Scheda di esercizi di Ottimizzazione con soluzioni

Una scatola aperta si ottiene da un foglio quadrato di cartone di 12 cm × 12 cm ritagliando dai quattro angoli quadrati uguali di lato x e ripiegando i lati. Trova il taglio x che dà il volume massimo.

Un recinto rettangolare viene realizzato con 96 m di recinzione e diviso in due parti da una recinzione aggiuntiva parallela ai lati di lunghezza x (in totale tre recinzioni di lunghezza x e due di lunghezza y). Trova l’area totale massima A che si può recintare.

Una lattina cilindrica chiusa (con coperchio e fondo) deve contenere 750 cm³. Il metallo usato è proporzionale alla superficie totale. Trova il raggio r che usa meno materiale.

Un lotto rettangolare di 200 m² è recintato su tutti e quattro i lati. Il lato lungo la strada, di lunghezza x, costa €40 al metro; gli altri tre lati costano €10 al metro. Trova la lunghezza x del lato su strada che minimizza il costo.

Un teatro vende 140 biglietti per spettacolo a €10 ciascuno. Un’indagine di mercato mostra che ogni aumento di €1 del prezzo del biglietto comporta 10 biglietti venduti in meno (e ogni diminuzione di €1, 10 in più). Trova il ricavo massimo R per spettacolo.

Una piccola impresa vende il suo prodotto a un prezzo di mercato fisso di €30 per unità. Produrre q unità costa C(q) = 100 + 8q + 0,5q² euro. Trova la produzione q che massimizza il profitto.