Molle e pendoli
- Massa su una molla
- T = 2π·√(m/k)
- Pendolo
- T = 2π·√(L/g)
- Pulsazione
- ω = √(k/m) = 2π/T
- Velocità e accelerazione massime
- vmax = A·ω, amax = A·ω²
- Energia
- E = ½·k·A²
Onde e ottica: pacchetto last-minute
Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 4 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.
1Formule e metodi
Onde, suono e ottica
- Velocità dell’onda
- v = fλ, T = 1/f
- Corda
- v = √(T/μ), μ = m/L
- Livello sonoro
- β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
- Sorgente puntiforme
- I = P/(4πr²)
- Onde stazionarie
- corda o tubo aperto fn = n·v/(2L); tubo chiuso fn = n·v/(4L), n dispari
- Effetto Doppler
- f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
- Indice di rifrazione
- n = c/v, λ = λ0/n
- Legge di Snell
- n1sin θ1 = n2sin θ2
- Angolo critico
- sin θc = n2/n1
- Fibra ottica
- NA = sin θa = √(n1² − n2²)
- Lenti e specchi
- 1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
- Doppia fenditura
- d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
- Reticolo
- d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
- Fenditura singola
- a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a
Metodo
- Individua il tipo di problema: velocità dell’onda, livello sonoro, onda stazionaria, Doppler, rifrazione, lente o specchio, oppure interferenza.
- Scrivi prima la relazione: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) oppure n·v/(4L), f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
- Converti le unità: nm, mm e cm in m, e controlla se gli angoli sono misurati dalla normale.
- Controlla segni e plausibilità: un’immagine virtuale ha dᵢ < 0, una sorgente che si avvicina suona più acuta, un tubo chiuso ha solo armoniche dispari.
2Esercizi
1.Molle e pendoliMedia
Una massa di 3,8 kg attaccata a una molla con k = 320 N/m viene spostata di 4 cm nel verso positivo e lasciata da ferma a t = 0. Trova il suo spostamento x dall’equilibrio a t = 1,05 s (con segno).
m = 3,8 kgk = 320 N/mA = 4 cmt = 1,05 s
x = cm
2.Molle e pendoliDifficile
Un proiettile di 15 g che viaggia a 200 m/s colpisce un blocco di 3 kg fermo su una superficie priva di attrito e vi resta conficcato. Il blocco è attaccato a una molla orizzontale con k = 500 N/m. Trova l’ampiezza A dell’oscillazione risultante in cm.
m = 15 gv = 200 m/sM = 3 kgk = 500 N/m
A = cm
3.Onde, suono e otticaMedia
Un tubo chiuso a un’estremità deve avere la sua armonica numero 5 a 536 Hz. La velocità del suono è 343 m/s. Trova la lunghezza L del tubo.
v = 343 m/sn = 5f5 = 536 Hz
L = m
4.Onde, suono e otticaDifficile
Due lenti sottili hanno lo stesso asse, a 25 cm di distanza: la lente 1 con f₁ = 10 cm e la lente 2 con f₂ = −10 cm. Un oggetto si trova a 20 cm davanti alla lente 1. Trova la posizione di2 dell’immagine finale misurata dalla lente 2 (positiva oltre la lente 2, convenzione reale = positivo).
f1 = 10 cmf2 = −10 cms = 25 cmdo = 20 cm
di2 = cm
3Soluzioni
1.Molle e pendoli
Risposta: x = −3,912 cm
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Pulsazione
ω = √(320/3,8) = 9,177 rad/s
ω·t = 9,177·1,05 = 9,635 rad
Spostamento
x = A·cos(ω·t) = 4·cos(9,635) = −3,912 cm
Risposta
x = −3,912 cm
2.Molle e pendoli
Risposta: A = 7,727 cm
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Velocità dopo l’impatto
V = m·v/(m + M) = 0,015·200/3,015 = 0,995 m/s
Pulsazione
ω = √(k/(m + M)) = √(500/3,015) = 12,88 rad/s
Ampiezza
A = V/ω = 0,995/12,88 = 0,07727 m = 7,727 cm
Risposta
A = 7,727 cm
3.Onde, suono e ottica
Risposta: L = 0,7999 m
Onde stazionarie ed effetto Doppler: una corda fissata a entrambe le estremità, o un tubo aperto a entrambe le estremità, contiene un numero intero di semilunghezze d’onda: L = nλ/2, fn = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … Un tubo chiuso a un’estremità ha un nodo all’estremità chiusa e un ventre a quella aperta: L = nλ/4 con n solo dispari, fn = n·v/(4L). Quando sorgente o osservatore si muovono lungo la retta che li unisce, f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs): usa i segni superiori per il moto di avvicinamento. Due onde di frequenza quasi uguale producono battimenti alla frequenza |f₁ − f₂|.
Lunghezza d’onda
λ = v/f = 343/536 = 0,6399 m
Lunghezza
L = nλ/4 = 5·0,6399/4 = 0,7999 m
Risposta
L = 0,7999 m
4.Onde, suono e ottica
Risposta: di2 = −3,333 cm
Ottica geometrica: su una superficie di separazione, n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (legge di Snell), con gli angoli misurati dalla normale e n = c/v. Passando in un mezzo più lento il raggio si avvicina alla normale. Da un mezzo più denso (n₁ > n₂) oltre l’angolo critico θc = arcsin(n₂/n₁) tutta la luce viene riflessa: riflessione totale interna. Le lenti sottili e gli specchi sferici obbediscono a 1/f = 1/do + 1/di con l’ingrandimento m = −di/do. Convenzione dei segni: f > 0 per una lente convergente e uno specchio concavo (f = R/2), f < 0 per una lente divergente e uno specchio convesso; di > 0 per un’immagine reale, di < 0 per una virtuale, e m < 0 per un’immagine capovolta.
Immagine della lente 1
1/di1 = 1/10 − 1/20 → di1 = 20 cm
Oggetto per la lente 2
do2 = 25 − 20 = 5 cm
Immagine finale
1/di2 = 1/(−10) − 1/5 → di2 = −3,333 cm
Risposta
di2 = −3,333 cm
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