最適化：ステップごとの解答つき練習問題

1最適化とは

最適化とは、最良の値を見つけることです：決まった長さの柵で囲める最大の面積、缶に使う最小の金属、最高の利益など。

できるだけ大きく、または小さくしたい量は、畑の幅 x のような 1 つの変数に依存します。

そのグラフを思い浮かべましょう。丘の頂上と谷の底では、グラフは一瞬水平になります。つまり、そこで傾きは 0 です。

これが重要な考え方です：極大や極小では、導関数は 0 です。最良の x は Q′(x) = 0 を解いて求めます。

2目標と制約

すべての最適化問題には 2 つの部分があります。計算する前に、それぞれに名前を付けましょう。

• 目標：最大化または最小化する量。たとえば面積 A や費用 C。
• 制約：柵の全長や、缶が入れなければならない体積のような、固定された条件。

目標には、たいてい A = x · y のように 2 つの変数があります。それはまだ微分できません。

制約を使って、y を x で表します。すると、目標は x だけに依存します。

例：周囲が 20 m の長方形では 2x + 2y = 20 なので、y = 10 − x となり、A(x) = x(10 − x) = 10x − x² です。

まず図を描き、すべての長さを書き込みます。ほとんどの間違いは制約で起きます。

3費用と利益の問題

ビジネスの問題では、目標は利益、つまり収入から費用を引いたものです。

ここで q は販売数、p は 1 個あたりの価格です。価格が q に依存する場合は、まずその式を R に代入します。

例：価格が p = 60 − q、費用が C = 100 + 30q のとき。

すると最適な価格は p = 60 − 15 = 45 € です。問題を注意深く読みましょう：q、p、利益 P そのもののどれを求めるのかが問われるかもしれません。

4ステップごとの方法

1. 図を描き、変数に名前を付けます。
2. 目標 Q（面積、費用、利益）と制約を書きます。
3. 制約を使って、Q を 1 つの変数の関数 Q(x) として書きます。
4. 微分して、Q′(x) = 0 を解きます。
5. 正しい種類の点かどうかを確認します：極大なら Q″ < 0、極小なら Q″ > 0。
6. 問われたことに答えます：x、もう一方の辺、または Q の最良値そのものを、単位つきで。

5例題

すべてのステップをたどりましょう。開く前に次のステップを予想してみましょう。

6よくある間違い

• 誤った量について答える：問題が y を求めているのに、x を答える。
• まだ 2 つの変数がある目標を微分する。先に制約を使います。
• 誤った制約を書く。たとえば、川側にも柵を置く。
• その点が極大か極小かを確認しない。
• 単位を忘れる、または面積を m² ではなく m で答える。

7試験問題の例

• やさしい：最大の面積または体積。たとえば、川沿いの畑や、追加の柵で仕切られた囲い。
• ふつう：最小の費用または材料。たとえば、閉じた缶（V = πr²h、A = 2πr² + 2πrh）や、1 m あたりの値段が 2 種類ある柵。
• むずかしい：利益と収入。P = R − C をつくり、P′(q) = 0 を解いて、価格または最大の利益を求めます。

簡単な確認：答えの少し上と少し下の値を Q に代入します。どちらも悪くなるはずです。