微分：ステップごとの解答つき練習問題

1導関数とは

導関数は、あるものがどれだけ速く変化するかを表します。車の位置が 1 時間に 50 km 変わるなら、その速さは 50 km/h です。これが位置の変化率です。

グラフ上では、ある点での導関数は、その点での曲線の傾きです。つまり、ごく近くまで拡大して見たとき、曲線がどれだけ急に上がり、あるいは下がっているかを表します。

この傾きは接線の傾きです。接線とは、その点で曲線にちょうど接する直線のことです。

y = x² の x = 1 における接線の傾きは 2 です。これを f′(1) = 2 と書き、「エフプライム 1」と読みます。

• 導関数が正：グラフは右上がり。
• 導関数が負：グラフは右下がり。
• 導関数が 0：その点でグラフは水平。たとえば頂点や谷底です。

2基本の公式

毎回極限を使う必要はありません。いくつかの公式で、ほとんどの関数をカバーできます。

これがべき乗の公式です：指数を前に出し、指数を 1 つ下げます。したがって (x³)′ = 3x²、(x)′ = 1 です。

• 定数だけの導関数は 0 です。変化しないからです。
• 定数の係数はそのまま残ります：(5x³)′ = 5 · 3x² = 15x²。
• 和の導関数は、各項を別々に微分します。

次も覚えておきましょう：(eˣ)′ = eˣ、(ln x)′ = 1/x、(sin x)′ = cos x、(cos x)′ = −sin x。

3積の微分と合成関数の微分

他の関数を組み合わせてできた関数には、さらに 2 つの公式を使います。

積の微分公式（2 つの関数の積）：

合成関数の微分公式（関数の中に別の関数があるとき）：外側を微分し、内側はそのままにして、内側の導関数を掛けます。

商の微分公式はこの 2 つから導かれます：(u/v)′ = (u′v − uv′) / v²。

4ステップごとの方法

1. 構造を見ましょう：項の和なのか、積なのか、商なのか、それとも関数の中の関数なのか。
2. まず根号と分数をべき乗に書き換えます：√x = x^1/2、1/x² = x⁻²。
3. 外側から内側へ、1 つずつ公式を適用します。
4. 結果を整理します。
5. 値を求める場合は、数値を代入するのは最後にします。

グラフの頂点や谷底（極値）を求めるには、f′(x) = 0 を解きます。どちらなのかは 2 階導関数でわかります：f″ < 0 なら極大、f″ > 0 なら極小です。

5例題

すべてのステップをたどりましょう。開く前に次のステップを予想してみましょう。

6よくある間違い

• 合成関数の微分で、内側の導関数を忘れる。
• (u · v)′ = u′ · v′ と書く。積の微分公式には 2 つの項があります。
• 商の微分公式の順序を間違える：分子は u′v − uv′ で、マイナスが入ります。
• 微分する前に数値を代入する。先に微分し、それから代入しましょう。
• 5x³ のような定数倍を積として扱う。もっと簡単で、5 はそのまま残ります。

7試験問題の例

• やさしい：多項式。べき乗の公式を使って、与えられた x での傾きを求めます。
• ふつう：合成関数または積の微分公式。たとえば (2x + 5)⁵ や x²·e^−x を、ある点で評価します。
• むずかしい：接線と極値。f′(x) = 0 を解き、どの点が極大かを判断します。

傾きの問題の簡単な確認法：頭の中でグラフを思い浮かべます。そこで右上がりなら、答えは正になるはずです。