Molle e pendoli
- Massa su una molla
- T = 2π·√(m/k)
- Pendolo
- T = 2π·√(L/g)
- Pulsazione
- ω = √(k/m) = 2π/T
- Velocità e accelerazione massime
- vmax = A·ω, amax = A·ω²
- Energia
- E = ½·k·A²
Onde e ottica: pacchetto last-minute
Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 4 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.
1Formule e metodi
Onde, suono e ottica
- Velocità dell’onda
- v = fλ, T = 1/f
- Corda
- v = √(T/μ), μ = m/L
- Livello sonoro
- β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
- Sorgente puntiforme
- I = P/(4πr²)
- Onde stazionarie
- corda o tubo aperto fn = n·v/(2L); tubo chiuso fn = n·v/(4L), n dispari
- Effetto Doppler
- f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
- Indice di rifrazione
- n = c/v, λ = λ0/n
- Legge di Snell
- n1sin θ1 = n2sin θ2
- Angolo critico
- sin θc = n2/n1
- Fibra ottica
- NA = sin θa = √(n1² − n2²)
- Lenti e specchi
- 1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
- Doppia fenditura
- d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
- Reticolo
- d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
- Fenditura singola
- a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a
Metodo
- Individua il tipo di problema: velocità dell’onda, livello sonoro, onda stazionaria, Doppler, rifrazione, lente o specchio, oppure interferenza.
- Scrivi prima la relazione: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) oppure n·v/(4L), f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
- Converti le unità: nm, mm e cm in m, e controlla se gli angoli sono misurati dalla normale.
- Controlla segni e plausibilità: un’immagine virtuale ha dᵢ < 0, una sorgente che si avvicina suona più acuta, un tubo chiuso ha solo armoniche dispari.
2Esercizi
1.Molle e pendoliMedia
Un pendolo semplice ha una lunghezza di 1,8 m. Usa g = 9,81 m/s². Trova il suo periodo T per piccole oscillazioni.
L = 1,8 mg = 9,81 m/s²
T = s
2.Molle e pendoliDifficile
Un proiettile di 5 g che viaggia a 100 m/s colpisce un blocco di 3 kg fermo su una superficie priva di attrito e vi resta conficcato. Il blocco è attaccato a una molla orizzontale con k = 300 N/m. Trova l’ampiezza A dell’oscillazione risultante in cm.
m = 5 gv = 100 m/sM = 3 kgk = 300 N/m
A = cm
3.Onde, suono e otticaMedia
Un oggetto alto 5 cm si trova a 12 cm davanti a una lente sottile convergente con distanza focale di 25 cm. Trova l’altezza dell’immagine hi (negativa per un’immagine capovolta).
ho = 5 cmdo = 12 cmf = 25 cm
hi = cm
4.Onde, suono e otticaDifficile
Luce di lunghezza d’onda 589 nm incide ad angolo retto su un reticolo con 300 linee per millimetro. Trova l’angolo θ3 del massimo di ordine 3.
N = 300 mm⁻¹λ = 589 nmm = 3
θ3 = °
3Soluzioni
1.Molle e pendoli
Risposta: T = 2,691 s
Moto armonico semplice: una massa m su una molla di costante elastica k oscilla con pulsazione ω = √(k/m) e periodo T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Un pendolo semplice di lunghezza L ha T = 2π·√(L/g). Con ampiezza A, la velocità massima è A·ω, l’accelerazione massima A·ω² e l’energia ½·k·A².
Periodo del pendolo
T = 2π·√(1,8/9,81) = 2,691 s
Risposta
T = 2,691 s
2.Molle e pendoli
Risposta: A = 1,665 cm
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Velocità dopo l’impatto
V = m·v/(m + M) = 0,005·100/3,005 = 0,1664 m/s
Pulsazione
ω = √(k/(m + M)) = √(300/3,005) = 9,992 rad/s
Ampiezza
A = V/ω = 0,1664/9,992 = 0,01665 m = 1,665 cm
Risposta
A = 1,665 cm
3.Onde, suono e ottica
Risposta: hi = 9,615 cm
Ottica geometrica: su una superficie di separazione, n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (legge di Snell), con gli angoli misurati dalla normale e n = c/v. Passando in un mezzo più lento il raggio si avvicina alla normale. Da un mezzo più denso (n₁ > n₂) oltre l’angolo critico θc = arcsin(n₂/n₁) tutta la luce viene riflessa: riflessione totale interna. Le lenti sottili e gli specchi sferici obbediscono a 1/f = 1/do + 1/di con l’ingrandimento m = −di/do. Convenzione dei segni: f > 0 per una lente convergente e uno specchio concavo (f = R/2), f < 0 per una lente divergente e uno specchio convesso; di > 0 per un’immagine reale, di < 0 per una virtuale, e m < 0 per un’immagine capovolta.
Equazione delle lenti sottili
1/di = 1/f − 1/do = 1/25 − 1/12
di = −23,08 cm
Ingrandimento e altezza
m = −(−23,08)/12 = 1,923
hi = 1,923·5 = 9,615 cm
Risposta
hi = 9,615 cm
4.Onde, suono e ottica
Risposta: θ3 = 32,01 °
Interferenza e diffrazione: la luce proveniente da due fenditure a distanza d raggiunge un punto dello schermo con una differenza di cammino d·sin θ. Le frange luminose compaiono dove d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Per uno schermo a distanza L ≫ d, la m-esima frangia luminosa si trova in y = mλL/d e la distanza tra le frange è Δy = λL/d. Un reticolo con N linee per millimetro ha d = 1/N e massimi nitidi in d·sin θ = mλ; poiché sin θ ≤ 1, l’ordine massimo è il più grande intero m ≤ d/λ. Una fenditura singola di larghezza a ha frange scure in a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …
Distanza tra le linee
d = 1/300 mm = 3,333 × 10⁻⁶ m
Equazione del reticolo
sin θ = mλ/d = 3·589 × 10⁻⁹/(3,333 × 10⁻⁶) = 0,5301
θ = 32,01°
Risposta
θ3 = 32,01°
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