AP Calculus の練習問題：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

極限

直接代入: まず x = a を代入する。0/0 なら式を簡単にする
因数分解して約分: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
共役な式: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
無限大での極限: x の最高次の累乗で割る。次数が等しければ最高次の係数の比になる
特別な極限: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
ロピタルの定理: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

微分

べき乗の微分: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
積の法則: (uv)′ = u′v + uv′
商の微分法: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
連鎖律: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
主な導関数: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

解き方

式の構造を見分けます：和、積、商、または合成関数。
x の各累乗にべき乗の微分法を適用します。
必要に応じて積の微分法、商の微分法、合成関数の微分法を使います。
整理し、指定があればその点での値を求めます。

最適化

解き方: Q(x) を 1 変数で表し、Q′(x) = 0 を解いて、Q″ または端点を調べる
最大値: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
最小値: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
ふたのある円柱: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
利益: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

積分

べき乗の微分: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
定積分: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
主な不定積分: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
曲線で囲まれた面積: ∫_a^b (f − g) dx

解き方

できれば被積分関数を簡単な項の和に書き直します。
べき乗の積分公式を適用します：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。e^x、1/x、sin、cos には基本の積分公式を使います。
関数とその導関数が一緒に現れていたら置換積分を使います。
定積分では F(b) − F(a) を計算します。

微分方程式

指数関数的な増加・減少: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
半減期: k = ln 2 / t_½
ニュートンの冷却法則: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
積分因子: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
混合タンク: dm/dt = r·c − (r/V)·m

数列と級数

等差数列: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
等比数列: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
無限等比級数: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p 級数: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
比判定法: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
収束半径: R = lim |c_k/c_k+1|
テイラー多項式: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
マクローリン級数: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
ラグランジュの誤差評価: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

解き方

種類を見極めましょう：等差（一定の差）、等比（一定の比）、標準的な級数、べき級数、テイラー多項式。
和には Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2、Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)、または |r| < 1 のとき S = a₁/(1 − r) を使います。a₁ はその和の最初の項です。
収束については：まず第 n 項判定法、次に Σ1/kᵖ や等比級数との比較を行い、階乗や k 乗には比判定法か根判定法を使います。
テイラー多項式では、f(a)、f′(a)、f″(a)、… を並べ、第 k 階導関数を k! で割り、誤差を M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)! で評価します。

2演習問題

1.極限ふつう

極限 L = lim_x→∞ (−5x³ − 2)/(5x³ + 6x + 7) を求めなさい。

f(x) = (−5x³ − 2)/(5x³ + 6x + 7)x → ∞

L =

2.極限むずかしい

極限 L = lim_x→0 (1 − cos 2x)/(2x²) を求めなさい。x の単位はラジアンとします。

f(x) = (1 − cos 2x)/(2x²)x → 0

L =

3.微分ふつう

f(x) = x²·e^2x とします。f′(0.5) を求めなさい。

f(x) = x²·e^2xx = 0.5

f′(0.5) =

4.微分むずかしい

f(x) = x³ − 12x とします。極大点の x 座標 x を求めなさい。

f(x) = x³ − 12x

x =

5.最適化ふつう

ふたと底のある円柱形の缶に 355 cm³ を入れなければなりません。使う金属の量は表面積の合計に比例します。材料が最も少なくなる半径 r を求めなさい。

V = 355 cm³

r = cm

6.最適化むずかしい

ある会社は週に q 個を販売します。販売できる価格は 1 個あたり p = 100 − 1q ユーロ、費用は C(q) = 800 + 20q ユーロです。利益が最大になる価格 p を求めなさい。

p = 100 − 1qC = 800 + 20q

p = €

7.積分ふつう

I = ∫₀^π/2 x·cos x dx（x はラジアン）を計算しなさい。

∫₀^π/2 x·cos x dx

I =

8.積分むずかしい

直線 y = 5x と放物線 y = 2x² の間の領域を x 軸のまわりに回転させます。立体の体積 V を求めなさい。

y = 5xy = 2x²

V =

9.微分方程式ふつう

6 °C の缶ジュースを冷蔵庫から 25 °C の部屋に出します。 14 分後の温度は 20 °C です。温度はニュートンの冷却法則 dT/dt = −k·(T − Tₐ) に従います。開始から 23 °C に達するまでの時間 t を求めなさい。

T₀ = 6 °CT_a = 25 °CT(14) = 20 °CT = 23 °C

t = min

10.微分方程式むずかしい

x > 0 で初期値問題 y′ + 2y/x = 3、y(1) = −1 を解きなさい。y(2) を求めなさい。

y′ + 2y/x = 3y(1) = −1

y(2) =

11.数列と級数ふつう

4 つの級数のうち、ちょうど 1 つが発散します。それをクリックしてください。

A: Σ 1/(2ᵏ + k)B: Σ 1/k³C: Σ 2ᵏ/k²D: Σ (2/5)ᵏ

1A: Σ 1/(2ᵏ + k)
2B: Σ 1/k³
3C: Σ 2ᵏ/k²
4D: Σ (2/5)ᵏ

12.数列と級数むずかしい

f(x) = cos x を、x = −0.5 で 3 次のマクローリン多項式で近似します。M = 1 としてラグランジュの誤差評価 M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! を使い、誤差の最大値 |R₃| を求めてください。

f(x) = cos xn = 3x = −0.5M = 1

|R₃| =

3溶液

1.極限

答え: L = −1

極限：まず直接代入してみます。0/0 になる場合は、先に式を簡単にします：因数分解して共通因数を約分するか、共役な式を掛けます。x → ∞ では、分子と分母を x の最高次の累乗で割ります。ロピタルの定理：f/g が 0/0 または ∞/∞ になるなら、lim f/g = lim f′/g′ です。分子と分母を別々に微分します（商の微分法は使いません）。

最高次の累乗で割る

(−5 + (−2)/x³)/(5 + 6/x² + 7/x³)

x → ∞ とする

L = −5/5 = −1

答え

L = −1

次数が等しければ、極限は最高次の係数の比になります。

2.極限

答え: L = 1

1 回目の適用

2·sin 2x/(4x) → 0/0

2 回目の適用

4·cos 2x/4

x = 0 を代入する

L = 4/4 = 1

答え

L = 1

3.微分

答え: f′(0.5) = 4.077

微分：導関数 f′(x) は x におけるグラフの傾きです。べき乗の法則：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。積の法則：(uv)′ = u′v + uv′。連鎖律：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。f′(x) = 0 のところではグラフの接線が水平になり、極大・極小・鞍点のいずれかです。

積の法則

f′(x) = u′v + uv′ = e^2x·(2x + 2·x²)

代入する

f′(0.5) = 2.718·(1 + 0.5) = 4.077

答え

f′(0.5) = 4.077

4.微分

答え: x = −2

導関数

f′(x) = 3x² − 12 = 3·(x² − 4)

f′(x) = 0 を解く

x = −2 または x = 2

どちらがどちらか

f″(x) = 6x：極大では負、極小では正。

f″(−2) = −12, f″(2) = 12

x = −2

答え

x = −2

5.最適化

答え: r = 3.837 cm

最適化：最適化したい量を、制約条件でもう一方の変数を消去して 1 変数の関数で表します。導関数をゼロとおいて解きます。その臨界点が最大か最小か（2 階導関数、または 1 階導関数の符号の変化）、また許される範囲の内側にあるかを確認します。辺の長さがゼロになるような端点は答えではありません。

r の関数としての面積

h = 355/(πr²)

A(r) = 2πr² + 710/r

導関数をゼロとおく

A″(r) = 4π + 1420/r³ > 0 なので、これは最小です。

4πr − 710/r² = 0 → r = ∛(355/(2π)) = 3.837 cm

高さと面積

h = 355/(π·3.837²) = 2r = 7.674 cm

A = 2π·3.837² + 710/3.837 = 277.5 cm²

答え

r = 3.837 cm

最も経済的なふたつきの缶は、高さと直径が等しくなります：h = 2r。

6.最適化

答え: p = 60 €

利益関数

P(q) = (100 − 1q)·q − (800 + 20q) = −q² + 80q − 800

導関数をゼロとおく

P″(q) = −2 < 0 なので、これは最大です。

q = 80/2 = 40

価格と利益

p = 100 − 1·40 = €60

P = 80·40 − 1·40² − 800 = €800

答え

p = €60

7.積分

答え: I = 0.5708

部分積分：∫u·dv = u·v − ∫v·du。積の微分公式から導かれます。u には、微分すると簡単になるほうの因子（x のべき乗や ln x）を選び、dv には、積分できるほうの因子（eˣ、sin x、cos x、または u = ln x のときの x）を選びます。定積分では、u·v を両端で評価します：∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du。因子 x² があるときは 2 回行います。

u と dv を選ぶ

u = x, du = dx; dv = cos x dx, v = sin x

原始関数

∫x cos x dx = x sin x − ∫sin x dx = x sin x + cos x

極限

(π/2·sin π/2 + cos π/2) − (0 + 1) = 0.5708

答え

I = 0.5708

8.積分

答え: V = 163.6

回転体の体積：x = a から x = b までの y = f(x) の下の領域を x 軸のまわりに回転させると、x での断面が半径 f(x) の円板である立体ができます。円板を足し合わせると V = π∫ₐᵇ f(x)² dx になります。領域が外側の曲線 R(x) と内側の曲線 r(x) の間にあるときは、各スライスはワッシャー（円環）で、V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx です。引く前に半径を 2 乗しましょう。

交点

5x = 2x² → x = 0, x = 2.5

ワッシャー法

V = π∫₀^2.5 ((5x)² − (2x²)²) dx

積分する

V = π(25·2.5³/3 − 4·2.5⁵/5) = π·52.08 = 163.6

答え

V = 163.6

9.微分方程式

答え: t = 23.61 min

1 階微分方程式：dy/dt = k·y の解は y = y₀·e^kt です（k > 0 なら増加、k < 0 なら減少）。半減期 T からは k = ln 2/T が得られます。ニュートンの冷却法則 dT/dt = −k·(T − Tₐ) からは T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt が得られます。線形方程式 y′ + p(x)·y = q(x) は積分因子 μ = e^{∫p dx} を使って解きます：(μy)′ = μq なので、μy = ∫μq dx + C です。

冷却定数

k = ln(-19/-5)/14 = 0.09536 min⁻¹

目標温度に達するまでの時間

t = ln(-19/(−2))/0.09536 = 23.61 min

答え

t = 23.61 min

10.微分方程式

答え: y(2) = 1.5

積分因子

μ = e^{∫2/x dx} = x²

積分する

(x²y)′ = 3x² → x²y = 3x³/3 + C

初期条件

−1 = 3/3 + C → C = −2

計算する

y(2) = (3·2³/3 + (−2))/2² = 1.5

答え

y(2) = 1.5

11.数列と級数

答え: C: Σ 2ᵏ/k²

各級数を判定する

A: Σ 1/(2ᵏ + k) → 収束する等比級数 (1/2)ᵏ より小さい：比較により収束します。

B: Σ 1/k³ → p = 3 > 1 の p 級数：収束します。

C: Σ 2ᵏ/k² → 比判定法：L = 2 > 1 なので発散します。

D: Σ (2/5)ᵏ → r = 2/5 の等比級数で |r| < 1：収束します。

答え

C: Σ 2ᵏ/k²

答え

C: Σ 2ᵏ/k²

12.数列と級数

答え: |R₃| = 0.002604

テイラー多項式：x = a の近くで、滑らかな関数は Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n! で近似されます。a = 0 のときがマクローリン多項式です。標準的な級数：eˣ = Σxᵏ/k!、sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …、cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …、ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …、1/(1 − x) = Σxᵏ。ラグランジュの誤差評価：|f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!。ここで M は a と x の間での |f⁽ⁿ⁺¹⁾| の最大値です。

導関数の評価

M = 1

ラグランジュの評価

|R₃| ≤ 1·0.5⁴/4! = 0.002604

答え

|R₃| = 0.002604

真の誤差はもっと小さくなります：|f(−0.5) − P₃(−0.5)| = 0.002583。

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