Molle e pendoli
- Massa su una molla
- T = 2π·√(m/k)
- Pendolo
- T = 2π·√(L/g)
- Pulsazione
- ω = √(k/m) = 2π/T
- Velocità e accelerazione massime
- vmax = A·ω, amax = A·ω²
- Energia
- E = ½·k·A²
Onde e ottica: pacchetto last-minute
Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 4 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.
1Formule e metodi
Onde, suono e ottica
- Velocità dell’onda
- v = fλ, T = 1/f
- Corda
- v = √(T/μ), μ = m/L
- Livello sonoro
- β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
- Sorgente puntiforme
- I = P/(4πr²)
- Onde stazionarie
- corda o tubo aperto fn = n·v/(2L); tubo chiuso fn = n·v/(4L), n dispari
- Effetto Doppler
- f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
- Indice di rifrazione
- n = c/v, λ = λ0/n
- Legge di Snell
- n1sin θ1 = n2sin θ2
- Angolo critico
- sin θc = n2/n1
- Fibra ottica
- NA = sin θa = √(n1² − n2²)
- Lenti e specchi
- 1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
- Doppia fenditura
- d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
- Reticolo
- d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
- Fenditura singola
- a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a
Metodo
- Individua il tipo di problema: velocità dell’onda, livello sonoro, onda stazionaria, Doppler, rifrazione, lente o specchio, oppure interferenza.
- Scrivi prima la relazione: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) oppure n·v/(4L), f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
- Converti le unità: nm, mm e cm in m, e controlla se gli angoli sono misurati dalla normale.
- Controlla segni e plausibilità: un’immagine virtuale ha dᵢ < 0, una sorgente che si avvicina suona più acuta, un tubo chiuso ha solo armoniche dispari.
2Esercizi
1.Molle e pendoliMedia
Un astronauta su un altro pianeta trova che un pendolo semplice lungo 2 m ha un periodo di 2,66 s per piccole oscillazioni. Trova l’accelerazione di gravità g su quel pianeta.
L = 2 mT = 2,66 s
g = m/s²
2.Molle e pendoliDifficile
Una massa di 0,3 kg viene attaccata all’estremità inferiore di una molla verticale non allungata con k = 250 N/m e lasciata da ferma. Usa g = 9,81 m/s². Trova la velocità massima vmax della massa.
m = 0,3 kgk = 250 N/mg = 9,81 m/s²
vmax = m/s
3.Onde, suono e otticaMedia
La luce si propaga in diamante (n = 2,42) verso una superficie di separazione piana con glicerolo (n = 1,47). Trova l’angolo critico θc oltre il quale viene totalmente riflessa.
n1 = 2,42n2 = 1,47
θc = °
4.Onde, suono e otticaDifficile
Luce di lunghezza d’onda 550 nm incide ad angolo retto su un reticolo con 1200 linee per millimetro. Trova l’angolo θ1 del massimo di ordine 1.
N = 1200 mm⁻¹λ = 550 nmm = 1
θ1 = °
3Soluzioni
1.Molle e pendoli
Risposta: g = 11,16 m/s²
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Ricava g
g = 4π²·L/T² = 4π²·2/2,66² = 11,16 m/s²
Risposta
g = 11,16 m/s²
2.Molle e pendoli
Risposta: vmax = 0,3398 m/s
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Equilibrio e ampiezza
x₀ = m·g/k = 0,3·9,81/250 = 0,01177 m = A
Velocità massima
La velocità è massima nella posizione di equilibrio.
ω = √(250/0,3) = 28,87 rad/s
vmax = A·ω = 0,01177·28,87 = 0,3398 m/s
Risposta
vmax = 0,3398 m/s
3.Onde, suono e ottica
Risposta: θc = 37,4 °
Ottica geometrica: su una superficie di separazione, n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (legge di Snell), con gli angoli misurati dalla normale e n = c/v. Passando in un mezzo più lento il raggio si avvicina alla normale. Da un mezzo più denso (n₁ > n₂) oltre l’angolo critico θc = arcsin(n₂/n₁) tutta la luce viene riflessa: riflessione totale interna. Le lenti sottili e gli specchi sferici obbediscono a 1/f = 1/do + 1/di con l’ingrandimento m = −di/do. Convenzione dei segni: f > 0 per una lente convergente e uno specchio concavo (f = R/2), f < 0 per una lente divergente e uno specchio convesso; di > 0 per un’immagine reale, di < 0 per una virtuale, e m < 0 per un’immagine capovolta.
Rifrazione a 90°
sin θc = n₂/n₁ = 1,47/2,42 = 0,6074
Angolo critico
θc = arcsin(0,6074) = 37,4°
Risposta
θc = 37,4°
4.Onde, suono e ottica
Risposta: θ1 = 41,3 °
Interferenza e diffrazione: la luce proveniente da due fenditure a distanza d raggiunge un punto dello schermo con una differenza di cammino d·sin θ. Le frange luminose compaiono dove d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Per uno schermo a distanza L ≫ d, la m-esima frangia luminosa si trova in y = mλL/d e la distanza tra le frange è Δy = λL/d. Un reticolo con N linee per millimetro ha d = 1/N e massimi nitidi in d·sin θ = mλ; poiché sin θ ≤ 1, l’ordine massimo è il più grande intero m ≤ d/λ. Una fenditura singola di larghezza a ha frange scure in a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …
Distanza tra le linee
d = 1/1200 mm = 8,333 × 10⁻⁷ m
Equazione del reticolo
sin θ = mλ/d = 1·550 × 10⁻⁹/(8,333 × 10⁻⁷) = 0,66
θ = 41,3°
Risposta
θ1 = 41,3°
ExamProblems · examproblems.com/courses/waves-and-optics