Scheda di esercizi di Ottimizzazione con soluzioni

Una scatola aperta si ottiene da un foglio quadrato di cartone di 12 cm × 12 cm ritagliando dai quattro angoli quadrati uguali di lato x e ripiegando i lati. Trova il taglio x che dà il volume massimo.

Un agricoltore ha 320 m di recinzione per recintare un campo rettangolare lungo un fiume rettilineo. Lungo il fiume non serve recinzione. Trova la lunghezza x di ciascun lato perpendicolare al fiume per avere l’area massima.

Una lattina cilindrica chiusa (con coperchio e fondo) deve contenere 400 cm³. Il metallo usato è proporzionale alla superficie totale. Trova l’altezza h della lattina che usa meno materiale.

Un lotto rettangolare di 450 m² è recintato su tutti e quattro i lati. Il lato lungo la strada, di lunghezza x, costa €30 al metro; gli altri tre lati costano €8 al metro. Trova il costo totale minimo C.

Un’azienda vende q unità alla settimana. Il prezzo a cui può venderle è p = 190 − 1q euro per unità, e il costo è C(q) = 200 + 150q euro. Trova il prezzo p che massimizza il profitto.

Una piccola impresa vende il suo prodotto a un prezzo di mercato fisso di €65 per unità. Produrre q unità costa C(q) = 2100 + 12q + 0,1q² euro. Trova la produzione q che massimizza il profitto.