Onde e ottica: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 4 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Molle e pendoli

Massa su una molla: T = 2π·√(m/k)
Pendolo: T = 2π·√(L/g)
Pulsazione: ω = √(k/m) = 2π/T
Velocità e accelerazione massime: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Energia: E = ½·k·A²

Onde, suono e ottica

Velocità dell’onda: v = fλ, T = 1/f
Corda: v = √(T/μ), μ = m/L
Livello sonoro: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Sorgente puntiforme: I = P/(4πr²)
Onde stazionarie: corda o tubo aperto f_n = n·v/(2L); tubo chiuso f_n = n·v/(4L), n dispari
Effetto Doppler: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Indice di rifrazione: n = c/v, λ = λ₀/n
Legge di Snell: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Angolo critico: sin θ_c = n₂/n₁
Fibra ottica: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Lenti e specchi: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Doppia fenditura: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Reticolo: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Fenditura singola: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Metodo

Individua il tipo di problema: velocità dell’onda, livello sonoro, onda stazionaria, Doppler, rifrazione, lente o specchio, oppure interferenza.
Scrivi prima la relazione: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) oppure n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Converti le unità: nm, mm e cm in m, e controlla se gli angoli sono misurati dalla normale.
Controlla segni e plausibilità: un’immagine virtuale ha dᵢ < 0, una sorgente che si avvicina suona più acuta, un tubo chiuso ha solo armoniche dispari.

2Esercizi

1.Molle e pendoliMedia

Un astronauta su un altro pianeta trova che un pendolo semplice lungo 0,9 m ha un periodo di 3,09 s per piccole oscillazioni. Trova l’accelerazione di gravità g su quel pianeta.

L = 0,9 mT = 3,09 s

g = m/s²

2.Molle e pendoliDifficile

Una massa di 1,3 kg attaccata a una molla con k = 380 N/m viene spostata di 2 cm dalla posizione di equilibrio e lasciata andare. Trova l’energia totale E dell’oscillazione.

m = 1,3 kgk = 380 N/mA = 2 cm

E = J

3.Onde, suono e otticaMedia

Un oggetto alto 3 cm si trova a 4 cm davanti a una lente sottile divergente con distanza focale di 15 cm. Trova l’altezza dell’immagine h_i (negativa per un’immagine capovolta).

h_o = 3 cmd_o = 4 cmf = −15 cm

h_i = cm

4.Onde, suono e otticaDifficile

Due fenditure distanti 0,25 mm sono illuminate con luce monocromatica. Su uno schermo a 2 m, la frangia luminosa numero 2 si trova a 8,512 mm dalla frangia centrale. Trova la lunghezza d’onda λ.

d = 0,25 mmL = 2 my₂ = 8,512 mmm = 2

λ = nm

3Soluzioni

1.Molle e pendoli

Risposta: g = 3,721 m/s²

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Ricava g

g = 4π²·L/T² = 4π²·0,9/3,09² = 3,721 m/s²

Risposta

g = 3,721 m/s²

2.Molle e pendoli

Risposta: E = 0,076 J

Moto armonico semplice: una massa m su una molla di costante elastica k oscilla con pulsazione ω = √(k/m) e periodo T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Un pendolo semplice di lunghezza L ha T = 2π·√(L/g). Con ampiezza A, la velocità massima è A·ω, l’accelerazione massima A·ω² e l’energia ½·k·A².

Pulsazione

ω = √(380/1,3) = 17,1 rad/s

Energia

E = ½·k·A² = ½·380·0,02² = 0,076 J

Risposta

E = 0,076 J

3.Onde, suono e ottica

Risposta: h_i = 2,368 cm

Ottica geometrica: su una superficie di separazione, n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (legge di Snell), con gli angoli misurati dalla normale e n = c/v. Passando in un mezzo più lento il raggio si avvicina alla normale. Da un mezzo più denso (n₁ > n₂) oltre l’angolo critico θ_c = arcsin(n₂/n₁) tutta la luce viene riflessa: riflessione totale interna. Le lenti sottili e gli specchi sferici obbediscono a 1/f = 1/d_o + 1/d_i con l’ingrandimento m = −d_i/d_o. Convenzione dei segni: f > 0 per una lente convergente e uno specchio concavo (f = R/2), f < 0 per una lente divergente e uno specchio convesso; d_i > 0 per un’immagine reale, d_i < 0 per una virtuale, e m < 0 per un’immagine capovolta.

Equazione delle lenti sottili

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/(−15) − 1/4

d_i = −3,158 cm

Ingrandimento e altezza

m = −(−3,158)/4 = 0,7895

h_i = 0,7895·3 = 2,368 cm

Risposta

h_i = 2,368 cm

4.Onde, suono e ottica

Risposta: λ = 532 nm

Interferenza e diffrazione: la luce proveniente da due fenditure a distanza d raggiunge un punto dello schermo con una differenza di cammino d·sin θ. Le frange luminose compaiono dove d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Per uno schermo a distanza L ≫ d, la m-esima frangia luminosa si trova in y = mλL/d e la distanza tra le frange è Δy = λL/d. Un reticolo con N linee per millimetro ha d = 1/N e massimi nitidi in d·sin θ = mλ; poiché sin θ ≤ 1, l’ordine massimo è il più grande intero m ≤ d/λ. Una fenditura singola di larghezza a ha frange scure in a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Lunghezza d’onda

λ = y·d/(mL) = 0,008512·0,00025/(2·2) = 5,32 × 10⁻⁷ m = 532 nm

Risposta

λ = 532 nm

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