·√(0,06² − 0,03²) = 0,8822 m/s

Risposta

v = 0,8822 m/s

2.Molle e pendoli

Risposta: t = 0,2991 s

Pulsazione

ω = 2π/T = 2π/2,6 = 2,417 rad/s

Risolvi per il tempo

0,75 = cos(ω·t) → ω·t = arccos(0,75) = 0,7227 rad

t = 0,7227/2,417 = 0,2991 s

Risposta

t = 0,2991 s

3.Onde, suono e ottica

Risposta: h_i = 6 cm

Ottica geometrica: su una superficie di separazione, n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (legge di Snell), con gli angoli misurati dalla normale e n = c/v. Passando in un mezzo più lento il raggio si avvicina alla normale. Da un mezzo più denso (n₁ > n₂) oltre l’angolo critico θ_c = arcsin(n₂/n₁) tutta la luce viene riflessa: riflessione totale interna. Le lenti sottili e gli specchi sferici obbediscono a 1/f = 1/d_o + 1/d_i con l’ingrandimento m = −d_i/d_o. Convenzione dei segni: f > 0 per una lente convergente e uno specchio concavo (f = R/2), f < 0 per una lente divergente e uno specchio convesso; d_i > 0 per un’immagine reale, d_i < 0 per una virtuale, e m < 0 per un’immagine capovolta.

Equazione delle lenti sottili

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/12 − 1/8

d_i = −24 cm

Ingrandimento e altezza

m = −(−24)/8 = 3

h_i = 3·2 = 6 cm

Risposta

h_i = 6 cm

4.Onde, suono e ottica

Risposta: Δy = 1,472 mm

Interferenza e diffrazione: la luce proveniente da due fenditure a distanza d raggiunge un punto dello schermo con una differenza di cammino d·sin θ. Le frange luminose compaiono dove d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Per uno schermo a distanza L ≫ d, la m-esima frangia luminosa si trova in y = mλL/d e la distanza tra le frange è Δy = λL/d. Un reticolo con N linee per millimetro ha d = 1/N e massimi nitidi in d·sin θ = mλ; poiché sin θ ≤ 1, l’ordine massimo è il più grande intero m ≤ d/λ. Una fenditura singola di larghezza a ha frange scure in a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Distanza tra le frange

Δy = λL/d = 589 × 10⁻⁹·1/(0,4 × 10⁻³) = 1,472 mm

Risposta

Δy = 1,472 mm

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