複素数：ステップごとの解答つき練習問題

図、ヒント、詳しい解答つきの無料の複素数練習問題。毎回新しい数値で、3 つのレベル：直交形式での計算, 極形式と指数形式, ド・モアブルの定理、累乗根、方程式。

無料の練習問題やさしい
ReIm22−2−244−4−466−6−6z₁z₂

z₁ = 1 + j4、z₂ = 5 + j6 のとき、w = 2z₁ + 5z̄₂ の虚部を求めてください。

z₁ = 1 + j4z₂ = 5 + j6
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練習する内容

  1. やさしい直交形式での計算
  2. ふつう極形式と指数形式
  3. むずかしいド・モアブルの定理、累乗根、方程式

複素数の問題の解き方

  1. 演算に合った形を選びましょう：足し算と引き算には直交形式 a + jb、掛け算・割り算・冪・累乗根には極形式 r∠θ です。
  2. 展開するときは j² = −1 を使います。割り算は、分子と分母に分母の共役複素数を掛けて行います。
  3. 変換には r = √(a² + b²) と、点の図（象限を確認）から求めた θ を使い、戻すには a = r cos θ、b = r sin θ を使います。
  4. 冪にはド・モアブルの定理 (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ を使います。zⁿ = R∠φ では、n 個の解 R1/n∠((φ + 360°k)/n) をすべて挙げます。

よくある間違い

  • 展開するときに j² を +1 として扱ってしまう。
  • 実部と虚部を別々に割ってしまう。
  • 左半平面の点の偏角として、atan(b/a) を取ってしまう。
  • 度とラジアンを混同する（特に ejθ で）。
  • zⁿ = w の解を 1 つしか答えない、または絶対値の n 乗根を取り忘れる。

重要な公式

直交形式
z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
絶対値と偏角
|z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
極形式と指数形式
z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ
割り算
z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
積と商
r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
ド・モアブル
(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n 乗根
zk = R1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
p² < 4q の 2 次方程式
z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

複素数をゼロから学ぶ

1複素数とは何か

方程式 x² = −1 に実数解はありません。工学では j² = −1 となる新しい数 j を加えます。数学では i と書きますが、工学では i がすでに電流を意味するので j を使います。

複素数は z = a + jb の形をしています。数 a が実部、b が虚部です：Re(z) = a、Im(z) = b。

z は複素平面（アルガン図）上の点 (a, b) として描けます：実部は横軸、虚部は縦軸に沿います。

ReImθz = 3 + j2|z|z̄ = 3 − j232

原点からの距離が絶対値 |z| = √(a² + b²) です。正の実軸からの角度が偏角 θ です。実軸に関する鏡像 z̄ = a − jb が共役複素数です。

セルフチェック z = 3 − j4 の絶対値はいくつですか？
  1. 25
  2. 5
  3. 7
  4. −1

答え: 5. |z| = √(3² + (−4)²) = √25 = 5 です。3 と 4 を足すと 7、平方根を忘れると 25 になってしまいます。

2足し算・掛け算・割り算

足し算と引き算は部分ごとに行います：(2 + j3) + (1 − j4) = 3 − j。

掛け算は括弧を展開して、j² を −1 に置き換えます：

(2 + j3)(1 − j4) = 2 − j8 + j3 − j²12 = 2 + 12 − j5 = 14 − j5

数とその共役複素数の積は、常に実数です：(a + jb)(a − jb) = a² + b²。

割り算は、分子と分母に分母の共役複素数を掛けて行います。そうすると分母が実数になります：

(4 + j2)/(1 + j) = (4 + j2)(1 − j)/((1 + j)(1 − j)) = (6 − j2)/2 = 3 − j
セルフチェック (1 + j)(1 − j) はいくつですか？
  1. 0
  2. 1 − j
  3. 2
  4. 2j

答え: 2. これは数とその共役複素数の積です：1² + 1² = 2。1 − j² を 1 − 1 = 0 と書くのは j² = −1 を忘れており、−j² = +1 です。

3極形式と指数形式

点は、距離と角度でも表せます：z = r∠θ、r = |z|、θ = arg z。直交形式に戻すには a = r cos θ、b = r sin θ を使います。

z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ

最後の形はオイラーの公式 ejθ = cos θ + j sin θ を使います。指数形式では θ をラジアンにしなければなりません。

象限に注意しましょう。電卓は atan(b/a) を −90° から 90° の間で返します。a < 0 なら点は左側にあるので、180° を足すか引きます。

例：z = −2 + j2。すると r = √8 = 2.828。基準角は atan(2/2) = 45° で、点は第 2 象限にあるので、θ = 180° − 45° = 135° です。

セルフチェック z = −1 − j の偏角を、−180° から 180° の間で求めてください。
  1. 135°
  2. 45°
  3. −135°
  4. −45°

答え: −135°. 点は第 3 象限にあります。基準角は 45° なので、θ = −(180° − 45°) = −135° です。atan(−1/−1) = 45° は反対の象限を指しています。

4極形式での掛け算、冪、累乗根

極形式では掛け算が簡単です：絶対値を掛けて、偏角を足します。割り算では、絶対値を割って、偏角を引きます。

(r₁∠θ₁)(r₂∠θ₂) = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂)

これを繰り返すとド・モアブルの定理になります：(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ。

方程式 zⁿ = R∠φ にはちょうど n 個の解があります。すべて絶対値は R1/n で、偏角は k = 0, 1, …, n − 1 について (φ + 360°·k)/n です。

ReIm2−1 + j1.732−1 − j1.732120°

z³ = 8 = 8∠0° では、絶対値は 2、偏角は 0°、120°、240°（つまり −120°）です。解は円周上で正三角形をつくります。

p² < 4q のとき、2 次方程式 z² + pz + q = 0 は複素数の解 −p/2 ± j√(q − p²/4) をもちます。実数係数の多項式の複素数の解は、必ず共役な対として現れます。

5例題

1 + j のような数の冪は、展開して掛けるよりも、極形式のほうがずっと速く求まります。

例題

ド・モアブルの定理を使って (1 + j)6 を計算してください。

1

1 + j を極形式で表す

r = √(1² + 1²) = √2。点は第 1 象限にあるので、θ = atan(1/1) = 45° です。

1 + j = √2∠45°
2

ド・モアブルの定理を適用する

絶対値を 6 乗し、角度を 6 倍します。

(√2)6 = 8, 6·45° = 270°
3

角度を範囲内に直す

270° は −90° と同じ向きです。

(1 + j)6 = 8∠−90°
4

直交形式に戻す

8(cos(−90°) + j sin(−90°)) = 8(0 − j) = −j8
答え

(1 + j)6 = −j8：実部は 0、虚部は −8 です。

6よくある間違いと試験問題

  • 展開するときに j² = −1 を忘れて、項の符号が間違ってしまう。
  • 部分ごとに割ってしまう：(a + jb)/(c + jd) は a/c + jb/d ではありません。共役複素数を使いましょう。
  • a < 0 のとき、atan(b/a) を偏角としてしまう。まず点を描きましょう。
  • ejθ で度を使う、または度で与えられた r∠θ に、電卓をラジアンのままにして使ってしまう。
  • ド・モアブルの定理で、絶対値を冪乗し忘れる、または zⁿ = w の解を 1 つしか答えない。

やさしい問題では、積・商・和の一部を求めます。ふつうの問題では、直交形式・極形式・指数形式の間で変換します。むずかしい問題では、ド・モアブルの定理、n 乗根、多項式の方程式を使います。

セルフチェック z₁ = 2∠30°、z₂ = 4∠50° です。z₁·z₂ はいくつですか？
  1. 6∠80°
  2. 8∠1500°
  3. 8∠20°
  4. 8∠80°

答え: 8∠80°. 絶対値を掛け（2·4 = 8）、偏角を足します（30° + 50° = 80°）。絶対値を足すと 6 になり、角度を掛けるのは意味がありません。

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解答例

例題 1やさしい
ReIm55−5−5z₁z₂

z₁ = −7 + j、z₂ = 4 + j2 のとき、積 z₁·z₂ の実部を求めてください。

z₁ = −7 + jz₂ = 4 + j2

求めるもの： Re(z₁z₂)

ヒントを表示
  1. (a + b)(c + d) のように括弧を展開すると、4 つの項になります。
  2. j² を −1 に置き換えると、4 つの項のうち 1 つが実数になります。
  3. (−7 + j)(4 + j2) = (−28) + j(−14) + j4 + j²·2
答えとステップごとの解答を表示

複素数：z = a + jb は実部 a と虚部 b をもち、j² = −1 です（数学では i と書きます）。足し算と引き算は部分ごとに行います。掛け算は括弧を展開して j² を −1 に置き換えます。割り算は、分母の共役複素数 z̄ = a − jb を分子と分母に掛けて行います。z·z̄ = a² + b² は実数だからです。複素平面（アルガン図）では z は点 (a, b) で、原点からの距離が絶対値 |z| = √(a² + b²)、正の実軸からの角度が偏角 θ です。

展開する

(−7 + j)(4 + j2) = (−7)·4 + j·(−7)·2 + j·1·4 + j²·1·2

j² = −1 を使う

Re = (−28) − 2 = −30
Im = (−14) + 4 = −10
z₁z₂ = −30 − j10
Re(z₁z₂) = −30

答え

Re(z₁z₂) = −30
例題 2ふつう
ReIm22−2−244−4−4θz

z = 4∠160° を直交形式 a + jb で表し、虚部 b を答えてください。

r = 4θ = 160°

求めるもの： b

ヒントを表示
  1. a = r·cos θ、b = r·sin θ。
  2. sin(160°) = 0.342
  3. r = 4 を掛けましょう。
答えとステップごとの解答を表示

極形式：z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ、r = |z|、θ = arg z です。直交形式に戻すには：a = r cos θ、b = r sin θ。偏角には象限の考慮が必要です：θ = atan(b/a) が使えるのは a > 0 のときだけで、a < 0 のときは 180° を足すか引きます。極形式では掛け算が簡単です：絶対値を掛けて偏角を足します。割り算では絶対値を割って偏角を引きます。

成分

a = 4·cos(160°) = −3.759
b = 4·sin(160°) = 1.368

直交形式

z = −3.759 + j1.368
b = 1.368

答え

b = 1.368
例題 3むずかしい
ReIm11−1−122−2−2z₀z₁z₂z₃

n = 4、w = 16∠−60° のとき、zⁿ = w の解は zk = R1/n∠((φ + 360°·k)/n)、k = 0, 1, 2, 3 です。z₂ の実部を求めてください。

w = 16∠−60°n = 4k = 2

求めるもの： Re(z₂)

ヒントを表示
  1. すべての解の絶対値は R1/n = 161/4 = 2 です。
  2. z₂ の偏角は (φ + 360°·k)/n で、φ = −60°、k = 2、n = 4 です。
  3. a = R1/n·cos(165°)。
答えとステップごとの解答を表示

ド・モアブルの定理と累乗根：(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ。方程式 zⁿ = R∠φ にはちょうど n 個の解があり、すべて絶対値は R1/n で、偏角は (φ + 360°·k)/n（k = 0, 1, …, n − 1）です：円周上に 360°/n ずつ等間隔に並びます。p² < 4q のとき、2 次方程式 z² + pz + q = 0 は複素数の解 z = −p/2 ± j√(q − p²/4) をもちます。実数係数の多項式の複素数の解は、必ず共役な対 a ± jb として現れます。

解の絶対値

161/4 = 2

解の偏角

θ₂ = (−60° + 360°·2)/4 = 165°

直交形式

z₂ = 2·(cos 165° + j sin 165°) = −1.932 + j0.5176
Re(z₂) = −1.932

答え

Re(z₂) = −1.932

4 個の解は、半径 2 の円周上に 90° ずつ離れて並びます。

質問と回答

複素数とは？

方程式 x² = −1 に実数解はありません。工学では j² = −1 となる新しい数 j を加えます。数学では i と書きますが、工学では i がすでに電流を意味するので j を使います。

z は複素平面（アルガン図）上の点 (a, b) として描けます：実部は横軸、虚部は縦軸に沿います。

複素数の問題の解き方は？（手順）
  1. 演算に合った形を選びましょう：足し算と引き算には直交形式 a + jb、掛け算・割り算・冪・累乗根には極形式 r∠θ です。
  2. 展開するときは j² = −1 を使います。割り算は、分子と分母に分母の共役複素数を掛けて行います。
  3. 変換には r = √(a² + b²) と、点の図（象限を確認）から求めた θ を使い、戻すには a = r cos θ、b = r sin θ を使います。
  4. 冪にはド・モアブルの定理 (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ を使います。zⁿ = R∠φ では、n 個の解 R1/n∠((φ + 360°k)/n) をすべて挙げます。
複素数でよくある間違いは？
  • 展開するときに j² を +1 として扱ってしまう。
  • 実部と虚部を別々に割ってしまう。
  • 左半平面の点の偏角として、atan(b/a) を取ってしまう。
  • 度とラジアンを混同する（特に ejθ で）。
  • zⁿ = w の解を 1 つしか答えない、または絶対値の n 乗根を取り忘れる。
複素数の練習では何を学ぶ？
  • やさしい: 直交形式での計算
  • ふつう: 極形式と指数形式
  • むずかしい: ド・モアブルの定理、累乗根、方程式

問題ごとに数値が変わるので、答えではなく解き方が身につきます。 行き詰まったら、まず小さなヒントを開き、必要なときだけ詳しい解説を見ましょう。

練習のしかた

  • 問題ごとに数値が変わるので、答えではなく解き方が身につきます。
  • 行き詰まったら、まず小さなヒントを開き、必要なときだけ詳しい解説を見ましょう。
  • 進捗、間違えた問題、保存した問題は記録されるので、試験前に復習できます。

計算ツール

2 次方程式のソルバー（ax² + bx + c = 0）

このトピックを含む科目

電気回路 II：交流回路工業数学

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