極限やさしい
極限 L = limx→1 (x4 − 1)/(x − 1) を求めなさい。
f(x) = (x4 − 1)/(x − 1)x → 1
求めるもの： L
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- 代入すると 0/0 になります。分子を因数分解しましょう。
- xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹).
- x4 − 1 = (x − 1)(x3 + x2 + x + 1).
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極限：まず直接代入してみます。0/0 になる場合は、先に式を簡単にします：因数分解して共通因数を約分するか、共役な式を掛けます。x → ∞ では、分子と分母を x の最高次の累乗で割ります。ロピタルの定理：f/g が 0/0 または ∞/∞ になるなら、lim f/g = lim f′/g′ です。分子と分母を別々に微分します（商の微分法は使いません）。
直接代入してみる
分子 → 0、分母 → 0 なので、0/0 の形です。
因数分解して約分
(x4 − 1)/(x − 1) = x3 + x2 + x + 1
代入する
L = 1·13 + 1·12 + 1·1 + 1·1 = 4
答え
L = 4
これは x = a における xⁿ の微分係数 n·aⁿ⁻¹ です。